הקריה האקדמית אונו | סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

סטטיסטיקה יישומים ▪ ניתוח נתונים ▪ שיטות מחקר כמותיות למדעי הרוח והחברה

סיון ריף | שרבל שוקייר

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

Sivan Riff | Sharbel Shoukair

Statistics and Quantitative Research Methods in Humanities and Social Sciences

שרבל שוקייר וסיון ריף ) 2026 כל הזכויות שמורות למחברים ( © הספר יצא לאור בסיוע הקריה האקדמית אונו

עריכה לשונית: רתם לוין תרשימים: סיון ריף הדפסה: פרינטיב עימוד ועיצוב כריכה: נטע אסקוזידו 1524-26206 דאנאקוד: הפצה: הקריה האקדמית אונו

הספר מוגן ע"י חוקי ההגנה על זכויות יוצרים. אין לשכפל, להעתיק, לצלם, להקליט, לתרגם, לחלק, לאחסן במאגרי מידע, או להפיץ ספר זה או חלקים ממנו בשום צורה ובשום אמצעי, אלקטרוני (לרבות אינטרנט ודוא"ל), אופטי או מכני מבלי לקבל רשות מפורשת מראש בכתב מהמחברים

העובר על הוראה זו צפוי לתביעה פלילית ו/או אזרחית ולעונש בהתאם לחוק.

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

פתרונות ▪ תרגילים ▪ תיאוריה

סיון ריף | שרבל שוקייר

תוכן עניינים

1 – סטטיסטיקה תיאורית............................................................. 1 פ ר ק 3. ..................................................................................... מבוא 1.1 6. .................................................... טבלת שכיחויות והצגה גרפית 1.2 16. ...................................................................... )1 שאלות לתרגול ( 25. ........................................................................... Σ סימן הסיגמא 27. ........................................................................... מדדי מרכז 1.3 34. ...................................................................... )2 שאלות לתרגול ( 39. .......................................................................... מדדי מיקום 1.4 44. ...................................................................... )3 שאלות לתרגול ( 48. ........................................................................... מדדי פיזור 1.5 57. ...................................................................... )4 שאלות לתרגול ( 61. ..................................................................... סוגי התפלגויות 1.6 63. ........................................................ גבול אמיתי וגבול מדומה 1.7 65. .......................................................................... שינוי לינארי 1.8 68. ............................................................................... ציון תקן 1.9 70. ...................................................................... )5 שאלות לתרגול ( 79 – הסתברות........................................................................... 2 פ ר ק 81. ........................................................ מושגים בתורת הקבוצות 2.1 83. ...................................................................... )6 שאלות לתרגול ( 85. ......................................................................... דיאגרמות ון 2.2 94. ...................................................................... )7 שאלות לתרגול (

99. ................................................................ יסודות ההסתברות 2.3 102. .................................................................... )8 שאלות לתרגול ( 105. ................................. הסתברות מותנית ושימוש בעצי החלטות 2.4 109. .................................................................... )9 שאלות לתרגול ( 113 – התפלגות נורמלית ............................................................ 3 פ ר ק 115.......................................................................................... מבוא 3.1 117.............. ושימוש בלוח ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית Z ערכי 3.2 120. ....................... Z – ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית – לוח 1 לוח 122. ................................... חישוב הסתברויות בהתפלגות נורמלית 3.3 127. ....... חישוב ערך מסוים לפי אחוז התצפיות בהתפלגות הנורמלית 3.4 129. .................................................................. )10 שאלות לתרגול ( 132. ................................. אמידה, התפלגות הדגימה ורווח בר סמך 3.5 132. ...................... סטטיסטי מדגמי לעומת פרמטר באוכלוסייה 3.5.1 133. .......................... התפלגות הדגימה ומשפט הגבול המרכזי 3.5.2 134. ...............................................................)11 שאלות לתרגול ( 136. ..................................... אמידה: אומדן נקודתי ורווח סמך 3.5.3 143 – יסודות הניתוח הכמותי...................................................... 4 פ ר ק 145. ................................................................................. מבוא 4.1 146. ............................................... שאלות והשערות המחקר 4.1.1 147. .................................................... מדגם המחקר ודגימה 4.1.2 150. .......................................................... איסוף וניתוח הנתונים 4.2 151. ........................................................... סקרים ושאלונים 4.2.1 153. ............................................................ מהימנות ותוקף 4.2.2

153. ............................................................. סולמות מדידה 4.2.3 154. ....................................... הליך המחקר ואתיקה מחקרית 4.2.4 156. ........ ניתוח קשרים בין משתנים: מקדמי מתאם ורגרסיה לינארית 4.3 157. ..................................................... מקדם המתאם של פירסון 4.4 160. .................................................................. )12 שאלות לתרגול ( 163. ....................................................... רגרסיה לינארית פשוטה 4.5 166. .................................................................. )13 שאלות לתרגול ( 169 . .................................. SPSS – הסקה סטטיסטית באמצעות 5 פ ר ק 171. ............................................................................. הקדמה 5.1 172. .................................. SPSS סטטיסטיקה תיאורית באמצעות 5.2 175. .............................. מטריצת קורלציות - מתאם פירסון וספירמן 5.3 179. .............................. SPSS רגרסיה לינארית פשוטה באמצעות 5.4 185. ....................................................... רגרסיה מרובת משתנים 5.5 190. ...................................................................... משתנה דמה 5.6 192. ............................................................................ T מבחני 5.7 192. ....................................................................... הקדמה 5.7.1 193. .................................................... מבחן טי למדגם אחד 5.7.2 194. ........................................ למדגמים בלתי תלויים T מבחן 5.7.3 198. .............................................. למדגמים מזווגים T מבחן 5.7.4 201..............................................Cramer’s V מבחן חי בריבוע ו־ 5.8 205. ............................ מהימנות שאלון באמצעות אלפא של קרונבך 5.9 206. ............................ סיכום: בחירת המבחן הסטטיסטי המתאים 5.10 207. ...................................................................................... נספח

209 – כתיבת עבודה מחקרית...................................................... 6 פ ר ק 211................................................................................... מבוא 6.1 212. ...................................................... מבנה העבודה המחקרית 6.2 214. ......................................... רכיבי העבודה המחקרית ותפקידם 6.3 214. ...................................................................... דף שער 6.3.1 214. ........................................................................ תקציר 6.3.2 214. .......................................................................... מבוא 6.3.3 215. .............................................................. סקירת ספרות 6.3.4 215. ............................................... שאלות והשערות המחקר 6.3.5 216. .............................................................. שיטת המחקר 6.3.6 218. ...................................................................... ממצאים 6.3.7 223. ................................................................... דיון וסיכום 6.3.8 224. ............................................................ רשימת מקורות 6.3.9 224. .................................................................... נספחים 6.3.10 225. .................... שימוש בבינה מלאכותית בכתיבת עבודה מחקרית 6.4

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

1 פ ר ק סטטיסטיקה תיאורית

1

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

מבוא 1. 1 

מהי השיטה הסטטיסטית? בעולם של היום, אנחנו חשופים לכמויות עצומות של מידע. חשוב להבין כיצד להשתמש במידע ולהפיק ממנו תועלת. בתחום החינוך, החברה ומדעי ההתנהגות, נאספים נתונים רבים על תלמידים, סטודנטים, מורים, הורים, עמדות, הישגים, תחושת שייכות, מוטיבציה, שביעות רצון והתנהגויות שונות. הסטטיסטיקה עוזרת לנו לארגן ולהציג את הנתונים בצורה שימושית, לנתח אותם ולהסיק מהם מסקנות.

