הקריה האקדמית אונו | ניהול פיננסי והשקעות

ניהול פיננסי והשקעות תיאוריה, תרגילים ופתרונות בעזרת מחשבונים פיננסיים ותוכנת אקסל

סיון ריף | שרבל שוקייר

ניהול פיננסי והשקעות

Sivan Riff | Sharbel Shoukair

Financial Management

and Investments

ניהול פיננסי והשקעות

תיאוריה, תרגילים ופתרונות בעזרת מחשבונים פיננסיים ותוכנת אקסל

שרבל שוקייר סיון ריף

ש רבל שוקייר ו סיון ריף

© כל הזכויות שמורות למחבר ים ( )0202

הקריה האקדמית אונו, רח' צה"ל 401 , קרית אונו

הספר יצא לאור בסיוע הקריה האקדמית אונו

עריכה והגהה לשונית: ליהי צינצינטוס -ארד ואפרת שחר

תרשימים: סיון ריף

הדפסה: דף - אור יקיר פרינט

עיצוב כריכה: סטודיו קרול מישר ודף- אור יקיר פרינט

דאנאקוד: 1524-26202

הפצה: הקריה האקדמית אונו

הספר מוגן ע"י חוקי ההגנה על זכויות יוצרים.

אין לשכפל, להעתיק, לצלם, להקליט, לתרגם, לחלק,

לאחסן במאגרי מידע, או להפיץ ספר זה או חלקים ממנו

בשום צורה ובשום אמצעי, אלקטרוני

(לרבות אינטרנט ודוא"ל), אופטי או מכני

מבלי לקבל רשות מפורשת מראש בכתב מהמחבר

העובר על הוראה זו צפוי לתביעה פלילית ו/או אזרחית ולעונש בהתאם לחוק.

הקדמה

ספר זה עוסק בנושאים של תורת ההשקעות והניהול הפיננסי . מטרתו להרחיב את

הידע של סטודנטים המתמחים בתחום המימון , תוך יישום ידע זה באמצעות הדגמת

שימושים בתוכנת אקסל ומחשבונים פיננסיים .

בספר זה נדון בתחומים כגון קריטריונים לבחירה בין חלופות השקעה בתנאי סיכון , סוגי

משקיעים והעדפות סיכון , בניית תיקי השקעות וניהולם , איגרות חוב ואופציות . נעסוק

בנושאים נוספים , כגון קביעת עלויות המימון של הפירמה והשפעת מ בנה ההון על שווי

החברה, על שווי מניותיה ועל עלויות ההון שלה . הספר כולל תאוריה , תרגילים

ופתרונות .

ספר זה הוא המשך לספרנו " יסודות המימון ," העוסק בפרקי מבוא בסיסיים בתורת

המימון והניהול הפיננסי , כגון מבוא לתורת המימון והניהול הפיננסי , ריביות, אינפלציה

והצמדה , ערך הזמן של הכסף , לוחות סילוקין , כללי החלטה לבחינת כדאיות השקעות

ובניית תזרים המזומנים הצפוי מהשקעה .

תוכן עניינים

פ ר ק - 1 קבלת החלטות בתנאי סיכון ................................ ................................ 1....

1.1 מבוא ........................................................................................................ 2.

1.2 מדדים סטטיסטיים והגדרות ................................ ................................ ........ 4

1.1 קריטריון התוחלת הכספית ................................ ................................ .......... 8

1.4 יחס המשקיעים לסיכון ................................ ................................ ............... 11

1.1 פונקציית התועלת ................................ ................................ .................... 11

1.1 עיקרון תוחלת התועלת ................................ ................................ .............. 22

1.1 שווה ערך ודאי ................................ ................................ ......................... 21

1.8 בדיקת השקעות וסיכון – פרמיית סיכון ושווה ערך ודאי ................................ 22..

1.2 מודל תוחלת -שונות ................................ ................................ ................... 12

1.12 סטיית התקן היחסית ................................ ................................ .............. 11

1.11 פרמיית הסיכון ומדד שארפ ................................ ................................ 18.....

1.12 מודל הדומיננטיות ................................ ................................ .................. 42

1.11.1 קריטריון העדפה נגלית מסדר ראשון ................................ ............................... 44

1.11.1 קריטריון העדפה נגלית מסדר שני ................................ ................................ 44..

שאלות חזרה ................................ ................................ ................................ 11.

