High-Q | יסודות מתמטיים

יסודות מתמטיים לפסיכומטרי

יסודות מתמטיים לפסיכומטרי

2019

יולי עשרה:

מהדורה

שלוש

מרצי Q Global High ומחלקת המחקר והפיתוח

נכתב על ידי -

 כל הזכויות שמורות לחברת High Q Global

אין להעתיק או להפיץ ספר זה או קטעים ממנו בשום צורה ובשום אמצעי, אלקטר וני או מכני (לרבות צילום או הקלטה) ואין ללמדו, כולו או חלקים ממנו, בשום מכון או קורס או בית ספר, ללא אישור בכתב מאת המוציאים לאור.

High Q Global בע"מ, הגביש 10 , נתניה

יסודות אלגבריים :  מושגים בסיסיים באלגברה ................................ ................................ .... 7  פעולות האלגברה הבסיסיות ................................ ................................ .. 8  סדר ביצוע פעולות חשבון ................................ ................................ ....... 13  חוקי המספרים ................................ ................................ ..................... 14 15  פעולות בשברים ................................ ................................ .................... 17  שברים עשרוניים ................................ ................................ .................. 21  פעולות בשברים עשרוניים ................................ ................................ ...... 23  כינוס איברים והוצאת גורם משותף ................................ ........................ 25  נוסחאות הכפל המקוצר ................................ ................................ ........ 27  ערך מוחלט ................................ ................................ .......................... 28 29  משוואות ................................ ................................ .............................. 41 44  משוואות ממעלות גבוהות ................................ ................................ ...... 49  ................................ ................................ ................................ .  ................................ ................................ ...............................  משוואות עם שני נעל ................................ ................................ .......

שברים תרגול א מים תרגול ב משולשים מרובעים מעגלים מצולעים

51

................................ ................................ ...............................



חוקי גאומטריה:  קווים וזוויות ................................ ................................ ....................... 77

77

................................ ................................ .............................



81

................................ ................................ ..............................



83

................................ ................................ ................................



 85  נפחים ................................ ................................ ................................ .. 86 ................................ ................................ ..............................

87

................................ ................................ ................................ ..

תרגול



יסודות אלגבריים

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

מושגים בסיסיים באלגברה : 1) מספר שלם : מספר המורכ ב מיחידות שלמות. הוא יכול להיות : .א : זוגי מספר שלם שכאשר מחלקים אותו ב - 2 מקבלים מספר שלם (ללא שארית). .ב : זוגי אי מספר שלם שאינו זוגי. .ג ראשוני : מספר חיובי ושלם המתחלק ללא שארית בשני מספרים שונים זה מזה – : טבעי מספר שלם וחיובי ( 4,3, 2,1 וכו ´.) 2) שבר/מספר לא שלם : מספר שלא ניתן לבטא אות ו ביחידות שלמות. הוא יכול להיות : .א שבר פשוט : שבר שמיקומו על ציר המספרים הוא בין 0 -ל 1 (או בין 0 -ל   -1 , כאשר הוא .ב שבר מדומה : שבר שערכו גדול מ - 1 (או קטן מ -   -1 כאשר הוא שלילי). שבר כזה ניתן להצגה גם כ מספר מעורב שבר). + (שלם  זוג מספרים בהם המונה והמכנה הפוכים נקראים "מספרים הופכיים" (ראה "שברים"). 3) חיובי/שלילי : מספרים שלמים ושברים יכולים להיות חיוביים או שליליים. -וב 1 . שימו לב: המספר 1 איננו מספר ראשוני . .ד

בעצמו

שלילי). ליד

מספר חיובי הוא כל מספר הגדול מ - 0 . מספר שלילי הוא כל מספר הקטן מ - 0 . מספר שלילי יסומן ע -ל ידי סימן "-"

מצדו השמאלי.

מספר חיובי לא יופיע סימן כלל.  זוג מספרים הנמצאים במרחקים שווים משני צידי ציר המספרים נקראים " מספרים נגדיים " למשל 5 -ו   -5 הם נגדיים וכך גם 58 -ו   -58 . 4) אפס : אפס הוא מספ ר שלם וזוגי (שהרי הוא מתחלק ב - 2 ללא שארית). אפס אינו חיובי ואינו שלילי, לכן אי ננו יכולים להגדירו כמספר טבעי ( הוא הרי אינו חיובי).

7

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

פעולות האלגברה הבסיסיות : חיבור

1) נרשום את המספרים שברצוננו לחבר אחד מעל השני. נקפיד שספר ות האחדות של כל המספרים תהיינה אחת מעל השנייה. 2) נתייחס לפעולות החיבור באופן אנכי. נ בצע את הפעולות על ספרות האחדות, לאח ר מכן על העשרות, המאות וכך הלאה. 3) אם, כתוצאה מהחיבור האנכי, תוצאה הגדולה מ - 9 , כלומר, כזו שאיננה חד ספרתית, נרשום רק את ספרת האחדות של התוצאה ו" נעביר " את ספרת העשרות - 1 , אל מעל לטור האנכי הבא (מדוע בחיבור שני מחוברים נזכור רק את הספרה "אחת" .)? במידה ולא נשארו יותר טור ים שאליהם ניתן להעביר את הספרה 1 , נרשום את התוצאה כולה.

קיבלנו

78



45

123

8+5 =13

1 7 4 12   

את ספרת האחדות 3 רושמים את ספרת העשרות 1 "מקפיצים" לטור הבא

הספרה 1 הוקפצה מהטור הקודם

8

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

חיסור

נרשום את המספרים לחסר אחד מעל השני. נקפיד שספרות האחדות של כל המספרים יהיו אחת מעל השנייה.

1)

שברצוננו עלינו ניקח

בשיטה זו מחסרים רק בין שני מספרים ולא ניתן לחסר מספר גדול מקטן. לכן, אם עלינו לבצע חיסור כזה, נחסר את הקטן מהגדול ונוסיף בסוף סימן מינוס משמאל לתוצאה שתתקבל. 2) נתייחס ו לפעול ת החיסור באופן אנכי. נ בצע את הפעולות על ספרות האחדות, לאחר מכן על העשרות, המאות וכך הלאה. 3) אם נתקלנו במצב בו לחסר, באופן אנכי, מספר גדול ממספר קטן, "לחזק" את כוחו

עלינו

(יחידה אחת) מהמספר שנמצא לשמאלו של

של המספר הקטן. במקרה זה,

עשירייה

המספר הקטן. פעולה זו תוסיף 10 למספר הקטן, ותפח ית 1 מהמספר שמשמאלו.

73



45

28

לא ניתן לחסר את המספר 5 3 . לכן "נחזק" את המספר 3 בכך שנוסיף לו "עשירייה"   1 מהמספר לשמאלו   7 . באופן כזה המספר 3 יהפוך ל - 13 , והמספר 7 יקטן ל - 6 . ר מהמספ

6 4 2  

9

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

דוגמה נוספת:

503



438

65

לא ניתן לחסר את המספר 8 מהמספר 3 , ולכן יש את הספרה 3 . עלינו לקחת עשירייה מה מספר 0 , אבל ה - 0 בעצמו קטן מדי. לכן יש לחזק גם את ה - 0 : נוסיף לו עשירייה מספר מה 5 שלשמאלו. באופן כזה 0 יהפוך ל - 10 ואז נוכל לקחת ממנו 1 עבור

9 3 6 4 4 0    

"חזקל"

רי שניקח

3. (כלומר, ה - 0 יהפוך ל - 10 ואח

מספר ה

1 הוא יהפוך ל - 9 .)

עלינו נשים ממנו

- הפך ל 10 ואז ל - 9 ,

- הפך ל 13 , 0

בתום התהליך, 3

- הפך ל 4 .

-ו 5

כפל

ראשית, נרשום את המספרים להכפלה אחד מעל השני. נהוג לרשום את המספר הגדול יות אשון. רר בשיטה זו ניתן לכפול רק בין שני מספרים. לשני מספרים אלה נקרא "גורמים" .