נבדיל בין שני חלקים של השיטה הסטטיסטית:

1. – שיטות שעוסקות בסיכום ותיאור המידע בצורה שימושית יותר סטטיסטיקה תיאורית ויזואלית יותר. לדוגמה: בניית לוחות סטטיסטיים, הצגה גרפית וחישוב מדדים סטטיסטיים שונים שיעזרו לנו להבין את התמונה בצורה טובה יותר. השימוש הגרפי יסייע לנו, למשל, לתאר את התפלגות ציוני התלמידים, רמת המוטיבציה בכיתה, או שנות הוותק של מורים. חשוב לזכור כי השיטה הסטטיסטית מחליפה את התיאור הנרטיבי-מילולי בטבלאות, גרפים ועוד. לשם כך נלמד לקרוא את כל הנתונים האמורים באמצעות ייצוג מספרי ולא מילולי. 2. – אם הסטטיסטיקה התיאורית תיארה עבורנו ממצאים שאספנו, סטטיסטיקה הסקית הסטטיסטיקה ההסקית כשמה כן היא, כוללת מכלול שיטות שעוזרות לנו להסיק מסקנות לגבי כלל האוכלוסייה על בסיס מידע ותוצאות של מדגם מתוך האוכלוסייה. היא מפותחת יותר מהסטטיסטיקה התיאורית והיא בעצם עומדת בליבת המחקר הכמותי. לדוגמה, סטטיסטיקה היסקית תשאל למשל האם קיים קשר בין תחושת השייכות לביה"ס לבין תלמידים ולברר האם קשר זה אכן מתקיים. 200 הישגי התלמיד. אזי, נוכל לבדוק מדגם של בהנחה שנמצא קשר בין תחושת שייכות לבית הספר לבין הישגים לימודיים, נרצה לבדוק האם ניתן להסיק מממצאי המדגם מסקנה רחבה יותר לגבי אוכלוסיית תלמידים דומה אך גדולה יותר.

3

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

הגדרות בסיסיות

אוכלוסיית המחקר הקבוצה הרחבה ממנה אנו מתכוונים לבצע את הדגימה. לדוגמה: כלל תלמידי כיתות ו' בישראל, מורים בבתי ספר יסודיים או סטודנטים במכללות לחינוך. חשוב להגדיר היטב את אוכלוסיית המחקר, משום שממנה יילקח המדגם. מדגם הקבוצה שאיתה נעבוד בפועל, המדגם הוא כלל משתתפי המחקר, להם נעביר את הסקר ומהנתונים שיספקו לנו נסיק את המסקנות המחקריות. המדגם כולל את המשתתפים בפועל סטודנטים מתוך מכללה לחינוך. 50 במחקרנו. לדוגמה: משתנה תכונה המקבלת ערכים שונים באוכלוסיית המחקר. משתנים יכולים להיות ציון בבחינה, עיר מגורים, עמדות לגבי למידה מתוקשבת ועוד. דוגמה נוספת: בחקר של אוכלוסיית המורים בישראל המשתנים יכולים להיות גיל, מגדר, מספר שנות ותק בהוראה, מצב משפחתי ועוד. את המשתנים נהוג להגדיר על פי כיוון ועל פי מהות. הגדרה על פי כיוון תכלול התייחסות למשתנה תלוי ובלתי תלוי. הגדרה על פי מהות תכלול התייחסות למשתנה שמי או כמותי על סוגיו. א. הגדרה על פי כיוון: משתנה תלוי ומשתנה בלתי תלוי משתנה בלתי תלוי הוא משתנה הנקרא גם משתנה מסביר או מנבא. בניסוי הוא עשוי להיות מתופעל, ובמחקר תצפיתי הוא נמדד בלבד. המשתנה התלוי הוא המשתנה שאמור להגיב לשינויים במשתנה הבלתי תלוי (לכן הוא תלוי בו) לדוגמה: האם מוטיבציה לימודית תשפיע על ציונים. המוטיבציה היא המשתנה הבלתי תלוי (ניתן לתפעל אותו, החוקר יכול לקחת סטודנטים בעלי מוטיבציה וסטודנטים ללא מוטיבציה לימודית). המשתנה התלוי יהיה הציונים. במחקר נבחן האם הציון תלוי במידת המוטיבציה של התלמיד. דוגמה נוספת: האם כמות ההורמון שמקבל עכבר מעבדה ישפיע על מהירות פתרון המבוך. ההורמון הוא משתנה בלתי תלוי והחוקר יכול לשנות את המדדים שלו, ולצפות כיצד שינוי זה ישפיע על המשתנה התלוי שהוא מהירות פתרון המבוך.

4

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

ב. הגדרת משתנים על פי מהותם כאן הכוונה היא לאופי המשתנה עצמו. להלן מספר סוגי משתנים: . משתנה איכותי (שמי) 1

הערכים של המשתנה הם שמות ללא ביטויים מספריים. לדוגמה: מגדר, מצב משפחתי, צבע שיער ועוד. לערך המספרי שיסמן הנבדק בסקר אין שום משמעות מהותית (אם נסמן גבר, זה לא ערך מספרי שניתן 2 לבטא אישה או אם נסמן 1 למשתנה מגדר את המספר לעשות עליו חישובים מתמטיים, זה רק מספר שמבטא את המשתנה נשים או גברים). . משתנה כמותי 2 הערכים של המשתנה הם מספרים. לדוגמה: גיל, גובה, משקל, מספר שנות ותק בהוראה ועוד. מאחר שמספרים אלו הם בעלי ערך כמותי של ממש, ניתן לטעון למשל שמשפחה .2 ילדים גדולה פי 2 ילדים בהשוואה למשפחה עם 4 עם ערכי המשתנה הם מספרים נפרדים, כגון: מספר המורים בבית הספר, מספר הילדים במשפחה. ערכים אלו נקראים בדידים כי הם יכולים להיות מיוצגים על ידי מספר שלם בלבד. • משתנה כמותי רציף ערכי המשתנה רציפים. משתנה המקבל אין סוף ערכים אפשריים באותה קטגוריה. לדוגמה: משקל, גובה. משתנים אלו יכולים למשל להיות עם ערכי חצי, רבע, שליש ועוד. ק"ג. 50.2 כך למשל משקל יכול להיות משתנה כמותי ניתן למיין לשני סוגים: • משתנה כמותי בדיד

משתנה

איכותי

כמותי

רציף

בדיד

5

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

טבלת שכיחויות והצגה גרפית 1.2

כמו שתיארנו קודם, בעולם הסטטיסטיקה יש להבין את המידע מתוך טבלאות. אחת הטבלאות , כמה 50 הנפוצות בסטטיסטיקה היא טבלת השכיחויות. שכיחות פירושה כמה ילדים קיבלו ציון שכיחות. Frequency שפירושה באנגלית f וכיו"ב. השכיחות מתוארת באות 80 ילדים קיבלו ציון בעולם הסטטיסטיקה צריך לדעת כיצד לקרוא את הטבלה וממנה להסיק את המשמעויות ובאמצעותה לבצע חישובים. טבלת שכיחויות ניתן לייצר לכל סוגי המשתנים. להלן דוגמה לטבלת שכיחויות עבור משתנה איכותי:

טבלת שכיחויות עבור משתנה איכותי

דוגמה: חוקר החליט לבצע סקר העוסק בהרגלי הצפייה של אנשים. הוא בחר מדגם של תוכניות פופולריות. להלן נתונים לגבי תוכנית 4 צופים, ובחן כמה מהם צופים ב- 1,500,000 הטלוויזיה האהובה עליהם. נתונים (באלפים): 1,350 "בשלנים ללא הפסקה" 45 "ראשון בתקשורת" 15 " 22 "תא 90 "מנדלבאום וגולדנבאום" מאחר שבסטטיסטיקה לא נתאר את הדברים מילולית נכניס את כל המידע לטבלה. קריאה נכונה של הטבלה תסייע לנו להסיק משמעויות.

נסדר את הנתונים בטבלת שכיחויות כדלקמן (נתונים באלפים):

המשתנה: שם תוכנית X

f (x( שכיחות – כמה צופים בתוכנית

p = f/n שכיחות יחסית מתארת את אחוז הצופים

"בשלנים ללא הפסקה"

1350

)1350/1500(=90%

"ראשון בתקשורת"

45 15 90

)45/1500(=3% )15/1500(=1% )90/1500(=6%

" 22 "תא

"מנדלבאום וגולדנבאום"

n=1500 סה"כ

100% סה"כ

לצד הטבלה ניתן להוסיף גם תיאור גרפי, שכפי שניתן לראות מסייע לנו ביתר קלות לקרוא את הממצאים. משתנה איכותי נהוג להציג באמצעות דיאגרמת פאי (מכונה גם עוגה או פיצה).

6

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

הצגה גרפית עבור משתנה איכותי הדיאגרמה המתאימה עבור משתנה שמי או איכותי הינה דיאגרמת עוגה (פאי).