פ ר ק - 2 בניית תיקי השקעות ................................ ................................ ........... 11

2.1 מבוא....... ................................ ................................ ............................... 14

2.2 פיזור בין נכס מסוכן לנכס חסר סיכון ................................ ........................... 11

2.1 פיזור בי ן שני נכסים מסוכנים ................................ ................................ 11.....

נקו דת מינימום סיכון ................................ ................................ ............................... 47

חישובי ם באמצעות אקסל עבור שני נכסים מסוכנים ................................ ...................... 44

2.4 מקדם המתאם ................................ ................................ ......................... 82

הקשר בין השונות המשותפת לבין מקדם המתאם ................................ ........................ 38

השפעת מקדם המתאם על שונות תיק המורכב משני נכסים מסוכנים ............................... 34

2.1 תיק השקעה המורכב מנכסים מסוכנים רבים – מודל מרקוביץ' ....................... 81

הקשר בין מספר הנכסים בתיק מניות ובין הסיכון ................................ .......................... 33

2.1 מודל – CAPM מבוא והנחות ................................ ................................ 82.....

CML – ................................ ................................ ................. 22

2.1 קו שוק ההון

מציאת התיק האופטימלי באמצעות אקסל ................................ ............................ 83

2.8 סיכון הניתן ל פיזור וסיכון שאינו ניתן לפיזור ................................ ............... 122

סיכון שאינו ניתן לפיזור (סיכון שיטתי) ................................ ................................ 101......

I

סיכון הניתן לפיזור (סיכון לא שיטתי) ................................ ................................ ........ 101

2.2 בטא  ................................ ................................ ................................ 122.

בטא של תיק השקעות ................................ ................................ .......................... 107

2.12 קו השוק למניות בודדות SML– ................................ ............................. 121

2.11 מדדי ביצוע של תיק י השקעה ................................ ................................ 122.

מדד שארפ – S ................................ ................................ ................................ 108...

מדד טריינור – T ................................ ................................ ................................ 111..

מדד ג'נסן – α ................................ ................................ ................................ 111.....

שאלות חזרה ................................ ................................ ............................... 111

פ ר ק - 1 א י ג ר ו ת ח ו ב ............................................................................... 121

1.1 מבוא ................................ ................................ ................................ 124....

1.2 איגרות חוב ................................ ................................ ............................ 121

איגרות חוב ממשלתיות ................................ ................................ ......................... 117

איגרות חוב קונצרניות ................................ ................................ ........................... 114

סוגי איגרות חוב ................................ ................................ ................................ 114..

1.1 הערכת שטרות ניכיון ואיגרות חוב הנושאות ריבית ................................ 128......

אופן הנפקת האג"ח ................................ ................................ ............................. 118

1.4 כדאיות ההשקעה באיגרות חוב כתלות בסוג ההנפקה ................................ 114.

1.1 הערכת איגרות חוב שאינן נושאות ריבית ................................ ................... 141

שטר ניכיון ................................ ................................ ................................ .......... 141

אג"ח אפס ................................ ................................ ................................ .......... 141

1.1 משך חיים ממוצע ( Duration ) ................................ ................................ 141.

שאלות חזרה ................................ ................................ ............................... 111

פ ר ק - 4 עלויות ההון ................................ ................................ ..................... 111

4.1 הקדמה ................................ ................................ ................................ 111.

4.2 שיעור התשואה הנדרש ................................ ................................ ........... 111

4.1 עלות הון ממוצעת משוקללת WACC – ................................ ..................... 112

מקורות המימו ן ................................ ................................ ................................ ....... 141

4.4 מימון מהון זר ( )DEBT ................................ ................................ ........... 111

מגן המס על הוצאות המימון ................................ ................................ ................... 148

הלוואה ממוסדות פיננסיים ................................ ................................ ..................... 144

מגן המס על הוצאות חד פעמיות ................................ ................................ ............. 148

הנפקת איגרות חוב ................................ ................................ .............................. 138

4.1 מימון מהון עצמי ................................ ................................ ..................... 121

II

הנפקת מניות ................................ ................................ ................................ 181......

מניות רגילות ................................ ................................ ................................ 187......