הראש ון לבין כל אחת מספרותיו של ה

לבצע כפל שי טתי בין כל אחת מספרותיו של ה השני. נעקוב אחר התהליך המוסבר בתרגיל הבא:

גורם

גורם

234 178 712



 

534

356 41,652

לב שמתחת לתרגיל הכפל ישנן 3 שורות המסודרות כמו מדרגות (ב י ניהן אנו מחברים) , ומתחת יה ן, שורת התוצאה. 3 השורות הן כנגד 3 הספרות שבכופל הראשון ( 234 בדוגמה).

10

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

הראשון   4 , בכל אחת מהספרות של ה

השני

ת האחדות של ה

ראשית, נכפול את ספר

גורם גורם גורם

גורם גורם גורם

  178 . בכל פעם שהתוצאה תצא דו ספרתית, ועדיין לא הגענו לסוף השורה, "נזכור" (או נרשום בצד) את ספרת העשרות ונחבר אותה אח"כ לתוצאת המכפלה הבאה. נתחיל לכ פול את ספרת האחדות של ה הראשון בספרת האחדות של ה השני, אח"כ נעבור

גורם גורם גורם שיצא

לספרת העשרות של ה השני, אח"כ לספרת המאות וכך הלאה. נ בחן את שלב הכפל הראשון בלבד ( 4 מוכפל בכל אחת מהספרות של 178 ):

גורם גורם ל את

234 178 712



4 7 28   ראשית, נחבר ל - 28 שקיבלנו את -ה 3 שאנחנו זוכרים : 28 3 31   יצא מספר דו ספרתי. נרשום את ספרת האחד ות   1 ונזכור את ספרת העשרות   3 .

4 1 4   ראשית, נחבר ל - 4 שקיבלנו את -ה 3 שאנחנו זוכרים: 4 3 7   הגענו לסוף השורה ולכן לא משנה כמה ספרות מכיל המספר

4 8 32  

מספר דו ספרתי, לכן, נרשום את ה - 2 ו"נזכור" את ספרת העשרות   3 .

השני. יצא

פשוט נרשום אותו.

- הראשון 3 בכל

נחזור על התהליך הזה עוד פעמיים נוספות : נכפול את ספרת העשרות של ה

הראשון בכל אחת מהספרות של

השני, וכן את ספרת המאות של ה

אחת מהספרות של ה

גורםה

"להתקדם מקום אחד שמאלה" בכל פעם שעוברים שלב של הכפלה (מה שיוצר מבנה של מדרגות). למשל, כאשר נכפ ו ספרת העשרות של ה הראשון 3 בכל אחת מהספרות של ה

זכור נ

השני,

הראשון

נתחיל לרשום את ספרת האחדות של התוצא ה ממש מתחת לספרת העשרות של ה

(כלומר, מתחת לספרת העשרות של 234 שהיא 3 .)

11

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

חילוק

בשיטה זו ניתן לבצע חילוק רק בין שני מספרים.

5 128 . זוכרים )?

נחסוך מכם את לימוד שיטת "רה יש" לחילוק. (שיטת ה"ריש" נראית : כך

חילוק בפסיכומטרי.

המתוארת מהי רה יותר והיא מתאימה יותר לחישוב

תרגילי לנו

השיטה שאנו רוצים נבצע נו נחלק

זו שיטה אינטואיטיבית ופשוטה מאוד. התוצא ה המתקבלת בה הינה בשברים פשוטים , ה נפוצים מאוד במבחן הפסיכומטרי. השיטה המתוארת מכונה " שיטת הסלאמי " או בשמה המלא " : כפולות קרובות למספר הנתון ". היא מת אימה כאשר רוצים לחלק מספר גדול בקטן (ולא להיפך. כשמחלקים מספר קטן בגדול מקבלים, ל מעשה, שבר פשוט – שבר הקטן מ - 1 ):

לחפש מספר כלשהו , גדול ככל האפשר אך עדיין קטן מ -

7 .

לחלק את 125 -ב

נניח

עלינו

יודעים בוודאות ש - 70 מתחלק ב - 7 .

יודעים בוודאות שהוא מתחלק ב - 7 אנו .

אנו שעליו

125

70 7 10   .

: בראש

כעת

כבר ב"נתח" של ה - 70 ולכן נחתוך אותו ונשים בצד ( בדיוק כמו

וכעת לתהליך הסלאמי :

טיפלנו ים נזרוק נחבר

שאוכלים סלאמי – לא בבת אחת אלא בחתיכות חתיכות ... .)

  10 נרשום על הדף, ונעבור לטפל בחלק שנותר מהמספר.

את התוצאה שקיבל

125 נשאר המספר 55 ( נחשב זאת ב תרגיל חיסור פשוט : 125 70 55   .)

לאחר שהורדנו 70 -מ

7 .

55 -ב

התהליך חוזר על עצמו, רק שהפעם את נחלק

49 .

בוודאות שהוא מתחלק ב - 7 הוא

יודע אנו שעליו

המספר הקרוב ביותר ל - 55

הרגע   7

- את ה 49 הצידה ונרשום את התוצאה

: בראש 49 7 7   . שוב,

שקיבלנו מספר

מתחת לתוצאה הקודמת   10 על הדף.

ביד ה

55 את החתיכה של ה - 49 ( תרגיל החיסור : 55 49 6   ), נשאר

לאחר שהורדנו -מ

6 . המספר הזה לא מתחלק ב - 7 ולכן הוא השארית מכל החלוקה .

7 , אז גם השארית הקטנה הזאת צריכה להתחלק

בגלל שחילקנו מראש את כל המספר 125 -ב

6 7 . גם את התוצאה הזאת

6 7      

נרשום על הדף

: ם מקבלי

6 -ב

לשבעה חלקים. כשמחלקים את

7

מתחת לשתי התוצאות הקודמות ( 10 -ו 7 .)

6 6

7 10 17   

ונקבל את התוצאה

את כל התוצאות שקיבל נו . כלומר,

כעת, השלב הכ יפי.

7 7

6

125 7 17  

.

של כל התרגיל :

7

ההסבר נראה קצת ארוך אך, הלכה למעשה "שיטת הסלאמי" עובדת במהירות ובפשטות.

12

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

סדר ביצוע פעולות חשבון:

חישוב של כל ביטוי חשבוני חייב להתבצע על - פי סדר פעולות חשבון , לפי הסדר הבא :

פעולות בתוך סוגריים.

1) 2) 3) 4)

חזקות ושורשים.

כפל וחילוק. חיבור וחיסור.

כלומר, ראשית תבוצענה הפעולות שבתוך הסוגריים. עבור ביטוי שאין בו סוגריים, יבוצעו תחילה פעולות החזקות והשורשים, לפי סדר הופעתן (משמאל לימין). אחריהן יבוצעו פעולות הכפל והחילוק, לפי סדר הופעתן (משמאל לימין), ולבסוף פעולות חיבור וחיסור, משמאל לימין. דוגמאות:

  15 3 5 15 15 1     

1)

2 3

9

18

2)

17 2 17 2 17  

17 9 8        

2

2

2

פעולות במספרים שליליים חיבור של מספר שלילי, כמוה ו כחיסור מספר חיובי בעל אותו ערך מוחלט. חיסור של מספר שלילי, כמוהו כחיבור מספר חיובי בעל אותו ערך מוחלט. תוצאת תרגיל כפל וחילוק שני מספרים שליליים מספר חיובי.

תהיה תהיה

בין

מספר שלילי.

תוצאת תרגיל כפל וחיל וק של מספר שלילי במספר חיובי

דוגמאות:

  5 7 5 7 2      

1)

  5 7 5 7 12     

2)

    3 2 3 2 6      

3)

    6 : 3 6 : 3 2    

4)

13

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

חוקי המספרים חוק החילוף לכפל וחיבור:

a b b a    a b b a    משמעות החוקים היא שאין חשיבות לסדר החיבור או לסדר הכפל של שני איברים, כלומר , תוצאת פעולות החיבור או הכפל אינה תלו יה בסדר בו נבחר לבצע את הפעולה על המספרים . חוק החילוף מ תקיים בפעולות כפל או חיבור בלבד . י חוק הצ

רוף: משמעות













    a b c a b c b a c c a b a b c a b c b a b c a b                        

י חוק הצ רוף היא שאין חשיבות לסדר ביצוע פעולות הכפל והחיבור והופעת סוגריים

בתרגילים אלה, כאשר מדובר בפעולות כפל ו חיבור בלבד .