1% ,22 תא

6% מנדלבאום וגולדנבאום,

3% ראשון בתקשורת,

בשלנים ללא 90% הפסקה,

טבלת שכיחויות למשתנה כמותי בדיד משתנה כמותי בדיד - כלומר משתנה שיכול לקבל ערכים מספריים שלמים.

למרות שהמשתנה גיל הוא בדרך כלל משתנה כמותי רציף, החוקרים החליטו לאסוף נתוני גיל במספרים שלמים, ולכן לצורך העניין גיל כרגע נחשב למשתנה כמותי בדיד. רשימה ארוכה של כל הגילים, היא מאוד רחבה ומסורבלת (כפי שניתן לראות למטה) ולכן העדיפו החוקרים לרכז את המשתנה בטבלת שכיחויות. טבלת שכיחויות הינה טבלה המציגה את מספר הפעמים שמופיעים ערכים שונים במדגם (כמה למשל). 50 אנשים הם בגיל דוגמה מורים: 25 להלן התפלגות הגילים של 20,35,20,45,25,35,35,45,50,20,25,25,45,50,35,25,50,45,50,35,35,45,45,50,35

X מייצג את הגיל

f (x( שכיחות – כמה אנשים בגיל המסוים

F שכיחות מצטברת – חיבור בין תאים

p = f/n שכיחות יחסית כמה אנשים מסה"כ בגיל המסוים

P =F/n שכיחות יחסית מצטברת חיבור תאים 3/25=12% 7/25=28% 14/25=56% 20/25=80%

20 25 35 45 50

3 4 7 6 5

3 7

3/25=12% 4/25=16% 7/25=28% 6/25=24%

14 20 25

5/25=20% 25/25=100%

n=25 סה"כ

25/25=1 סה"כ

7

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

הגדרות כפי שניתן לראות מהטבלה, השפה הסטטיסטית מיוצגת באמצעות אותיות לועזיות, שהן קיצור מייצג את גיל המורה. X לביטוי המקורי באנגלית. במקרה זה, המשתנה - כלומר, עונה על השאלה כמה מורים הם f או f(x שכיחות - מספר המקרים לכל ערך- ( .35 מורים הם בגיל 7 . ניתן לראות שבטבלה המוצגת 35 בגיל שכיחות מצטברת - מספר המקרים עד (וכולל) אותו ערך. נסמן את השכיחות המצטברת מורים. 14 יש לנו 35 . אם נעיין בטבלה נוכל לטעון כי עד גיל F באות . במדגם שלנו סך כל השכיחויות הוא n גודל המדגם - מספר הערכים במדגם. נסמן באות מורים. 25 ולכן משתתפים במחקר 25 .)f/n שכיחות יחסית - השכיחות מובעת באחוזים. כלומר, שכיחות לחלק לגודל המדגם ( קטנה. p נסמן באות שכיחות יחסית מצטברת - השכיחות המצטברת מובעת באחוזים. כלומר, השכיחות גדולה. P המצטברת לחלק לגודל המדגם. נסמן באות . לסדר את המשתנה מהערך הנמוך לגבוה. 1 . בשורה האחרונה השכיחות המצטברת שווה לגודל המדגם. 2 .1 . השכיחות היחסית המצטברת במחלקה (השורה) האחרונה שווה ל- 3 . בסטטיסטיקה תיאורית שכיחות יחסית גם שווה להסתברות. ניתן לדעת מה ההסתברות 4 רק מלהסתכל על הטבלה, אין צורך לעשות חישובי הסתברות מסובכים. לדוגמה: ? ניתן לראות לפי השכיחות היחסית שהסיכוי הוא 25 מה הסיכוי לבחירת מורה שהגיל שלו הוא .4/25 כללים לבניית טבלת שכיחויות

הצגה גרפית עבור משתנה כמותי בדיד

הדיאגרמה המתאימה לתיאור משתנה כמותי בדיד הינה דיאגרמת מקלות. בדיאגרמות נראה נתונים המוצגים על פני שני צירים, כאשר הממצאים מתוארים על ידי קואורדינטות. קואורדינטה היא מספר שמציין מיקום. כדי לתאר נקודה במישור לא מספיק מספר אחד, כי מישור .) X, Y( : הוא דו-ממדי, ולכן כל נקודה מתוארת באמצעות זוג סדור של שני מספרים .)2 , 5 ) אינה אותה נקודה כמו ( 5 , 2 הזוג נקרא "סדור" משום שהסדר חשוב. הנקודה (

8

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

, הציר האופקי X ציר של נקודה אומרת כמה X הוא הציר האופקי, זה שנמתח משמאל לימין. הקואורדינטה X ציר יחידות יש לזוז ימינה או שמאלה מנקודת המוצא. בדרך כלל מתאר את המשתנה הבלתי תלוי. , הציר האנכי Y ציר של נקודה אומרת כמה Y הוא הציר האנכי, זה שנמתח מלמטה כלפי מעלה. הקואורדינטה Y ציר יחידות יש לזוז מעלה או מטה מנקודת המוצא. בדרך כלל מתאר את המשתנה התלוי. ראשית הצירים ). זוהי 0 , 0 הנקודה שבה שני הצירים נחתכים נקראת ראשית הצירים, והקואורדינטות שלה הן ( נקודת ההתחלה שממנה מודדים את שתי הקואורדינטות. את השכיחות (מספר המורים). בדוגמה Y- נציג את המשתנה (גיל) ועל ציר ה X למשל, על ציר ה שלנו נקבל את הדיאגרמה הבאה:

דיאגרמת מקלות

שכיחות

גיל המורים

טבלת שכיחויות עבור משתנה כמותי רציף

בגלל שהמשתנה הוא רציף, הוא יכול לקבל מספרים שאינם שלמים. לכן נשתמש בטבלת שכיחויות במחלקות עם טווח. גם במקרה שהנתונים רבים ויש צורך לפשט את טבלת השכיחויות על מנת שלא תהיה ארוכה מדי, נעדיף לייצר מחלקות (מחלקות פירושן מציון מסוים עד ציון מסוים). דוגמה בהסתמך על הדוגמה הקודמת יש להציג את הנתונים בטבלת שכיחויות המחולקת לשלוש שורות בלבד. 3 שורות, הנקראות גם מחלקות. החוקר מחליט שהוא רוצה

9

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

כיצד נקבע את רוחב המחלקה? טווח לחלק למספר המחלקות = רוחב מחלקה Xmin פחות הערך המינימלי Xmax הערך המקסימלי = טווח בדוגמה שלנו: 50-20 =30 טווח 30/3 =10 רוחב המחלקה שנים. 10 כלומר כל מחלקה תהיה ברוחב להלן:

– טווח גילאי X המורים רוחב המחלקה 10 הוא

f(x( שכיחות כמה משתתפים קיבלו את הציון האמור

F שכיחות מצטברת

P = F/n שכיחות יחסית מצטברת

p= f/n שכיחות יחסית

20-30 30-40 40-50

7 7

7

7/25 7/25

7/25

14 25

14/25

11

11/25

1=25/25

25/25=1 סה"כ

סה"כ n=25

, האם למחלקה 30 הערה: אם נתבונן בערכי הגיל, נשאלת השאלה לאן נכניס נבדק שגילו הוא הראשונה או למחלקה השנייה? מאחר שלכל ערך חייבת להיות קטגוריה אחת, בספר זה נגדיר – ועד 30.0001 היא בעצם 30-40 כל מחלקה עד וכולל את אותו מספר. (כלומר לדוגמה מחלקה כולל). 40

הצגה גרפית עבור משתנה כמותי רציף

היסטוגרמה (דיאגרמת מלבנים) הינה הדיאגרמה המתאימה לתיאור משתנה כמותי רציף.

12

10

8

6

4

שכיחות

2

0

20

30

40

50

גיל המורים

10

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

בניית היסטוגרמה כאשר רוחב המחלקות שונה כשבונים היסטוגרמה ורוחב המחלקות שווה ניתן לבחור בין שכיחות רגילה לצפיפות. אם רוחב המחלקות אינו שווה, ניתן לבנות היסטוגרמה לפי צפיפות בלבד. .f צפיפות הינה השכיחות ליחידה. נסמן צפיפות ב ' צפיפות עונה על השאלה כמה צפוף בתא. לשם כך נחלק את השכיחות ברוחב המחלקה.