מניות בכורה ................................ ................................ ................................ ....... 104

שאלות חזרה ................................ ................................ ............................... 211

פ ר ק - 1 השפעת המנוף הפיננסי על התשואה והסיכון ................................ ........ 241

1.1 הקדמה ................................................................. ...................... ........... 244

1.2 המנוף הפיננסי ................................ ................................ ....................... 244

1.1 הקשר בין הרווח התפעולי ( EBIT ) ובין הרווח למניה ( )EPS ......................... 241

1.4 שיעור התשואה על ההשקעה ( ROI ) ושיעור התשואה על ההון העצמי ( 212.(ROE

שאלות חזרה ................................ ................................ ............................... 211

פרק - 1 מבנה ההון ושווי החברה: מודליא ני ומילר ................................ ............... 281

1.1 מבנה ההון ושווי החברה: שוק משוכלל ללא מס ................................ .......... 284

1.2 מב נה ההון ושווי החברה: שוק משוכלל עם מס חברות ................................ 221.

1.1 הקשר בין המנוף הפיננסי ומחיר המניה ................................ ..................... 122

1.4 אי שכלולים בשוק משוכלל והשפעתם על מבנה ההון של החברה .................. 121

שאלות חזרה ................................ ................................ ............................... 111

פ ר ק - 1 אופציות ................................ ................................ ........................... 121

1.1 אופציות ................................ ................................ ................................ 128

1.2 אסטרטגיות ................................ ................................ ........................... 111

1.1 גבולות מחירי אופציה ................................ ................................ ............. 141

1.4 משפט PCP (Put Call Parity) – יחס שוויון מחירים ................................ 144.

1.1 הערכת שווי אופציה ................................ ................................ ................ 141

4.1.1 המודל הנאיבי ................................ ................................ ............................ 844

( Black & Scholes ) ................................ ............................ 848

4.1.1 מודל בלק ושולס

4.1.8 המודל הבינומי ................................ ................................ ........................... 811

7.6 חוזים עתידיים ................................ ................................ ....................... 111

1.1 מדדי רגישות של אופציות ................................ ................................ ....... 111

4.4.1 דלתא  ................................ ................................ ................................ 813.. 4.4.1 גמא  ................................ ................................ ................................ 870..... 4.4.8 וגא  ................................ ................................ ................................ 871...... 4.4.4 תיטא  ................................ ................................ ................................ 874...

1.8 ביטחונות ................................ ................................ ............................... 118

שאלות חזרה ................................ ................................ ............................... 112

III

פ ר ק 1

קבלת החלטות בתנאי סיכון

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

111 מבוא

קבלת החלטות היא תהליך של בחירת חלופה אחת מבין מרחב חלופות אפשרי.

בקבלת החלטות השקעה נבסס את החלטתנו גם על הרווח הצפוי וגם על הסיכון באי קבלת

הרווח הצפוי.

נגדיר שלושה מצבי יסוד אפשריים בקבלת החלטות:

.1 ודאות – מצב ש בו התוצאה העתידית ידועה בוודאות מלאה.

כלומר מצב ש בו לאפשרות מסוימת יש תוצאה אפשרית אחת ידועה מראש (דהיינו, ההסתברות

לתוצאה זו היא 111% ). למשל, אם אנו ש כירים במקום עבודה מסודר ומכובד אנו יודעים

בוודאות שבסוף החודש נקבל תלוש ובו שכר מסוים הנקבע מראש.

דוגמה:

משקיע בוחן השקעה באג"ח ממשלתית בשוק ההון. התשואה על ההשקעה תניב תמיד 2%

(בין ש השוק במשבר ובין ש במצב גאות).

זו השקעה בתנאי ודאות מוחלטת. להשקעה זו יכולה להיות תוצאה עתידית אחת בלבד אשר

. 2% תשואה

תניב בוודאות

.2 אי ודאות – מצב ש בו לחלופה מסוימת יכולות להיות כמה תוצאות שונות, וההסתברות

לכל תוצאה בעתיד אינה ידועה. למשל, אנו יודעים כי מחר י יתכן ש השמיים יהיו בהירים, אך יש

גם אפשרות לגשם. אבל איננו יודעים להעריך את הסיכוי לכל אלטרנטיבה.

דוגמה:

משקיע בוחן השקעה של 111 מיליון ₪ באחד הפרויקטים הבאים , אשר להם ערך נוכחי

(במיליוני שקלים) המותנה במצב השוק כדלהלן:

גאות

יציבות

מיתון

שפל

011

121

01

01

חברת הי-טק

151

01

121

101

מפעל נשק

121

111

111

01

חברת מזון

מצב זה הוא דוגמה להחלטה בתנאי אי ודאות מ כיוון שהמשקיע אינו יודע את ההסתברות לכל

תוצאה אפשרית.

2

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

מה הסיכוי לשפל, למיתון, ל יציבות או ל גאות?

כיצד נקבל החלטה?