הערה: a, b, c יכולים לייצג מספרים, אך גם ביטויים חשבוניים, אשר לפי סדר פעולות חשבון חושבו קודם לביצוע פעולת הכפל או החיבור. דוגמאות:

1)

3 5 2 1 3 1 5 2 5 2 1 3           

   3 5 2 2 5 2 2 3 2 3 5 2              

2)

במקרה הראשון אין צורך בסוגריים, כיוון שכפל מבוצע לפני חיבור, וחוק הצירוף פועל על חיבור של שלושה איברים. במקרה יש צורך בסוגריים, בכדי שפעולת החיבור תבוצע לפני פעולת הכפל .

השני

חוקי הפילוג:

 

 

a b c ab ac   

a b c ab ac   



 



a b c d ac ad bc bd       

החיצוני כל

חוקים אלו נובעים מעקרון פתיחת הסוגריים, כלומר, כאשר נפתח סוגריים יכפיל ה

גורם

אחד מהאיברים בתוך הסוגריים.

14

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

שברים

מהו בעצם שבר ? פיצה חולקה ל - 8 חתיכות שוות. שמוליק אכל 3 חתיכות. איזה חלק מהפיצה אכל שמוליק ?

שמוליק אכל 3 חתיכות מתוך כל הפיצה, המכילה 8 חתיכות. לכן, שמוליק אכל 3 מתוך 8 . בשבר זה נראה כך :

מונה : מונה כמה חלקים לקחנו לעצמנו מתוך השלם.

3 8

מכנה : מכנה את השבר בשם (שלוש ). שמיניות מציין לכמה חלקים שווים חילקנו את השלם.

: קטן לחלק לגדול), נקבל שבר פשוט , כלומר

תמיד כשמחלק ים מספר במספר גדול ממנו ( בקיצור או

שבר שמיקומו על ציר המספרים הוא בין 0 -ל 1 (או בין 0 -ל   -1 , כאשר הוא שלילי).

: גדול חלקי קטן), מקבלים מספר שלם או שבר

תמיד כשמחל קים מספר במספר קטן ממנו ( בקיצור או

מדומה , כלומר שבר שערכו גדול מ - 1 (או קטן מ -   -1 כאשר הוא שלילי).

עקרונות אלו נכונים תמיד. גם כאשר מחלקים שבר בשבר !

קטן גדול

שבר פשוט בין 0 -ל 1 (או בין 0 -ל   -1 , כאשר הוא שלילי).

=

גדול

מספר שלם או שבר מדומה , גד ול מ - 1 (או קטן מ -   -1 כאשר הוא שלילי).

קטן =

x

כאשר מ חלקים שני מספרים זהים מקבלים 1 . (פרט לחלוקה באפס, אשר אינה מוגדרת באלגברה) .



1

x

15

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

שברים מעורבים

כאשר מחלקים מספר גדול במספר קטן ומקבלים שבר מדומה, ניתן להציג אותו גם בתור שבר מעורב . שבר מעורב מכיל בתוכו גם שלם וגם שבר.

3

: למשל 8 . המשמעות של שבר זה היא : 5 שלמים ועוד שלוש שמיניות. או אם תרצו, מדובר כאן -ב 5 פיצות שלמות ועוד 3 פרוסות שוות מפיצה זהה שחולקה ל - 8 חלקים זהים. המעבר משבר מעורב לשבר מדומה ולהיפך: דוגמאות: 5

3

5

לשבר מדומה.

נתרגם את השבר

1)

8

את המכנה של השבר במספר השלם ונוסיף את המונה של השבר. את התוצאה נ רשום במונה. בדוגמה שלנו,

נכפול למכנה

את המכנה של השבר ( 8 ) במספר השלם ( 5 ) ונוסיף לתוצאה את

נכפול

המונה ( 3 )    8 5 3 43 את התוצאה שהתקבלה ( 43 ) נרשום במונה של התוצאה.

נעתיק את המכנה המקורי.

המכנה המקורי בדוגמה שלנו הוא 8 . נרשום אותו במכנה התוצאה ונקבל 43 8 .

 3 43 8 8

5

.

המשמעות היא ש

אם נדבר ב"פיצות": ב - 5 פיצות ועוד 3 פרוסות מפיצה שחולקה ל 8 חתיכות שוות, יש בעצם 43 פרוסות, כאשר כל פרוסה הינה שמינית מפיצה אחת (או במילים אחרות, 43

שמיניות).

71 4

לשבר מעורב.

נתרגם את השבר המדומה

2)

נ חלק את המונה במכנה. התקבלה תוצאה המורכבת ממספר שלם ומשארית. בדוגמה שלנו, נחלק את 71 -ב 4 ונקבל את המספר השלם 17 ואת השארית 3 . נרשום את השארית במונה, את המספר השלם משמאל לשבר ו נשאיר את המכנה ללא שינוי. בדוגמה שלנו, נרשום את השארית ( 3 ) במונה של התוצאה, את המספר השלם ( 17 ) משמאל

לשבר התוצאה, ונשאיר את המכנה ( 4 ) ללא שינוי. כך נקבל: 3 17 4 .

16

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

צמצום והרחבת שברים :

כופלים את המונה והמכנה של שבר באותו מספר (שזה למעשה כפל וחילוק באחד ), מבצעים פעולת הרחבה של השבר, אשר משנה את ערכו. ניתן להרחיב את המונה והמכנה במספר שלם,

כאשר שימו לב! נכפיל

לא

חיובי, שלילי או בשבר.

 פעולות הרחבה וצמצום של שברים מתבצעות רק ע"י כפל וחילוק.  כאשר מחברים או מחסרים את אותו המספר גם למונה וגם למכנה של שבר, השבר משתנה והתוצאה אינה זהה לשבר המקורי. :ה דוגמ

1 2 3 20 5 2 4 6 40 10      

פעולות בשברים כפל שברים:

a c a c b d b d    

  b 0 , d 0  

לחוד את המונים ואת המכנים (מונה במונה ומכנה במכנה). לעתים נוכל לצמצם חלק מהגורמים עוד בשלב הביניים: דוגמאות:

10 3 10 3 2 1 2 21 5 21 5 7 1 7        

1)

2





2a a 2 

a 2 2a 

2a 4a 







2)





3 1 a 3 1 a  

3 3a 

7 4 7 4 7 2 7 14 4 2 1 2 1 2 1 1          

14

3)

17

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

חילוק שברים:

a c a d a d b d b c b c      

  b 0 , c 0 , d 0   

בכל פעם שנרצה לחלק ביטוי בשבר, כל שעלינו לעשות הוא לכפול את השבר הראשון, בהופכי של השבר השני. השבר ההופכי הוא השבר בו הוחלפו המונה והמכנה בשבר המקורי, כלומר, המונה הוא המכנה

5 3

המקורי, והמכנה הוא המונה המקורי. למשל, השבר ההופכי לשבר 3 5 , הוא

.

דוגמאות:

7 21 7 9 1 3 1 6 9 6 21 2 3 2        1 1 5 1 1 1 5 2 2 1 2 5 10      

1)

2)

שיטת האוזן :

שיטה זו לחילוק שברים היא ויזואלית ונחמדה מאוד ולכן היא אהובה מאוד על תלמידים רבים בבואם לחלק שני שברים זה בזה . שיטת האוזן מתאימה לחלוקה של שני שברים זה בזה.

3 6 7 11 

בעזרת שיטת האוזן.

ה בדוגמ , נבצע את תרגיל החילוק

 ראשית, רושמים את שני השברים אחד מתחת לשני כשקו שבר גדול מפריד ב . ניהם י

 כעת נכפ ו ל "רחוק ברחוק וקרוב בקרוב" כאשר המספרים מלמטה עולים למעלה.