כאשר: רוחב מחלקה = C השכיחות ליחידה אחת) = (צפיפות f' = f/c

בספר זה המחלקות מוגדרות כך שהגבול העליון נכלל והגבול התחתון אינו נכלל, למעט המחלקה לטווח כדי 1 הראשונה שבה נכלל גם הערך המינימלי. קיימות שיטות אחרות שבהן מוסיפים ליצור מחלקות של מספרים שלמים שבהן שני הגבולות נכללים.

דוגמה למחלקות שאינן סימטריות

x

f

f'=f/c

20-30 30-35 35-50

10 10 10

1=10/10 2=10/5

0.67=10/15

n=30

הגרף מטה אינו נכון ומטעה.

f

10

50

20

30 35

11

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

כאשר בונים היסטוגרמה ורוחב המחלקות הוא שונה אז יש לבנות את ההיסטוגרמה לפי צפיפות

f '

2

1

0.67

20

30 35

50

משתנה כמותי רציף – דיאגרמות נוספות

גרף שכיחות מצטברת

דוגמה: מנהלת בית ספר ביקשה לבחון את התפלגות ציוני התלמידים במבחן הבנת הנקרא. תלמידים לפי טווחי ציונים, וכן השכיחות המצטברת בכל טווח. 30 בטבלה מוצגים ציוני

X ציונים

f

F

50-60 60-70 70-80

10 15

10 25 30

5

n=30 סה"כ

דיאגרמה זו מציגה את השכיחות המצטברת של התפלגות ציוני תלמידים במבחן קריאה באופן גרפי. המשמעות של שכיחות מצטברת היא כמה תלמידים קיבלו עד אותו ציון. כך למשל עד הציון תלמידים. 25 קיבלו 70 תלמידים, אבל עד הציון 10 קיבלו 60

12

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

F שכיחות מצטברת

35

30

25

20

15

10

5

0

50

60

70

80

ציונים X

על ידי גרף זה ניתן לענות על שאלות כגון:

.)20= 30-10 : ? (תשובה 80 ל 60 • מה מספר התלמידים שהציון שלהם בין .)25 (תשובה: 70 • מה מספר התלמידים שקיבלו ציון נמוך או שווה ל-

גרף שכיחות יחסית מצטברת (באחוזים)

זהה לגרף שכיחות מצטברת רק שהתוצאות מוצגות באחוזים.

X המשתנה

f שכיחות

F שכיחות מצטברת

p שכיחות יחסית 10/30=33.33% 15/30=50% 5/30=16.67%

P אחוזים מצטברים

50-60 60-70 70-80

10 15

10 25 30

33.33% 83.33%

5

100%

13

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

P שכיחות יחסית מצטברת

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

50

60

70

80

ציונים X

שאלות לדוגמה: 83.33% ? תשובה: 70 מהו אחוז התלמידים שהציון שלהם קטן או שווה ל- ? 60 ל- 80 מהו אחוז התלמידים שקיבלו ציון בין

1-0.3333 = 0.66667 = 66.67% תשובה:

הערות X • שימו לב שלא מדובר בקו ישר. הגרף מראה מגמה. הגרף מתחיל בחיתוך עם ציר ה- .100% ומראה איך הסתברות מתחילה מאפס ועד • ישנן שיטות נוספות להציג את השכיחות היחסית המצטברת באופן גרפי, למשל על ידי דיאגרמה בצורת מלבנים (מדרגות).

גרף פוליגון (מצולע שכיחויות)

מצולע שכיחויות נותן לנו קו שמפשט את ההיסטוגרמה על ידי חיבור מרכזי המלבנים. הפוליגון מאפשר לנו לראות באופן ברור יותר את צורת ההתפלגות והוא גם נוח כאשר משווים בין כמה התפלגויות. כדי להשלים את גרף הפוליגון נחבר את אמצעי הקבוצות הקיצוניות לאמצעי קבוצות "דמיוניות" בקצוות של הגרף.

14

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

אופן בניית גרף פוליגון: . ניקח את המספר הראשון 2 . לוקחים את רוחב המחלקה הראשונה ונחלק אותו ב- 1 ונחסיר ממנו את התוצאה. ומוסיפים את התוצאה למספר 2 . לוקחים את רוחב המחלקה האחרונה, מחלקים ב- 2 האחרון. . על מנת לצייר פוליגון יש למצוא את אמצע המחלקות ולהעביר קו ישר בין אמצעי 3 המחלקות.

דוגמה:

ציונים X

f

F

50-60 60-70 70-80

10 15

10 25 30

5

n=30

f

16

14

12

10

8

6

4

2

0

45 50

60

70

80 85

15

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

) 1 שאלות לתרגול (

1 שאלה מורים: 34 להלן התפלגות גילאים של מורים בבית ספר המעסיק

, 25 , 22 , 25

, 34 , 40 , 18

, 21 , 19 , 19

, 19 , 21 , 55

, 18 , 25 , 19

, 40 , 22 , 18

, 55 , 18 , 55

, 33 , 19 , 22

, 30 , 40 , 40

, 25 , 33 , 34

, 22 , 34 , 33 40

בנה טבלת שכיחויות מלאה והצג את הנתונים באמצעות דיאגרמת מקלות.

פתרון

P = F/n שכיחות יחסית מצטברת

f(x( שכיחות

F שכיחות מצטברת

p= f/n שכיחות יחסית

X

18 19 21 22 25 30 33 34 40 55

4 5 2 4 4 1 3 3 5 3

4 9

4/34 5/34 2/34 4/34 4/34 1/34 3/34 3/34 5/34 3/34

4/34 9/34

11 15 19 20 23 26 31 34

11/34 15/34 19/34 20/34 23/34 26/34 31/34 34/34

n=34 סה"כ

34/34=1 סה"כ

שלב א': מאתרים את הערכים השונים ומסדרים בסדר עולה קודם כול נעבור על הנתונים ונרשום אילו גילאים בכלל מופיעים, בלי לחזור על אותו ערך פעמיים. . אלה 55 , 40 , 34 , 33 , 30 , 25 , 22 , 21 , 19 , 18 בסדרה שלנו מופיעים עשרה גילאים שונים: .x יהיו השורות של הטבלה, בעמודת חשוב לסדר אותם מהקטן לגדול, אחרת השכיחות המצטברת לא תהיה בעלת משמעות. של כל ערך f שלב ב': סופרים את השכיחות מופיע ארבע 18 עכשיו נעבור שוב על הנתונים ונספור כמה פעמים מופיע כל גיל. למשל, הגיל בשורה הראשונה. f = 4 פעמים, ולכן

16

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

, כלומר למספר המורים. אצלנו n חייב להיות שווה ל- f סכום עמודת בדיקה חיונית: , ואכן זהו מספר המורים בבית הספר. אם מתקבל מספר 34 = 4+5+2+4+4+1+3+3+5+3 אחר, סימן שספרנו ערך פעמיים או פספסנו אחד.

F מחשבים את השכיחות המצטברת שלב ג': לכן פשוט או צעירים ממנו. השכיחות המצטברת עונה על השאלה: כמה מורים יש בגיל הזה מחברים כל פעם את השכיחות הנוכחית למה שהצטבר עד כה: 4 , כלומר f שווה ל- F • בשורה הראשונה 9 = 5 + 4 • בשורה השנייה: , וכן הלאה 11 = 2 + 9 • בשורה השלישית: , כי בסוף הצטברו כל המורים. 34 חייב להיות בדיוק F הערך האחרון בעמודת בדיקה: P ושכיחות יחסית מצטברת p שלב ד': מחשבים שכיחות יחסית עד עכשיו עבדנו במספרים מוחלטים. השכיחות היחסית מתרגמת אותם לפרופורציה מתוך הכלל, : n כלומר מחלקת ב- איזה חלק מהמורים נמצא בדיוק בגיל הזה ← p = f/n איזה חלק מהמורים נמצא בגיל הזה או צעיר ממנו ← P = F/n .34 זו חלוקה של שתי העמודות הקודמות ב

דיאגרמת מקלות

6 5 4 3 2 1 0

שכיחות

18 19 21 22

25

30 33 34 40

55

גיל

17

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

2 שאלה תושבים מיישוב בצפון הארץ: 42 להלן הגילאים של

, 64 , 60 , 37 , 73 , 67 , 68 , 37 , 86 , 41 , 32 , 57 , 67 , 63 , 69 , 70 , 66 , 53 , 44 , 48 , 37 , 50 89 , 64 , 20 , 88 , 76 , 90 , 48 , 38 , 71 , 72 , 60 , 71 , 49 , 67 , 57 , 68 , 75 , 54 , 69 , 62 , 61 חלק את הנתונים לחמש מחלקות שוות רוחב, בנה טבלת שכיחויות מלאה והצג את הנתונים באמצעות היסטוגרמה.