נניח שבחרתם להשקיע בחברת הי- טק אשר תניב את ה הכנסה הגבוהה ביותר של 011

מיליון ₪ במקרה של גאות. אך כעת נודע לכם ש יש סיכויים גדולים לכך שהשוק יהיה במצב

שפל. האם עדיין תבחרו להשקיע בהי - טק? יית כן מאוד שהחלטתכם תשתנה בעקבות מידע

זה. אם תשקיעו בהי-טק כאשר השוק יהיה במצב שפל , תפסידו 01% מההשקעה הראשונית

01( מיליון ₪ פחות 111 מיליון ₪ השקעה ראשונית) . לעומת ז את, במפעל הנ שק ית קבל רווח

) ₪ השקעה . לסיכום , קשה לקבל

של 01 מיליון ₪ במצב זה 101( מיליון ₪ פחות 111 מיליון

החלטה כאשר למקבל ההחלטה אין מידע שיעזור לו להעריך את הסבירות לכל תוצאה , ולכן

אנו תמיד מקבלים החלטה תחת הנחות להסתברות המצבים העתידיים (מה שמוביל אותנו

ל מצב של החלטה בתנאי סיכון).

.0 סיכון – מצב ש בו לכל חלופה י י תכנו תוצאות שונות ולכל תוצאה הסתברות ידועה/מ ו ערכת

להתממשותה. למשל, כאשר אנו זורקים קובייה אנו יודעים שהסיכו י לקבל כל מספר

(מ- 1 עד 0 ) הוא 1/0 . דהיינו, אנו יודעים את ההסתברות לכל תוצאה.

דוגמה:

משקיע בוחן השקעה של 111 מיליון ₪ באחד הפרויקטים הבאים, אשר להם ערך נוכחי

(במיליוני שקלים ) המותנה במצב השוק כדלהלן:

גאות

יציבות

מיתון

שפל

410

411

410

0.2

הסתברות

011

121

01

01

חברת הי-טק

151

01

121

101

מפעל נשק

121

111

111

01

חברת מזון

מצב זה הוא דוגמה להחלטה בתנאי סיכון מ כיוון שלכל חלופה תוצאה אפשרית והמשקיע יודע

את ההסתברות להתממשותה (הסיכוי לשפל הו א 21% , למיתון 01% , ליציבות 11% ולגאות

.)01%

כאשר משקיע שוקל אם להשקיע בפרויקט מסוים עליו להביא בחשבון את הסיכון. הסיכון נובע

מן העובדה שלפרויקט יכולות להיות כמה תוצאות אפשריות (במקרה שלנו – שפל, מיתון,

יציבות או גאות), וכאשר מקבלים החלטה יש להביא בחשבון את האפשרות להתממשות

התוצאה שאינה מועדפת.

3

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

112 מדדים סטטיסטיים והגדרות

לפני שנ למד כיצד אפשר לקבל החלטות בתנאי סיכון, נבצע חזרה סטטיסטית שבה נציג כמה

הגדרות בסיסיות ו נלמד לחשב תוחלת, שונות וסטיית תקן. מדדים אלו עוזרים ל משקיע בקבלת

אומדן בנוגע ל רווח בפרויקט (הנמדד ע ל ידי התוחלת) לעומת הסיכון הטמון בו (הנמדד ע ל ידי

סטיית התקן או השונות) .

הגדרות:

הסתברות – הסיכוי להתרחשות מאורע או תוצאה מסוימת. למאורע בלתי אפשרי תהיה

הסתברות השווה ל 1- , לעומת זאת מאורע ודאי יהיה בעל הסתברות השווה ל 1- . ככל

שההסתברות של מאורע מסוים גדולה יותר, כך יש יותר סיכוי להתרחשותו.

את ה הסתברות נסמן באות .P

שיעור תשואה – הרווח (או ההפסד) שהמשקיע יקבל מהשקעה מסוי מת מחולק ב השקעה

הנדרשת. את שיעור ה תשואה נסמן ב אות .R

דוגמה:

חברה השקיעה בפרויקט ₪ 1,111 ו הפרויקט הניב החזר של .₪ 1,211 חשבו את שיעור

התשואה מההשקעה.

רווח השקעה

= תשואה שיעור

במקרה זה, הרווח מהפרויקט הו א ( 211 1,211 פחות )1,111 וההשקעה שווה ל - .1,111

לכן שיעור התשואה ב דוגמה הנדונה מחושב כדלקמן:

200



20%

1000

תוחלת – ממוצע משוקלל של תוצאות עתידיות או צפויות.