 רק לאחר שביצענו את פעולת ההמרה לכפל, מותר לצמצם את השבר לפני חישוב הכפל.

 לאחר מבט קצר בציור שבעמוד הבא, תבינו מדוע נקרא ת השיטה הזאת בשם : "שיטת האוזן" ...

3

3 7 11 7 6  

1 11 11 7 2 14 



  

6 11

18

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

חיבור וחיסור שברים:

קל לחבר ולחסר שברים בעלי אותו מכנה. במצב זה המכנה של התוצאה יהיה המכנה הזהה לשני השברים, ואילו פעולת החיבור או החיסור תבוצע על המונה בלבד. :ה דוגמ

12 4 7 12 4 7 9 25 25 25 25 25      

על מנת לחבר או לחסר שברים, אשר להם מכנים שונים, יש להביא אותם לצורה בה יהיה להם אותו מכנה. פעולה זו נקראת מציאת מכנה משותף. מציאת מכנה משותף : = יש לדאוג לכך שכל המכנים בכל השברים שאותם נחבר או נחסר יהיו זהים (אותו מכנה מכנה משותף). נגיע למטרה זו על - ידי הרחבה של השברים. , ראשית נקבע מהו המכנה המשותף של השברים. המכנה המש ותף צריך להיות מספר שמתחלק ב מכנים של כל השברים קל מאוד למצוא מספר כזה אם נכפיל את כל המכנים זה בזה. אבל, המטרה שלנו הינה ל מצוא את המכנה המשותף הקטן ביותר , כיוון שמאוד נוח לעבוד איתו. כדי למצוא את המכנה המשותף הקטן ביותר בוחרים את המכנה הכי גדול מבין כל השברים ובודקים כ פולות שלו (כלומר מכפילים - אותו ב 1 , אח"כ ב - 2 - , ב 3 - , ב 4 וכך הלאה). בכל כפולה, נבדוק האם המספר שהתקבל מתחלק בכל שאר המכנים שבתרגיל. אם כן, זהו המכנה המשותף הנמוך ביותר. :ה דוגמ

שבתרגיל.

5 14 1

  

?

4 3 8

נמצא את המכנה המשותף הנמוך ביותר. לשם כך נבחר את המכנה הגדול ביותר ( 8 ) ונבדוק כפולות שלו. כאשר כפולה שלו תתחלק בשני המכנים האחרים ( 4 -ו 3 ), נדע שזהו המכנה המשותף הנמוך . ביותר 8 1 8

8 2 16 8 3 24      

19

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

שמתחלק בכל שאר המכנים ( 3 -ו 4 :) 3 8 24 4 6 24    

- הגענו ל 24 . ז

הו מספר

שהמכנה שלהם יהיה המכנה המשותף

הרחבה של השברים : בשלב זה נרחיב את כל השברים

כדי

שבחרנו. כל שבר נכפיל במספר שחסר לו כדי להגיע למכנה המשותף.

שלנו, לאחר שהחלטנו שהמכנה המשותף הנמוך ביותר הוא 24 , נרחיב את כ ל השברים כך שהמכנה שלהם יהיה 24 :

ה בדוגמ

5 14 1 30 112 3 4 3 8 24 24 24     

5 4

  4 6 24 .

הרחבנו פי 6 מכיוון ש

למשל, את השבר

כלל את

בהרחבה, כפלנו גם את המונה ( 5 ) וגם את המכנה ( 4 ) באותו המספר. בכך לא השבר, אלא הצגנו אותו באופן שונה, כך שיהיה דומה לחבריו שבתרגיל.

שינינו

נ כעת נ חבר ו חסר את המונים בלבד. המכנה המשותף נשאר אותו המכנה

חיבור וחיסור מונים :

מצא נו קודם.

ו אותש

5 14 1 30 112 3 79 79 4 3 8 24 24 24 24 24         

20

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

שברים עשרוני ים

שבר עשרוני הינו צורה נוספת להצגת שברים, אשר המכנה שלהם הוא חזקה של 10 . מיקום הנקודה העשרונית בשבר נקבע על פי המכנה בשבר הפשוט המתאים. אם, למשל, המכנה הוא 1, 000 הנקודה תזוז שלושה מקומות שמאלה (כמספר האפסים במכנה). דוגמאות:

36



0.36

1)

100

12



0.012

2)

1000

403



40.3

3)

10

המרת שבר עשרוני לפשוט ולהיפך : י עשרונ : פשוט נמיר את השבר העשרוני 0.037 לשבר פשוט : 1) מספר

מספר האפסים במכנה. = המקומות אחרי הנקודה למספר 0.037 ישנם 3 מקומות אחרי הנקודה. לכן, יהיו 3 אפס

ים במכנה. כלומר, המכנה הוא

1,000 .

נעיף את הנקודה ונרשום את מה שיצא

2)

במונה.

אחרי שמעיפים את הנקודה מהשבר העשרוני נשארים עם 0037 או פשוט 37 . לכן המ ו נה הוא 37 .

37 1,000

.

השבר שהתקבל הוא :

: שימו לב אם ברצוננו לה מיר שבר עשרוני מעורב (למשל 5.096 ), נרשום את השלם בצד (המספר 5 בדוגמה שלנו) ונמיר לחוד רק את השבר העשרוני, ללא המספר השלם. פשוט : עשרוני 1) ראשית, עלינו להרחיב או לצמצם את השבר ה פשוט כך שהמכנה שלו יהיה חזקה של 10 (כיאה לשבר ). עשרוני 2) לאחר הה רחבה או הצמצום, השיטה הפוכה לזו שתיארנו במעבר מעשרוני לפשוט. א. נרשום בצד את המספר שמופיע במונה. ב. מספר המקומות אחרי הנקודה בשבר העשרוני = מספר האפסים במכנה . יש, אם כך, לספור את המקומות הללו מצד ימין.

21

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

: אות דוגמ

3 20

לשבר עשרוני.

נהפוך את השבר הפשוט

1)

ראשית, עלינו להרחיב את השבר כך שהמכנה שלו יכיל חזקה של 10 .

נכפיל את המונה ואת המכנה פי 5 , נקבל את השבר 15 100 .

אם מנת

כעת, נבצע את הפעולה ההפוכה לזו שביצענו קודם. נ רשום את המספר שבמונה בצד : 15 מספר המקומות אחרי הנקודה בשבר העשרוני. בדוגמה שלנו ישנם = מספר האפסים במכנה שני אפסים ולכן ישנם שני מקומות אחרי הנקודה. יש להתחיל את הספירה מימין. קיבלנו את השבר העשרוני 0.15 . כפי ששמת לב בדוגמה האחרונה, הקושי העיקרי בהיפוך זה הינו לדעת באיזה מספר יש להרחיב את השבר הפשוט בכדי לקבל שב ר עם מכנה שהוא חזקה של 10 . שיטה נוחה לביצוע הפע ולה הזאת היא לבדוק את החזקות של 10 לפי הסדר ( 10,100,1000 וכו )´ עד שמקבלים חזקה של 10 שמתחלקת במכנה שבשאלה. לאחר שמצאנו חזקה כזו של 10 , יש לחלק אותה במכנה ב כדי למצוא בכמה יש להכפיל אותו על

להגיע לאותה חזק ה של 10 .

נהפוך את השבר הפשוט 7 8

לשבר עשרונ :י

2)

נבדוק בכמה יש לה רחיב את השבר כדי להגיע לחזקה של 10

במכנה.