פתרון שלב א': טווח .90 והגדול ביותר 20 הערך הקטן ביותר הוא 70 = 20 − 90 = טווח

שלב ב': רוחב מחלקה התבקשנו לחלק לחמש מחלקות שוות רוחב, ולכן נחלק את הטווח בחמש: 14 = 5 / 70 = רוחב מחלקה החלוקה יצאה מספר שלם ולכן אין צורך בעיגול. אילו הייתה יוצאת שבר, היינו מעגלים כלפי מעלה כדי שכל הנתונים ייכללו. שלב ג': גבולות המחלקות . מכאן חמש 90 , 76 , 62 , 48 , 34 , 20 בכל פעם: 14 מתחילים מהערך הקטן ביותר ומוסיפים המחלקות: . 90-76 ,76-62 ,62-48 ,48-34 ,34-20 את הגבול העליון שלה, ולכן הגבול התחתון שייך עד וכולל לפי הכלל שנקבע, כל מחלקה נמשכת ייכנס. 20 למחלקה שלפניה. במחלקה הראשונה בלבד נכלל גם הגבול התחתון, כדי שהערך שייך 48 בסדרה שלנו שלושה ערכים יושבים בדיוק על גבול, וכדאי לשבץ אותם בזהירות: . זהו מקור הטעות הנפוץ ביותר לרביעית 76 , ו לשלישית 62 (מופיע פעמיים), למחלקה השנייה בשאלות מסוג זה. שלב ד': ספירת השכיחויות נופל במחלקה השלישית 50 הנתונים ונשייך כל אחד למחלקה שלו. למשל, הערך 42 נעבור על בחמישית. 86 והערך

18

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

, וזהו אכן 42 = 2+8+10+18+4 . אצלנו n חייב להיות שווה ל- f בדיקה חיונית: סכום עמודת מספר התושבים במדגם.

וצפיפות F, p, P :' שלב ה עונה על השאלה כמה תושבים נמצאים במחלקה זו או צעירים ממנה, ולכן F השכיחות המצטברת הן חלוקה P ו- p מחברים בכל שורה את השכיחות למה שהצטבר עד כה. השכיחויות היחסיות ƒ' : . הצפיפות מתקבלת מחלוקת השכיחות ברוחב המחלקה 42 של שתי העמודות הקודמות ב- .c = 14 , כאשר = f/c

F שכיחות מצטברת

P = F/n שכיחות יחסית מצטברת

f(x( שכיחות

p= f/n שכיחות יחסית

ƒ' f/c צפיפות

x

20-34 34-48 48-62 62-76 76-90

2 8

2

2/42 8/42

2/42

0.143 0.571 0.714 1.286 0.286

10 20 38 42

10/42 20/42 38/42 42/42

10 18

10/42 18/42

4

4/42

נבנה היסטוגרמה לפי צפיפות (במקרה זה ניתן גם להציג שכיחות כי רוחב המחלקות שווה)

0.571 0.714 1.286

צפיפות

0.143 0.286

20

34

48

62

76

90

גיל

19

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

3 שאלה במחוז חינוך מסוים בדקו כמה תלמידים בכל שכבה משתתפים בחוגי העשרה בית־ספריים. להלן שכבות: 60 התוצאות ממדגם מקרי של , 15 , 28 , 29 , 27 , 49 , 35 , 16 , 30 , 37 , 27 , 20 , 13 , 49 , 38 , 16 , 27 , 22 , 61 , 52 , 33 , 11 , 22 , 20 , 8 , 10 , 32 , 30 , 20 , 21 , 30 , 26 , 24 , 25 , 37 , 23 , 19 , 25 , 32 , 11 , 7 , 65 , 30 , 18 29 , 28 , 53 , 66 , 9 , 26 , 48 , 37 , 19 , 57 , 50 , 36 , 9 , 67 , 33 , 12 , 59 חלק את הנתונים לשש מחלקות שוות רוחב. בנה טבלת שכיחות מלאה. שרטט היסטוגרמה, פוליגון שכיחויות וגרף שכיחות יחסית מצטברת.

פתרון שלב א': טווח ורוחב מחלקה .67 והגדול ביותר 7 הערך הקטן ביותר בסדרה הוא 60 = 7 − 67 = טווח 10 = 6 / 60 = רוחב מחלקה

שלב ב': גבולות המחלקות ,17-7 : . מכאן שש המחלקות 67 , 57 , 47 , 37 , 27 , 17 , 7 בכל פעם: 10 ומוסיפים 7 מתחילים מ- . 67-57 ,57-47 ,47-37 ,37-27 ,27-17 כמו קודם, כל מחלקה נמשכת עד וכולל את הגבול העליון שלה, ולכן הגבול התחתון שייך למחלקה ייכנס. 7 שלפניה. במחלקה הראשונה בלבד נכלל גם הגבול התחתון, כדי שהערך שלב ג': ספירה ובניית הטבלה 27 הנתונים ונשייך כל אחד למחלקה שלו. שימו לב במיוחד לערכי הגבול: הערך 60 נעבור על מופיע שלוש פעמים 37 מופיע שלוש פעמים והוא שייך למחלקה השנייה ולא לשלישית. הערך שייך לחמישית ולא לשישית. בדיוק כאן נופלות רוב 57 והוא שייך לשלישית ולא לרביעית. הערך טעויות הספירה. , כמספר השכבות במדגם. 60 = 12+18+17+1+7+5 בדיקה חיונית:

20

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

F שכיחות מצטברת

P = F/n שכיחות יחסית מצטברת

f(x( שכיחות

p= f/n שכיחות יחסית

ƒ' f/c צפיפות

x

7-17

12 18 17

12 30 47 48 55 60

12/60 18/60 17/60

12/60 30/60 47/60 48/60 55/60 60/60

1.2 1.8 1.7 0.1 0.7 0.5

17-27 27-37 37-47 47-57 57-67

1 7 5

1/60 7/60 5/60

n=60

נבנה היסטוגרמה לפי צפיפות

f '

1.7 1.8

1.2

0.5 0.7

0.1

7

17

27

37

47

57

67

21

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

גרף שכיחות יחסית מצטברת

Y

60 / 55 /

60

60

48 /

60

47 /

60

30 /

60

שכיחות יחסית מצטברת

12 /

60

X

7

17

27

37

47

57 67

גרף פוליגון

f '

1.7 1.8

1.2

0.7

0.5

0.1

2 7

17

27

37

47

57

67 72

22

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

4 שאלה אלמנים 290 נשואים , 2,685 , הינם רווקים 1,795 : גברים נמצא כי 5,000 מתוך מדגם של גרושים. 230 ו- 250 אלמנות ו- 320 נשואות, 3,505 , רווקות 925 נשים נמצא כי: 5,000 מתוך מדגם של גרושות. . הציגו בטבלה את אחוז הגברים ואחוז הנשים (שכיחות יחסית) עבור כל מצב משפחתי 1 . הציגו את הנתונים בשתי דיאגרמות עוגה. 2

פתרון שלב א': מזהים את המשתנה ואת סוגו

המשתנה כאן הוא מצב משפחתי, והוא משתנה איכותי (קטגוריאלי). זו נקודת פתיחה חשובה, כי היא קובעת אילו כלים מותר להפעיל. אי אפשר לחשב כאן ממוצע או חציון, אין משמעות ל"סדר" בין הקטגוריות, ולכן מה שנשאר הוא ספירה, אחוזים ותצוגה גרפית מתאימה.