לשם כך נבדוק חזקות של 10 "אחת - אחת" עד שנקב ל חזקה של 10 שמתחלקת במכנה שלנו 8 . 10 לא מתחלק ב 8 , כך גם 100 . - הגענו ל 1,000 ועלינו לבדוק האם הוא מתחלק ב - 8 . זה הזמן להשת מש בשיטה החכמה לחילוק :" שיטת הסלאמי " . נחפש את המספר הכי גדול , אך עדיין קטן -מ 1,000 שמתחלק ב - 8 זהו . 800   800 8 100 . נחתוך את ה"נתח" של 800 ונישאר עם 200 .   1,000 800 200 נחפש את המספר הכי גדול , אך עדיין קטן מ - 200 שמתחלק ב - 8 זהו . 160 .   160 8 20 נחתוך את ה"נתח" של 160 ונישאר עם 40 .   200 160 40 זהו היתרון הגדול של " שיטת הסלאמי " . חילקנו את המספר הגדול לחתיכות חתיכות שאותן ניתן לבלוע עת נ כ בקלות. שארנו עם 40 , אותו קל לחלק -ב 8 .   40 8 5 . גילינו ש - 1000 אכן מתחלק ב - 8 וכעת ניתן לדעת גם מהי תוצאת המכפלה של 1000 -ב 8 . כל מה שעלינו לעשות הוא לחבר את התוצ אות שקיבלנו בתהליך :    100 20 5 125 . מצאנו שיש להרחיב את השבר ב - 125 כדי לקבל שבר עשרוני. 7 875 8 1, 000  נרשום את המספר שבמונה : 875 מספר המ = מספר האפסים במכנה קומות אחרי הנקודה בשבר העשרוני. בדוגמה שלנו ישנם שלושה אפסים ולכן ישנם שלושה מקומות אחרי הנקודה. יש להתחיל את הספירה מימין. קיבלנו את השבר העשרוני: 0.875 .

22

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

פעולות בשברים עשרוניים חיבור וחיסור שברים עשרוניים:

חיבור בשברים עשרוניים נעשה, בדומה לשלמים, במאונך. יש לדאוג לרשום את הנקודות העשרוניות זו מתחת לזו ולמלא מקומות ריקים באפסים.

1:

דוגמה דוגמה דוגמה:



0.65 13.60 14.25

גם פעולת החיסור נעשית כמו בשלמים. אם המחוסר גדול מהמחסר, נהפוך את הסדר ולאחר החישוב נוסיף לתוצאה סימן מינוס.

2:

נ חשב את הביטו י 0.242 0.891  :

0.891 0.242

-

0.649

0.242 0.891 0.649    

כפל שברים עשרוניים:

הכפל, כמו בשלמים, יעשה במאונך. מספר הספרות שמימין לנקודה העשרונית בתוצאה הוא סכום הספרות שמימין לנקודה בשני גורמי המכפלה יחד.

 3.42 2 5.4 1 1368 1710  



18.468 2 1 3   

23

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

שברים עשרוניים:

חילוק דוגמה דוגמה

בחילוק שברים עשרוניים ניתן לנהוג בשתי דרכים: 1) נהפוך את השברים העשרוניים לצורת שברים עם חזקה מתאימה של 10 במכנה, ונחלק אותם כשברים.

1:

72 36 72 100 10 100 36 10  

7.2 0.36

   



20

ול נכפ את ה מונה ומכנה בתרגיל בחזקה של 10 , כך ששניהם יהפכו לשלמים , ונבצע חילוק בשלמים.

2)

2:

7.2 7.2 100 720 0.36 0.36 100 36     

20

24

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

כינוס איברים והוצאת גורם משותף הוצאת גורם משותף אל מחוץ לסוגריים הינה פעולה שהופכת ביטוי של חיבור וחיסור, לביטוי של כפל. מטרת הפעולה של הוצאת הגורם המשותף הינה, בדרך כלל, להביא לפישוט ולצמצום של ביטויים . תחילה נכיר מספר מושגים פרמטר: איבר בביטוי אלגברי המסומן באות לטינית (מייצג מספר כלשהו). כינוס איברים: חיבור וחיסור איברים בביטוי. בביטוי ניתן לכנס את כל הביטויים המספריים, ואת כל האיברים המכילים אותו פרמטר. דוגמאות:

חדשים:

בביטויים הבאים נכנס איברים. נכנס בנפרד את כל האיברים המכילים את הפרמטר a , ואת כל אלו המכילים את הפרמטר b :

1)

15 3 4a 3a 5b 5 11a 7b        

    15 3 5 4a 3a 11a 5b 7b 7 12a 2b            

2 2 2a 2a 5ab 3a a 10      

2)



  2 2 2 2a a 2a 3a 5ab 10 a 5a 5ab 10          הוצאת גורם משותף 

הוצאת גורם משותף היא פעולה הפוכה ל חוק הפילוג. גורם משותף הינו גורם במכפלה המשותף לכל המחוברים בביטוי. לאחר שנוציא גורם משותף משני ביטויים או יותר נקבל מכפלה של אותו גו רם משותף בביטוי המצוי בסוגריים. כדי להוציא גורם משותף מביטוי עלינו ראשית להחליט מהו הגורם המשותף אותו ניתן להוציא אל מחוץ לסוגריים. הגורם המשותף הינו ביטוי או מספר שבו מתחלקים כל המספרים המחוברים שנמצאים בביטוי

המקורי.

ניקח לדוגמה את הביטוי:

8y 4xy 

נמצא כעת גורם משותף המתאים לשני חלקי הביטוי. נוכל להבחין בכך שגם החלק 8y וגם החלק 4xy , שניהם מתחלקים ב - 4 . לכן, 4 יכול להיות גורם משותף בביטוי 8y 4xy  . ננסה למצוא גורם משותף רחב יותר לשני הביטויים.

25

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

ניתן לראות שגם החלק 8y וגם החלק 4xy , שניהם מתחלקים גם ב - y . אם שניהם מתחלקים גם ב - 4 וגם ב - y , הרי ששני החלקים הללו מתחלקים גם בגורם 4y .

אם כך, מצאנו את הגורם המשותף הרחב ביותר לשני החלקים של הביטוי ( 4y ), וכעת נוציא את הגורם המשותף שמצאנו אל מחוץ לסוגריים. נרשום את הגורם המשותף מחוץ לסוגריים. בתוך הסוגריים נרשום את "מה שנשאר" משני החלקים 8y -ו 4xy לאחר הוצאת הגורם המשותף :

  4y 2 x  

מהחלק הראשון   8y את הגורם המשותף   4y חלק נ ר, כלומ ,

8y 4y  קבל נ

2 .

וציא אם נ



 4xy

4xy 4y  ,

את הגורם המשותף 4y , כלומר, חלק נ

x .

מהחלק השני

וציא נאם

נקבל

2 ואז את 4y -ב

אם נפתח את הסוגריים, כלומר, נכפ ו ל את 4y -ב

x , נקבל שוב את הביטוי המקורי.

ביטוי של חיבור לביטוי של כפל. נקודה זו יכולה להיות בשאלות עם שברים. (כזכור, מותר לצמצם שברים רק כאשר

בתהליך הוצאת הגורם המשותף,

הפכנו ביטויים

לצמצם

לתועלת כאשר

נרצה

מופיעים בהם ביטויים עם פעולות של כפל בלבד).

דוגמאות:

  15a 5 5 3a 1   

1)

  6ab 3ac 3a 2b c   

2)





3 2 2 12a 9ab 6ab x 3a 4a 3b 2b x      2

3)

2

3

2

3x 6x 3x (1 2x)  

2

4)





3x

1 2x 

1 2x 

לעיתים נמצא גורם משותף רק לחלק מן המחוברים. בדוגמה הבאה לשני האיברים הראשונים יש גורם משותף 4a , ואילו לשניים האחרים יש גורם משותף   5x  :

  2 4ac 8ad 5xy 25x 4a c 2d 5x y 5x         

5)

26

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

נוסחאות הכפל המקוצר

השימוש בנוסחאות הכפל

דרך נפוצה נוספת להפיכת ביטויים של חיבור לביטויים של כפל ולהיפך

היא

המקוצר. את הנוסחאות הללו

לשנן היטב , מכיוון שנעשה בהן שימוש נרחב ביותר במבחן הפסיכומטרי. נוסחאות הכפל המקוצר הן נוסחאות העוזרות בפישוט מהיר של ביטויים אלגברים. בנוסחא ות אלו ניתן להשתמש בשני הכיוונים, כלומר - גם להוצאת ביטוי מתוך סוגריים, וגם לכינוס איברים.

יש נ"ל רב

2 2 2 a b a 2ab b    





1)

2 2 2 a b a 2ab b    





2)

   2 2 a b a b a b    



3)

נניח שאנו מעוניינים להפוך את הביטוי 2 x 4x 4   לביטוי של כפל. לא ניתן להפוך את הביטוי הזה לביטוי של כפ ל ע"י הוצאת גורם משותף (נסו זאת .)! נבדוק האם הביטוי ה מתאים לאחת התבניות של הכפל המקוצר. התבנית של הביטוי אכן מתאימה לתבנית של נוסחת הכפל המקוצר הראשונה :

2 2 2 (a b) a 2ab b    

2

2

a 2 a b b    

2

2

2 2 2 x x    

כלומר, פירקנו את הביטוי ובדקנו האם הוא מתאים לאחת מ נוסחאות הכפל המקוצר. תהליך זה נראה בהתחלה קשה ומוזר אבל ,

למעשה עלינו לזכור כי מיומנות שכזו, כמו מיומנויות

אחרות ב אלגברה, ניתנות לרכישה על - ידי תרגול. לאחר תרגול

של נושא נוסחאות הכפל המקוצר בתוכנת ה - PT שב לשונית המיוחדים אתר ב High-Q , יהיה הרבה יותר קל לזהות את התבניות של הכפל המקוצר בביטויים.

2 וכי המספר המקביל ל - b הוא x .

לפי הת בנית ניתן לראות שהמספר המקביל ל - a הוא כעת נהפו ך את ביטוי החיבור לביטוי של כפל : לפי נוסחת הכפל המקוצר הראשונה :

2 2 2 (a b) a 2ab b     .

2 2 2 (2 x) 2 2 2 x x       .

במקום a נציב 2 ובמקום b נציב x :

ביטוי הכפל הוא 2 (2 x)  . דוגמה נוספת :

 

 

 

 

2

x 3 

x 3 



    x 3 x 3 

 

 

x 3 x 3  

2 x 9 x 6x 9   







2





x 3 

x 3 

x 3 

27

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

ערך מוחל ט

ערך מוחלט של מספר הוא מרחקו של המספר מהראשית ( כלומר, -מ 0 ). זהו המרחק על ציר המספרים בין הנקודה לראשית. ערכו המוחלט של מספר a יסומן כ - a ויהיה לעולם חיובי (משום שמרחק אינו יכול

גודל

להיות

שלילי).

אנו נתייחס לביטוי המופיע כערך מוחלט, כמו גם לביטוי המופיע בתוך שור ש, כאילו הוא מופיע בתוך ר כלומ – סוגריים , מבחינת סדר ביצוע תהיה פעולת מתן הערך המוחלט בעדיפות

פעולות החשבון

ראשונה. דוגמאות:

1)

-5 5 5  

2 על ציר המספרים.

a 2  הוא המרחק של a -מ

2)

b על ציר המספרים.

המרחק שבין a -ל

a b  הוא

3)

4) a a 0   הינו המרחק של a מנקודת ה - 0 , כלומר מן הראשית.

5)

2 3 4 2 -1 2 1 2       

תחום הקיום של ביטויים ישנם מספר ביטויים מתמטיים להם איןש

משמעות.

לכן, קיימות מספר פעולות מה ן יש לה י

זהר:

1) כאשר מבצעים פעול ת חילוק, אין לחלק בביטוי שערכו 0 . , כלומר אין משמעות לחלוקה באפס. 2) כאשר מוציאים שורש ריבועי, אין משמעות לביטוי כאשר ערך הביטוי שבתוך סימן השורש הוא שלילי. הדבר נכון לגבי כל שורש זוגי בלבד (שורש רביעי, שישי וכו'). כלומר: אין משמעות לשורש זוגי של מספר שלילי. לשורש אי , ב זוגי - מספר שליל י, יש משמעות, למשל: 3 125 5    . 0 בחזקה שלילית, משום שמשמעות הדבר היא חלוקה ב - 0 . עלינו לזכור מגבלות אלו, ולבדוק תמיד את תחום הקיום של הביטויים המתמטיים הנתונים. תחום הקיום יהיה כל x פרט לערכים האסורים. דוגמאות: 1) לביטוי x 2  אין משמעות כאשר x < 2 , ולכן תחום הגדרת הביטוי היא כל שאר המקרים, כלומר, x 2  . הערה: אין להעלות את

  b a 1   אין משמעות כאשר a 1   , ולכן תחום ההגדרה של הביטוי הוא a 1   .

לביטוי

2)

28

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

סדר פעולות חשבון

18. 2 – 7 : 7 – 1 + 8 : 2 =

1.

24 : 3 ∙ 2 =

19.

2.

24 : (3 ∙ 2) =

36 : 6 : 2 =

21.

3.

36 : (6 : 2) =

2 ∙ 9 : 3 =

21.

4.

2 ∙ (9 : 3) =

5 + 2 ∙ 4 =

22.

5.

(5 + 2) ∙ 4 =

7 - 5 ∙ 2 =

23.

6.

(7 – 5) ∙ 2 =

6 ∙ 3 - 5 ∙ 4 =

24.

7.

6 ∙ (3 – 5) ∙ 4 =

7 ∙ 4 + 6 ∙ 2 =

25. 15 – 4 ∙ (7 -2) =

8.

8 + 12 : 4 =

26. 12 – 3 ∙ (2 + 4) =

9.

8 : 2 + 3 ∙ 2 =

27. (10 – 3 ∙ 2) ∙ 2 – 7 =

11. -5 + 4 ∙ 3 – 10 : 5 =

28. (9 ∙ 4 – 3 ∙ 7) : 5 – 4 =

11. 3 + 6 : 2 – 5 ∙ 3 =

29. (7 ∙ 0 – 6 : 2) : (7 ∙ 2 – 4 ∙5) =

12.

11 – 2 ∙ 7 + 24 : 8 =

31. 15 ∙ [7 – 3 ∙ (4 - 2) - 1] =

13. 5 ∙ 5 + 6 : 3 – 4 ∙ 7 =

31. 3 ∙ [4 – 2 ∙ (5 - 7) – 3 ∙ 2] =

14. 15 : 5 – 8 : 4 + 3 ∙ 3 =

32. 40 : [3 – 5 ∙ (4 ∙ 4 – 5 ∙ 2) + 7] =

15. 2 ∙ 6 – 3 ∙ 7 – 9 : 9 =

33. 36 : [6 ∙ 2 – (8 : 4 - 1) - 2] =

16. 2 – 7 + 3 ∙ 5 – 18 : 3 =

34. {8 – [2 ∙ 3 – (7 - 8) + 1]} ∙ 2 =

17. -3 + 4 : 2 – 5 + 2 ∙ 3 =

: פתרונות

28. -1 1 2 31. 0 29.

19. 4

11. 5

1.

16

21. 12

11. -9

2.

3

21. 6

12. 0

3.

6

31. 6

22. 28

13. -1

4.

13

32. -2

23. 4

14. 10

5.

-3

33. 4

24. -48

15. -10

6.

-2

34. 0

25. -5

16. 4

7.

40

26. -6

17. 0

8.

11

27. 1

18. 4

9.

10

29

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

י כינוס א ברים דומים י כנס א ברים דומים: (פתח סוגריים במידת הצורך)

x 3 – 2x 2 + x 3 + 6x 2

16.

1.

9a - 3 - 3a - 1

x 2 + x 4 – 4x 2 + 6x 4

17.

2.

2a + 6 - 5a + 2

2x – x 2 + 4 + 2x 2 -3x – 2

18.

3.

7x - 2y + y - 3x

x 2 – 3x -2 + 4x + 3 + x 2

19.

4.

-5a + 3b - a - b

x – 4 – x 2 – 5 + 2x + 6x 2

21.

5.

3a + (5 – 2a) + 4a

5 – 2x 2 + 3 + 4x – 2x 2 + x

21.

6.

2b – 4 + (-2b + 1)

22. 4xy – xy + 2 – xy + 3

7.

2x + 5 – (3x - 2)

23. 2ab – a – 7ab + 2a – ab

8.

x – (y – 7x) + y

24. 4a – b + [a – (2b - a)]

9.