שלב ב': חישוב שכיחויות כדי לקבל אחוזים: 100 לכל קטגוריה מחלקים את השכיחות בגודל המדגם, ומכפילים ב- p = f/n × 100 את שכיחות .10,000 המכנה הוא גודל הקבוצה עצמה, לא הסך הכולל של חשוב מאוד: הנשים. זו טעות נפוצה, 5,000- הגברים, ואת שכיחות הרווקות ב 5,000- הרווקים מחלקים ב ובמדגמים בגדלים שונים היא הופכת את התוצאה לחסרת משמעות. .35.9% , כלומר 0.359 = 1795/5000 נותנים 5,000 רווקים מתוך 1,795 למשל, אצל הגברים שלב ג': בודקים , וסכום השכיחויות המוחלטות חייב 100% בכל אחת משתי העמודות, סכום האחוזים חייב להיות . אם מתקבל מספר אחר, סימן שנפלה טעות בחלוקה או שקטגוריה נשמטה. 5,000 להיות .1 מצב משפחתי f גברים גברים % f נשים נשים % רווקים/ות 1,795 35.9% 925 18.5% נשואים/ות 2,685 53.7% 3,505 70.1% אלמנים/ות 290 5.8% 320 6.4% גרושים/ות 230 4.6% 250 5.0% סה"כ 5,000 100.0% 5,000 100.0%

23

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

. שתי דיאגרמות עוגה 2

נשים

גברים

רווק נשוי

רווקה נשואה אלמנה גרושה

אלמן גרוש

24

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

Σ סימן הסיגמא

הסיבה Σ לפני שנתחיל להציג שיטות שונות בסטטיסטיקה התיאורית, נקדים ונסביר מהו סימן ה לכך היא שניתקל בהמשך בסימן זה בספר, כיוון שנהוג להשתמש בסיגמא בנוסחאות רבות כסימן קיצור לסכום של איברים. סימן הסיגמא מהווה הוראה לחיבורם של מספר איברים מסודרים:

n

1 2 X x x x x = = + + + ∑ 3 .... i

n

1

i

- מתארת את מספר האיברים בסדרה או גודל המדגם. n .n עד 1 - מהווה אינדקס, מספר רץ שמסמן איבר מסוים בסדרה מ i

דוגמאות .1

4

2 = = + + ∑ 3 i

X x x x

4

2

i

.2

3

1 1 2 2 2 2 i i X x x x = = + + ∑ 2

3

.3

3

1 1 (2 5)2 52 52 5 i i X x x x = + = + + + + + ∑ 2 3

דוגמה

X 4 1 5 3 2

i

1 2 3 4 5

5

xi = = + + + + = ∑

4 1 5 3 2 15

1

i

25

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

מדדים סטטיסטיים

מדדים סטטיסטיים הנם ערכים מספריים המתארים תופעות מסוימות בהתפלגות הנתונים. למשל מה ממוצע הציונים, כיצד הם מפוזרים ועוד. לאחר ארגון הנתונים בטבלת שכיחות והצגת הדיאגרמות ניתן לחשב ערכים מספריים שיעזרו לנו להסיק מסקנות על המשתנה הנחקר.

ניתן למיין את המדדים לשלוש קטגוריות:

מדדי מרכז • שכיח • חציון • ממוצע

מדדי מיקום אחוזונים (מאונים)

מדדי פיזור . תחום 1

. שונות וסטיית תקן 2 . תחום בין - רבעוני 3

26

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

מדדי מרכז 1.3

א. שכיח הציון הנפוץ ביותר, הציון בעל התדירות הגבוהה ביותר במדגם. . או Mo (mode( שכיח נסמן ב נתחיל ונבדוק את חישוב השכיח עבור משתנה איכותי: חישוב שכיח עבור משתנה איכותי עבור משתנה איכותי השכיח הוא הערך בעל השכיחות הגבוהה ביותר.

דוגמה צופים, להלן נתונים לגבי תוכנית הטלוויזיה האהובה עליהם. 1,500,000 לפי סקר של נתונים (באלפים) 1,350 "בשלנים ללא הפסקה" 45 "ראשון בתקשורת" 15 " 22 "תא 90 "מנדלבאום וגולדנבאום"

f (x( שכיחות – כמה צופים בתוכנית

p = f/n שכיחות יחסית מתארת את אחוז הצופים

X

"בשלנים ללא הפסקה"

1350

)1350/1500(=90%

"ראשון בתקשורת"

45 15 90

)45/1500(=3% )15/1500(=1% )90/1500(=6%

" 22 "תא

"מנדלבאום וגולדנבאום"

n=1500 סה"כ

100% סה"כ

בשלנים ללא הפסקה = Mo .) 1,350 השכיח הוא בשלנים ללא הפסקה עם השכיחות הגבוהה ביותר (תדירות

27

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

חישוב שכיח עבור משתנה כמותי בדיד כאשר יש לנו טבלת שכיחויות (ציונים לדוגמה) השכיח הוא המספר שמופיע הכי הרבה פעמים. כלומר הציון שיש לו את השכיחות הגבוהה ביותר. נסתכל בטבלה ונבחן לאיזה ציון יש את המופעים הרבים ביותר (שכיחות הכי גבוהה). .)7 (עם תדירות 65 בדוגמה שלפנינו הציון השכיח הוא

X

f

40 50 65 75

3 4 7 6 5

80 n=25 סך כל השכיחויות ייתכן מצב שבו גם יופיעו מספר ערכים עם התדירות הגבוהה ביותר. כלומר ייתכנו שני שכיחים .)7 (עם תדירות 80 ו- 65 למשל בדוגמה הבאה ניתן לומר שהשכיחים הם

X

f

40 50 65 75 80

3 4 7 6 7

n=27

חישוב שכיח עבור משתנה כמותי רציף שלבים בחישוב השכיח עבור משתנה כמותי רציף: . לבנות עמודה של צפיפות. 1 . למצוא את מחלקת השכיח, המחלקה בעלת הצפיפות הגבוהה ביותר. 2 . לחשב את השכיח בעזרת הנוסחה הבאה: 3

גבול תחתון של מחלקת השכיח = L הצפיפות של מחלקת השכיח = '( ) f i

28

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

הצפיפות של המחלקה שלפני מחלקת השכיח = '(i 1) f − הצפיפות של המחלקה שאחרי מחלקת השכיח = '(i 1) f + רוחב מחלקת השכיח = C

דוגמה

X (גיל)

f(x( שכיחות

ƒ' ƒ/c צפיפות

20-25 25-30 30-40 40-50

10 25 10 30

2 5 1 3

) 25-30( מחלקה

הערה: אם מחלקת השכיח היא המחלקה הראשונה אז המחלקה שלפניה תהיה אפס. אם מחלקת השכיח היא הקבוצה האחרונה, המחלקה שאחריה תהיה שווה לאפס.

ב. חציון החציון מוגדר כערך החוצה את ההתפלגות, עם מספר שווה של ערכים מעליו ומתחתיו. חציון פעולות שצריך 2 . חשוב לציין כי כאשר מתבצע חישוב החציון, ישנן ME (median( נסמן ב לבצע. א. לסדר את הציונים מהנמוך לגבוה. ב. לחשב את המיקום האמצעי של ההתפלגות, ובמקום זה לאתר את הערך החציוני.

חישוב חציון עבור משתנה איכותי (אין משמעות לחישוב החציון במשתנה זה). 1 לא ניתן לחשב חציון עבור משתנה איכותי

. יש אפשרות לחשב חציון למשתנה איכותי כאשר הוא בסולם סדר. 1

29

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

חישוב חציון עבור משתנה כמותי בדיד

דוגמה להלן התפלגות הציונים של שלושה סטודנטים לחינוך

X

f

70 80 90

1 1 1

n=3

הוא החציון (עם מספר שווה של ערכים מעליו ומתחתיו). 80 בדוגמה שלפנינו

שלבים בחישוב החציון עבור משתנה כמותי בדיד: . לבנות עמודה של שכיחות מצטברת (מספר המקרים עד לאותו ערך). 1 תמיד מחלקים 2-- לחלק ל 25 (מספר המקרים במדגם במקרה שלנו n/2 . לחשב את הערך 2 12.5= 25:2 ). במקרה שלנו התוצאה היא 2 ב- מתי F ≥ n*½,- . לבדוק מתי בפעם הראשונה השכיחות המצטברת גדולה או שווה לחצי 3 או למעלה ממנו. 12.5 בעמודת השכיחות המצטברת נקבל בפעם הראשונה את הערך דוגמה F f x 2 2 50 5 3 60 10 5 65 18 8 70 22 4 80 25 3 90 n=25 Me = 70 ולכן F ≥ 12.5 . לכן במדגם זה החציון הוא 12.5 הוא הפעם הראשונה שהערך גדול מ 18 ניתן לראות שהערך .70 הציון