3y – (2x - y) + x

25. 2b + 3a – [2a + (b – 3a)]

11. x + 5 – 3x + 2 + 5x – 3

26. 2x – [x – (2y + x) - y]

11. 6 – 4x + 3x – 2 + 4 + 2x

27. y – [2x – (y – 2x)] + 4x

12.

2x + 3y + (x - 4) – (y - 5)

28. x – [x – (2x - 3) + 5 - x] + 4

13. 4y + x – (9 – 2y) – (2x - 5)

x – [2x – (x + x 2 ) – 2x 2 ] – 3x 2

x 2 – 3x + 2x 2 + x

29.

14.

2x 2 + x – 9x -3x 2

15.

פתרונות :

– 4x 2 + 5x + 8

21.

11. x + 8

1.

6a – 4

22. 2xy + 5

12. 3x + 2y + 1

2.

– 3a + 8

23. – 6ab + a

13. – x + 6y – 4

3.

4x – y

3x 2 – 2x

24. 6a – 3b

14.

4.

– 6a + 2b

– x 2 – 8x

25. 4a + b

15.

5.

5a + 5

2x 3 + 4x 2

26. 2x + 3y

16.

6.

– 3

7x 4 – 3x 2

27. 2y

17.

7.

– x + 7

x 2 – x + 2

28. 3x – 4

18.

8.

8x

2x 2 + x + 1

29. 0

19.

9.

4y – x

5x 2 + 3x - 9

21.

11. 3x + 4

30

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

הצבה בביטויים אלגברים עבור הביטויים שבסעיפים 10–1 ב: הצ



x = 1



x = -1



x = 0

1.

4x + 1

2.

3 – 2x

3.

– x + 12

x 2

4.

– x 2

5.

(- x) 2

6.

x 2 + 4x + 2

7.

x 2 – 4x + 2

8.

2x – 3x 2 + 1

9.

1 – 2x 2 – 2x

11.

פתרונות:

6.

1.

1, 1, 0

5, -3, 1

7.

2.

7, -1, 2

1, 5, 3

8.

3.

-1, 7, 2

11, 13, 12

9.

4.

0, -4, 1

1, 1, 0

11. -3, 1, 1

5.

-1, -1, 0

31

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

כפל רב א י

ברים

וכפ ל וכנס א י ברים דומים:

13. 2(3 - x) – 5(y - 1) + 8(x + y)

1.

2(a -2)

14. 4(x + 2) - 2(y - 1) – 3(x – y)

2.

3(b -1)

5(x 2 + 2x + 1) – 2(x 2 + 5x - 2)

2(x 2 - 4x + 6)

15.

3.

2(x 2 – 4x - 3) – 3(x 2 – 5x - 2)

16.

4.

3( -x + 5y - 2)

17. x(x - 5)

5.

5(a - 3) + 4(a + 1)

18. 2x(4x - 1)

6.

8(2b - 1) – 3(b - 1)

19. a(3b - c)

7.

5(x - 3) – 3(2x - 5)

21. (k – 2m)b

8.

6(x – 1)+3(3 – 2x)

21. x(x - 2) + x(x + 3)

9.

7(x - y) – 2(x + y)

22. 3x(2x + 1) – 4x(x + 1)

11. 4(x - 2y) – 3(2x - y)

(3x - 4)x – 3(x 2 – 2x)

23.

11. 4(a - 1) – 2(a - 3) + 5(a - 2)

2x(3x - 5) – 5(x 2 – 2x)

24.

12. 3(2m - 7) – 4(1 – 3m) – 5(4m - 5)

וכפ ל וכנס א י ברים דומים: ) וכפ ל רב איבר ברב איבר (

38. (6x -1)(2x - 3)

25. (x + 5)(x + 2)

39. (7a – 4b)(3a + 2b)

26. (x - 4)(x + 3)

41. 3(x - 2)(x + 4)

27. (a + 7)(a - 1)

41. 2(x + 1)(x - 3)

28. (x + 6)(x – 6)

42. 4(2a - 1)(3a + 1)

29. (x + 4)(x + 4)

x(x 3 - 2)

43.

31. (a – 8b)(a – 3b)

x(x 2 – 4x + 3)

44.

31. (2 – x)(x + 4)

2x 2 (x 2 – 5x + 2)

45.

32. (6 – x)(x + 1)

x 2 (5x 3 – x 2 )

46.

33. (a – b)(c + d)

x 3 (x 2 – 4x + 2)

47.

34. (2x + 3)(x – 2)

3x 4 (x 2 – 2x + 1)

48.

35. (3x + 1)(x - 5)

49. (x + 2)(x + 3) – (x + 1)(x - 1)

36. (ax + 1)(x - 2)

51. (x - 4)(x + 1) – (x - 2)(x - 1)

37. (5x – 4)(4x + 1)

32

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

פתרונות :

x 2 – x – 12

26.

1.

2a – 4

a 2 + 6a -7

27.

2.

3b – 3

x 2 – 36

2x 2 – 8x + 12

28.

3.

x 2 + 8x + 16

29.

4.

–3x + 15y – 6

a 2 – 11ab + 24b 2

31.

5.

9a – 11

– x 2 – 2x + 8

31.

6.

13b – 5

– x 2 + 5x + 6

32.

7.

– x

33. ac + ad – bc – bd

8.

3

2x 2 – x – 6

34.

9.

5x – 9y

3x 2 – 14x – 5

35.

11. – 2x – 5y

ax 2 – 2ax + x – 2

36.

11. 7a – 8

20x 2 – 11x – 4

37.

12. – 2m

12x 2 – 20x + 3

38.

13. 6x + 3y + 11

21a 2 + 2ab – 8b 2

39.

14. x + y + 10

3x 2 + 6x – 24

3x 2 + 9

41.

15.

2x 2 –4x – 6

– x 2 + 7x

41.

16.

24a 2 – 4a – 4

x 2 – 5x

42.

17.

x 4 – 2x

8x 2 – 2x

43.

18.

x 3 – 4x 2 + 3x

44.

19. 3ab – ac

2x 4 – 10x 3 + 4x 2

45.

21. kb – 2mb

5x 5 – x 4

2x 2 + x

46.

21.

x 5 – 4x 4 + 2x 3

2x 2 – x

47.

22.

3x 6 – 6x 5 + 3x 4

48.

23. 2x

x 2

49. 5x + 7

24.

x 2 + 7x + 10

51. – 6

25.

33

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

נוסחאות הכפל המקוצר

פשט:

(x 5 – y 3 ) 2

1. (x + 4) 2

8.

(2a 3 + 6c 5 ) 2

2. (y - 5) 2

9.

2

2 3



   

3. (3x + 1) 2

11.

b c

3 5





4. (2a – 3b) 2

11. (x + y)(x - y)

5. (3ab – 1) 2

12. (1 + c)(1 – c)

(2x 2 + 3) 2

13. (2a – 3)(2a + 3)

6.

(y 3 + 2x) 2

14. (3x – 2b)(3x + 2b)

7.

: פתרונות

x 10 – 2x 5 y 3 + y 6

x 2 + 8x + 16

8.

1.

4a 6 + 24 a 3 c 5 + 36c 10

y 2 – 10y + 25

9.

2.

2 4 12 9 b bc c 9 15 25  

9x 2 + 6x + 1

2

11.

3.

x 2 – y 2

4a 2 – 12ab + 9b 2

11.

4.

1 – c 2

9a 2 b 2 – 6ab + 1

12.

5.

4a 2 – 9

4x 4 + 12x 2 + 9

13.

6.

9x 2 – 4b 2

y 6 + 4y 3 x + 4x 2

14.

7.

34

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

פתיחת סוגריים וכינוס א י

ברים

פתח סוגריים וכנס א י ברים דומים (אם ישנם):

–(4 – 3x) 2 + 2(x + 3) =

2(x + 7)+ (x - 3) 2 =

11.

1.

5(2x – 3) 2 + (x + 7)(x – 7) =

(x – 3)(x + 5) - 3(x + 9) 2 =

12.

2.

3(2x + 4)(3x + 1) + 2(x – 4) 2 =

13.

3. 2x(3x + 9) – 6(x + 3)(x – 3) =

10(x – 3) 2 - 7(x – 2) 2 =

-2(x – 9) 2 + 3x(5 – 2x) =

14.

4.

-2x(x + 3)(x – 3) + 6x(x 2 + x) =

(2x + 1) 2 – (2x – 1) 2 =

15.

5.

2x(3x 2 + 1) – 2x(x + 7) 2 =

16.

6. (5 – 2y)(5 + 2y) + 4y(y - 3) =

x(2x + 1)(2x – 1) – 4x 2 (x + 1) =

17.

7. – (2x + 5)(3x + 9) - 5(x + 8) =

18. y(2y + x) – x(3x + y) =

8. (2x + 1)(2x -1) + 5(x + 8)(x + 1) =

(2y – x)(2y + x) + (2y + x) 2 =

2(x + 7) 2 – 28x(x + 1) =

19.

9.

–(y + 3x)(y + 3x) + (y – 3x) 2 =

3(x – 2)(x + 2) – (x – 1) 2 =

21.

11.

: פתרונות

4x 3 + 6x 2 + 18x

9x 2 + 45x + 39

x 2 - 4x + 23

15.

8.

1.

4x 3 – 28x 2 – 96x

-26x 2 + 98

-2x 2 – 52x - 258

16.

9.

2.

-4x 2 – x

2x 2 + 2x – 13

17.

11.

3.

18x + 54

2y 2 – 3x 2

-9x 2 + 26x - 10

-8x 2 + 51x – 162

18.

11.

4.

8y 2 + 4xy

21x 2 – 60x – 4

19.

12.

5.

8x

20x 2 + 26x + 44

21. – 12xy

13.

6.

25 – 12y

3x 2 - 32x + 62

-6x 2 -38x - 85

14.

7.

35

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

צמצום שברים אלגברים צמצם ככל האפשר:



20 4xc 2 xy xy

6x 3

7.

1.







ab ac

8.

2.





3

6 ab a b

10xy 5y

9.

3.





3 2 5 15a b c 20a b c 5 2 30x y c 5xyc  2 2 3

7a 14

11.

4.





6xyz 18xyz

11.

5.







5bx

6.



10x

: פתרונות

5 xc

7.

1.

2x

b c

8.

2.

y

2

b a

9.

3.

2x

5

2 3ac 4

a 2

11.

4.

1 3

4 6x y 

11.

5.



b

6.

2

36

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

חיבור וחיסור שברים אלגברים הפוך לקו שבר אחד:

5 10 3x 4x   

a 2a 5 10

12.

1.

x

 

3 4 2 3 1 7 a a a

a b x x

13.

2.

  

 

2 3x 2

2 5 15

14.

3.

 

 

m m

27xy

3x

2 2 7x 3x a b ab

a b 3x x

15.

4.

 

 

2 2 2 3 2 x xy

7 6x a b

16.

5.

y   

 

x y

x

a 2 10 4a 3 6   

17.

6.

2

y  



4x 2 3x 4 4 5   

6

18.

7.



5

ab  

2b 4

2b 

8 2 a a b

19.

8.

8





  

1 1 x y x y  

3x 3 

21.

9.

 

6





3

a(x y) a b  

a b cx ax

21.

11.

x y   

 

b b b 4 b 4  

a b 10b 5

22.

 

11.

 

37

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

: פתרונות

2 6x 5 6x 

2a 5

12.

1.

2

4 3a 1 7a a  

a b x 

13.

2.

2 3x 2m m 

2 5(3y x) 9x y  2 2 x(7b 3a) a b 

14.

3.

a 3b 3x 

15.

4.

3

2 2 3 2xy x x y  

7b 6ax ab 

16.

5.

2y x y 

17. a 1 

6.

4x 3 10 

5ab 6 ab 

18.

7.

2(5a 4b) a(a b)  

9b 2 b 

19.

8.

2y (x y)(x y)   

21.

9.

5 x 

2 a bc acx  2 a 2b 10b 

(x y)(2a b) a b   

21.

11.

8b (b 4)(b 4)  

22.

11.

38

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

כפל וחילוק שברים אלגברים הפוך לקו שבר אחד:

3x 2xb : 2b 6y

a b x y

11.

1.



 

2 4 3 4a b

2x 5c b a 

11.

2.

12a b :





7xy

2 5

3 5

2 7c 3c 



5 15x y 13a b

3

12.

3.

: 3x ab





a a

5a 7c 10a 5c

3 3 6a 2ac b a  

13.



4.



5 3 2

2 7a b c 3m n 21a c 9mn 3

5a 7b 2b 10c 

5.

14.





2 5 6 3 7x y a b 14xy 12a b 

1

15.



6.



1

1



x

1

a 1 a  

a

3 2

3 4

6 7 2 21a b 24x c 64x c 35a 

7.



16.



2

4   

2m 5 m 39x 77ay 22a y 52x  4

x 2 1

17.

8.





3

x 2 

a x : b y

9.



39

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

פתרונות :

9y

ab xy

11.

1.

2

2b

10xc ab

2 2 21a b xy

11.

2.

5

7

5y 13a b 

3 21c a

12.

3.

6 2



3 12c

5 14

13.

4.

ab

2 3 a b c m

7a 4c

14.

5.

2 5 a b x 24

x x 1 

15.

6.

2

9ab 40x c

1 a a 

16.

7.

3 3

m 4

3 21x y 8a

4x 6 4x 6 3x 5 3x 5       

17.

8.

ay bx

9.

40

(c) High Q Global

יסודות אלגבריים לפסיכומטרי

משוואות

משוואות עם נעלם אחד פעולות שמותר לבצע על משוואה

כדי לפתור משוואה, יש לבצע על אגפ יה פעולות מתמטיות . הטושיפ לצורך עם זאת, עלינו לדאוג לכך שפעולות אלו לא ישפיעו על פתרונות המשוואה, כלומר, שאותם פתרונות (ערכי אמת) יהיו נכונים למשוואה לפני הפעולות שביצע גם ונו הן. אחרי הפעולות המותרות לביצוע על אגפי המשוואה:

/ הוספת החסרת אותו הביטוי משני אגפי המשוואה. פעולה זו שקולה לפעולה הנקראת "העברת אגפים" שבה יש כלל יסודי : " מעבירים אגפים – " סימנים כלומר , ב כל פעם שנעביר ביטוי או מספר אג ף , נחליף את הסימן שלו .

1)

מחליפים

שני אגפי המשוואה באותו הביטוי ( הערה: אין לכפול או לחלק ב - 0 .)

2)

תלוקח / תכפלה

בכל פעם שמבצעים פעולה על אגף של המשוואה, מת י יחסים לאגף כאל יחידה אחת (כאילו היה נתון

בתוך סוגריים) ומבצעים את הפעולה על כולו ולא רק על חלק ממנו. למעשה, נית ן לבצע על המשוואה

כל פעולה שהיא למעט חלוקה או כפל ב - 0 , כאשר מבצעים אותה בבת אחת על שני אגפי המשוואה. משווא ות במילים פשוטות

כדי להפוך את הבנת רעיון המשוואה לקלה ובהירה, נשתמש בה קבלה של משוואה למאזניים.

נניח שנתונה המשוואה : 4x 2 10   .

היא שאם נניח את האגף הימני ואת האגף השמאלי על

משמעות ה

שוויון שתי

ה כפות מאזניים, המאזנ יים יישארו מאוזנות לחלוטין. זאת מכיוון ששני הביט ויים שנמצאים בשני אגפי המשוואה ( 10 -ו 4x 2  ) הינם בעלי ערך זהה, שניהם שווים.

כדי לפתור את המשוואה, עלינו לגלות למה שווה x .

כדי למצוא למה שוו ה x , נבצע תהליך של בידוד המשתנה אותו אנו רוצים לגלות. בתום תהליך הבידוד, נשאר עם x באגף אחד ועם ביטוי כלשהו באגף השני. כיצד מבצעים בידוד ?

תהליך הבידוד מורכב משני שלבים :

העברת אגפים

.א

קחילו .ב

41

(c) High Q Global