30

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

חישוב חציון עבור משתנה כמותי רציף שלבים בחישוב חציון עבור משתנה כמותי רציף: . לבנות עמודה של שכיחות מצטברת (מספר המקרים עד לאותו ערך) 1 n/2 . לחשב את הערך 2 F≥ n *1/2 . לבדוק מתי בפעם הראשונה השכיחות המצטברת גדולה או שווה לחצי 3 . נציב את הנתונים בנוסחה הבאה: 4

גבול תחתון מחלקת חציון = L רוחב מחלקה = C שכיחות מחלקת חציון = f גודל מדגם = N השכיחות המצטברת של המחלקה שלפני מחלקת החציון = F(i-1 (

דוגמה

x

f

F 2 5

50-60 60-65 65-70 70-80 80-90

2 3 5 8 4 3

10 18 22 25

90-100

n=25

F ≥ 12.5 ) 70-80( מחלקה

ג. ממוצע הממוצע הוא מדד מרכז המייצג את ההתנהגות הטיפוסית של התפלגות המשתנה הנחקר, והוא מחושב כסכום כל הערכים חלקי מספר הערכים. כמו שמחשבים סטודנטים את הציון הממוצע שלהם במקצוע מסוים. הם יאספו את כל ציוני התרגילים והבחנים ויחלקו למספר התרגילים . והבחנים בקורס. ממוצע מסמנים בסימון

31

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

n

∑

x f

i i

X

=

1

i

=

n

∑

f

i

1

i

=

ניתן לרשום זאת גם כך:

n

∑

x f

i i

X

i = =

1

n

- ערכי המשתנה Xi - שכיחות המשתנה fi

תכונות הממוצע . ניתן לחישוב רק למשתנה כמותי. 1 . מתאר ברמה כללית את המשתנה אך הוא לא בהכרח ואף לרוב אינו ערך הקיים בסדרה. 2 . הממוצע מושפע מערכים קיצוניים 3

חישוב ממוצע עבור משתנה איכותי (שמי) לא ניתן לחשב ממוצע עבור משתנה איכותי (אין משמעות לחישוב הממוצע במשתנה זה)

חישוב ממוצע עבור משתנה כמותי בדיד

X

f

50 60 65 70 80 90

2 3 5 8 4 3

n=25

502 603 655 708 804 903 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅

70.2

X

=

=

25

32

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

חישוב ממוצע עבור משתנה כמותי רציף בטבלה הנוכחית ניתן לראות את הקושי המיידי לחשב ממוצע מכיוון שהמחלקות מוצגות בטווח, אי לכך כדי לחשב את הממוצע לכל מחלקה נחשב את אמצע הטווח.

X

f

50-60 60-65 65-70 70-80 80-90

2 3 5 8 4 3

90-100

n=25

נחשב אמצע קטע לכל מחלקה על ידי חישוב ממוצע לכל מחלקה ולאחר מכן נחשב את הממוצע .)55 אמצע X ונקבל 2 לחלק ל- 50+60 (לדוגמה: במחלקה הראשונה נחשב

אמצע X

f

55

2 3 5 8 4 3

62.5 67.5

75 85 95

552 62.53 67.55 758 854 953 ⋅+ ⋅+ ⋅+⋅+⋅+⋅

74.4

X

=

=

25

33

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

) 2 שאלות לתרגול (

1 שאלה מספרים: 7 לפניך סדרה של 11 , 5 , 20 , 13 , 4 , 5 , 11 חשב את החציון והשכיח של סדרה זו פתרון שכיח: בסדרת מספרים זו נוכל למצוא שני שכיחים MO= 11 , 5 בעלי אותה תדירות והם )2 בעלי תדירות (

חציון: על מנת למצוא את החציון נחשב א.

x 4 5

ƒ 1 2 2 1 1

F 1 3 5 6 7

11 13 20

n = 7

ב. ME = 11 ג.

34

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

2 שאלה להלן נתונים של מספר המחשבים הנייחים בבית מתוך מדגם מקרי של בתי מגורים ממרכז הארץ.

X מספר מחשבים

f מספר בתי מגורים

0 1 2 3 4 5 6

25

5

98 45 15 11

5

. הציגו את הנתונים בדיאגרמה מתאימה 1 . מהו השכיח, החציון והממוצע של מספר המחשבים? 2

פתרון

. נשרטט דיאגרמת מקלות 1

120 100

80 60 40 20 0

מספר בתי מגורים

0 1 2 3 4 5 6

מספר מחשבים

35

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

. שכיח: 2 .MO=2 , ) 98 בתדירות ( 2 השכיח הוא

x 0 1 2 3 4 5 6

f

F

25

25 30

5

98 45 15 11

128 173 188 199 204

5

n = 204

שלב א': מחשבים את המיקום של החציון החציון הוא הערך שמחלק את הסדרה לשניים, כלומר הערך שנמצא באמצע. לכן קודם כול נאתר היכן הוא ממוקם בסדרה, ורק אחר כך נשאל מהו הציון שנמצא שם. n × ½ = 204 × ½ = 102 בסדרה המסודרת. 102 כלומר: החציון נמצא במיקום ה- 2 שלב ב': מחפשים בטבלה את השכיחות המצטברת המתאימה ). נחפש F , נעבור לטבלה ונעיין בעמודת השכיחות המצטברת ( 102 אחרי שאיתרנו את הערך . במיקום זה נוכל לאתר את הציון החציוני. 102 הראשון שגדול או שווה ל- את הערך : השכיחות המצטברת מספרת לנו כמה 102 חשוב להבין למה דווקא הערך הראשון שגדול מ- 102 , סימן שהנבדק ה- 102 נבדקים "הצטברו" עד לשורה מסוימת. ברגע שהמונה הזה עבר את כבר נכלל בשורה הזו, ולכן הציון של אותה שורה הוא הציון החציוני. שלב ג': קוראים את הציון מהשורה שאיתרנו ? 102 ונשאל בכל שורה: האם הערך הזה כבר הגיע ל- F במקרה שלנו נעבור על עמודת - עדיין לא 30 102 - כן, זו הפעם הראשונה שהערך עבר את 128 2 = החציון באותה שורה: X לכן נעצור בשורה זו, ונקרא את הציון שמופיע בעמודת כבר 2 עדיין לא נכלל. בשורה של ציון 102 נבדקים, ולכן הנבדק ה- 30 הצטברו רק 1 עד לציון בהחלט נמצא בקבוצה הזו. הציון שלו, ושל כל מי 102 נבדקים, כלומר הנבדק ה- 128 הצטברו .2 שנמצא בשורה הזו, הוא

. כאשר מספר התצפיות זוגי ושני הערכים המרכזיים שונים, החציון הוא הממוצע שלהם. לצורך הפשטות, 2 בספר זה לא נעסוק במקרים אלה.

36

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

על מנת למצוא את החציון נחשב: 102 = ½ * 204 א. F ≥ 102 . ב 2 = ג. החציון

3 שאלה להלן התפלגות ההכנסה החודשית למשפחה בשכונה מסוימת באזור רמת גן.

הכנסה חודשית 4,500-9,500 9,500-14,500 14,500-19,500 19,500-29,500 29,500-34,500

שכיחות

11 52 24 17

3

. חשב את הממוצע, החציון והשכיח של ההכנסות 1 . שרטט היסטוגרמה וסמן עליה את החציון אותו חישבת בסעיף הקודם 2 פתרון .1 f ' F f X

אמצע X

7,000

4,500-9,500

11

11

11:5,000=0.0022

12,000

9,500-14,500

52

63

52:5,000=0.0104

17,000

14,500-19,500

24

87

24:5,000=0.0048

24,500

19,500-29,500

17

104

17:10,000=0.0017

32,000

29,500-34,500

3

107

3:5,000=0.0006

n = 107

37

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

ממוצע:

חציון:

n*1⁄2=107*1⁄2=53.5 F ≥ 53.5

:14,500-9,500 החציון נמצא במחלקה

שכיח:

:14,500-9,500 השכיח נמצא במחלקה

. שרטט היסטוגרמה וסמן עליה את החציון אותו חישבת בסעיף הקודם: 2

0.0104

0.0048

חציון

0.0017 0.0022

צפיפות

0.0006

4,500 9,500 14,500 19,500 29,500 34,500

38

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

מדדי מיקום 1.4

מדדי מיקום הם מדדים סטטיסטיים יחסיים שמסבירים לנו מה מיקומו היחסי של ערך מסוים (למשל גילו של הנבדק יוסי) בתוך כל קבוצת הנתונים (כל הגילאים בהתפלגות המשתנה גיל בכיתה הנבדקת). הם יראו לנו איפה ממוקם גילו של הנבדק, יוסי, בהשוואה לכל גילאי חבריו בכיתה. בפרק זה נעסוק באחוזון/מאון. אחוז מהמקרים נמוכים ממנו או שווים לו. אחוזונים מאפשרים P – הערך ש- אחוזון / מאון לנו לדעת איפה בדיוק ממוקמת תצפית מסוימת ביחס לכלל האוכלוסייה. כלומר, כמה אחוזים מהנבדקים נמצאים מתחתיה, כך שאפשר לפרש מדידה בודדת בהקשר של הקבוצה כולה, ולא רק כמספר מנותק. : בטיפת חלב עוקבים אחר משקל תינוקות באמצעות עקומות גדילה המבוססות על לדוגמה מהתינוקות בני 75% למשקל, משקלו גבוה ממשקלם של 75 אחוזונים. תינוק הנמצא באחוזון ה־ ק"ג) לבדו אינו אומר דבר; רק ההשוואה לבני אותו גיל הופכת 8 גילו. המספר הגולמי (למשל אותו למידע בעל משמעות התפתחותית, ולא רק מספרית.

X

)

יסומן 25 (למשל אחוזון

אחוזון/מאון נסמן ב

25 100

חישוב אחוזון עבור משתנה כמותי בדיד שלבים בחישוב אחוזון עבור משתנה כמותי בדיד F . חישוב שכיחות מצטברת 1 . חישוב 2 ≥ F . נמצא מתי בפעם הראשונה 3 דוגמה .80 להלן התפלגות ציונים בכיתה מסוימת. חשבו את האחוזון ה-

x

f

F 2 5

50 60 65 70 80 90

2 3 5 8 4 3

10 18 22 25

n=25

39

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

פתרון

20 =80/100*25

F≥20

.80 מהציונים מתחת לציון 80% –

80

X

=

80 100

חישוב אחוזון עבור משתנה כמותי רציף

שלבים בחישוב אחוזון עבור משתנה כמותי רציף: F . חישוב שכיחות מצטברת 1 . חישוב 2

≥ F . נמצא מתי 3 . הצבה בנוסחה 4

דוגמה חשבו על פי הטבלה מעלה המציגה את התפלגות הציונים בכיתה מסוימת את .80 האחוזון ה-

x

f

F 2 5

50-60 60-65 65-70 70-80 80-90

2 3 5 8 4 3

10 18 22 25

90-100

n=25

פתרון

. יש לחשב את הערך 1

.20 הינו 80 מכאן מיקום האחוזון ה-

40

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

≥ F . נמצא מתי 2

) 80-90( לכן המחלקה הרלוונטית היא

. יש להציב בנוסחה הבאה: 3

קיבלו מעל ציון זה. 20% , ו- 85 מהסטודנטים קיבלו מתחת לציון 80% כלומר

דוגמאות נוספות (אחוזונים)

1 דוגמה

x

f

F 2 5

50 60 65 70 80 90

2 3 5 8 4 3

10 18 22 25

n=25

מהתלמידים נמצאים מתחתיו? 77% . מהו הציון ש 1 מהתלמידים נמצאים מעליו? 65% . מהו הציון ש 2 ומטה? 60 . מהו אחוז התלמידים שקיבלו ציון 3 (לא כולל)? 80 . מהו אחוז התלמידים אשר קיבלו ציון גבוה מ- 4

פתרון

.77 . יש למצוא את האחוזון ה- 1

נמצא את המיקום לפי:

41

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

.)100% - 65%=35%( 35 . יש למצוא את האחוזון ה- 2

נמצא את המיקום לפי:

, 5 הוא 60 . מהטבלה שלמעלה ניתן לראות כי מספר התלמידים שקיבלו ציון נמוך מ‑ 3 .20 הוא האחוזון ה‑ 60 . מכאן שהציון 20% = 5/25 ובאחוזים:

, ובאחוזים 3 הוא 80 . לפי הטבלה ניתן לראות שמספר התלמידים שקיבלו ציון גבוה מ- 4 .12%=3/25

2 דוגמה

x

f

F 2 5

50-60 60-65 65-70 70-80 80-90

2 3 5 8 4 3

10 18 22 25

90-100

n=25

מהתלמידים נמצאים מתחתיו? 77% . מהו הציון ש 1 מהתלמידים נמצאים מעליו? 35% . מהו הציון ש 2 (כולל)? 67 . מהו אחוז התלמידים שקיבלו מתחת לציון 3 ? 67 ל- 58 . מה אחוז התלמידים שקיבלו ציון בין 4

פתרון

: 77 . נמצא את האחוזון ה- 1

. 80-90 מכאן המחלקה היא

נציב בנוסחה של האחוזון:

42

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

: 65 . נמצא את האחוזון ה 2

. 70-80 מכאן המחלקה היא

יש להציב בנוסחה של האחוזון:

מהנוסחה. P על ידי חילוץ 67 . נמצא את האחוזון המתאים לציון 3 ) ולכן: 65-70( נופל במחלקה 67 הציון

P = 28%

.58 . נמצא קודם את אחוז התלמידים שקיבלו ציון נמוך מ- 4 ) ולכן: 50-60( נופל במחלקה 58 הציון

P = 6.4%

: 67 ל- 58 על מנת למצוא את אחוז התלמידים שקיבלו ציון בין .6.4% הינו 58 אחוז התלמידים עד 28% הינו 67 אחוז התלמידים עד ) יש לחסר בין האחוזים: 58-67( על מנת לחשב את אחוז התלמידים בין שני הציונים

43

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

) 3 שאלות לתרגול (

1 שאלה לפניך התפלגות השכר לשעה של עובדים בחברה מסוימת:

שכר לשעה

שכיחות

25-32 32-45 45-53 53-60 60-70

30

2

55 21

9

. חשב את הממוצע, החציון והשכיח. 1 .16 . חשב את האחוזון ה- 2 ? 65.3 לבין 51.4 . מצא מהו אחוז העובדים שהשכר לשעה שלהם בין 3

פתרון

.1

אמצע קטע X

X

f

F

f '

28.5

25-32

30

30

30:7=4.286

38.5

32-45

2

32

2:13=0.154

49

45-53

55

87

55:8=6.875

56.5

53-60

21

108

21:7=3

65

60-70

9

117

9:10=0.9

n = 117

ממוצע:

44

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

חציון:

. 45-53 החציון נמצא במחלקה

שכיח:

:45-53 השכיח נמצא במחלקה

: 16 . אחוזון 2

. 25-32 נמצא במחלקה 16 האחוזון ה-

.65.3 לבין 51.4 . נמצא את אחוז העובדים שהשכר לשעה שלהם בין 3

:)45-53( נמצא במחלקה 51.4 הערך

45

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למדעי הרוח והחברה

:)60-70( נמצא במחלקה 65.3 הערך

2 שאלה 600 בבחינה ארצית במתמטיקה שנערכה במתכונת ממוחשבת, נמדד הזמן (בדקות) שנדרש ל תלמידים כדי להשלים את הבחינה. הנתונים קובצו לטבלת השכיחויות הבאה:

אורך 0-35

מספר תלמידים

35-62 62-90 90-130 130-210

, 62 דקות, הרבעון הראשון הינו 35 בעיבוד נתונים ראשוני, נמצא כי העשירון הראשון הינו .130 והעשירון העליון הינו 90 הרבעון השלישי הינו השלם את טבלת השכיחויות שלעיל.

פתרון נגדיר:

X 10% X 90% X 25% X 75%

עשירון תחתון (ראשון) –

עשירון עליון – רבעון ראשון – רבעון שלישי –

46