את ה תוחלת נסמן ב אות .E

תוחלת שיעור התשואה – מהווה אומדן ל שיעור ה רווח הצפוי. ממוצע משוקלל של n תוצאות

צפויות ( n ….R 1 (R כאשר לכל תוצאה יש הסתברות ) n …. P 1 .(P

נסמן את תוחלת שיעור ה תשואה ב אותיות E(R) .

4

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

להלן ה נוסחה לחישוב תוחלת שיעור התשואה:

n

1 P R P R    * ( * ) i i n n i

1 R P R P R   1 2 *

E( )

2 * ........



שונות – שונות מודדת את הפיזור או את המרחק של התוצאות מהממ וצע. הסיכון הטמון

בהשקעה נמדד ע ל יד י השונות. ככל שהשונות גדולה יותר כך הס יכון גדול יותר. השונות

מחושבת ע ל ידי ממוצע משוקלל של ר יבועי הסטיות מהתוחלת (מהממוצע) כאשר המשקולות הן ההסתברויות. שונות נסמן באות 2 .σ

n

2

2



*[ P R E R 





( )] i

i

i

i



1

סטיית תקן – ה שורש הריבועי של השונות. סטיית תקן נסמן באות .σ

1/2

n

  

  

2







* Pi Ri E R  ( )





i



1

השונות וסטיית התקן מייצגות את הסיכון ואת פיזור התוצאות סביב התוחלת.

ככל שסטיית התקן גדולה יותר, מרחק התוצאות מן התוחלת גדול יותר , ומכאן הסיכוי להפסיד

או לקבל תוצאה הנמוכה באופן משמעותי מן התוחלת גדול יותר. יש לציין, שגם הסיכוי להרוויח

ולקבל תוצאה הגדולה מן התוחלת גדל באופן משמעותי.

שאלה 1

נניח שמשקיע בוחן השקעה בענף הנדל"ן אשר יכול ה להניב את התשואות הבאות , התלויות

במצב הענף (שגשוג או משבר) :

משבר

שגשוג

1.5

1.5

הסתברות

-30%

01%

שיעור תשואה

חשבו את תוחלת שיעור התשואה ואת סיכון ההשקעה ע ל ידי סטיית התקן.

פתרון:

נחשב את תוחלת שיעור התשואה E(R) לפי נוסחת התוחלת :

1 1 2 2 * * R P R P R  

E( )

  E( ) 0.5*80% 0.5* 30% 25% R    

5

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

התוצאה שנקבל תמיד תהיה בין המספר הגדול ביותר ( 01% בדוגמה לעיל ) לבין המספר הקטן

ביותר ( )-30% . התוחלת ( 25% ) היא תוצאה שבעצם לא נקבל אף פעם בפרויקט זה (נקבל או

01% או % - 30 ). אך אם נשקיע בפרויקט זה פעמים רבות, לעיתים תתקבל התוצאה 01%

ולעיתים -30% , ובסך הכול בממוצע נקבל .25% כעת נ מצא את הסיכון הטמון בפרויקט

באמצעות חישוב סטיית התקן:

2

2 1/2

( *( *( ( )) ) P R E R P R E R    ( ))

 

1

1

2

2

   0.5* 80 25 0.5* 30 25 55% 2 1 2 2          

תוצא ת סטיית התקן מעידה עד כמה הערכים סוטים מן הממוצע. ככל שסטיית התקן גדולה

יותר, כך הערכים השונים רחוקים יותר מן הממוצע. דהיינו, הפיזור של התוצאות גדול יותר ואי

לכך הסיכון גדול יותר. אם ההתפלגות היא התפלגות נורמלית, אפשר לומר שיש סיכוי של 00%

להיות במרחק של סטיית תקן אחת מן הממוצע (כלומר, 00% אחוז סיכוי להיות בתחום בין

הממוצע ועוד סטיית תקן אחת לבין הממוצע פחות סטיית תקן אחת).

שאלה 2

פרט בוחן שתי השקעות ה צפויות להניב את התוצאות הבאות :

גאות

יציבות

מיתון

מצבים

0.4

0.3

0.3

הסתברות P

60%

15%

-40%

תשואת השקעה A

5%

2%

-1%

תשואת השקעה B

א. חשבו תוחלת תשואה עבור השקעה A ועבור השקעה .B

ב. חשבו סטיית תקן עבור השקעה A ועבור השקעה .B

ג. איזו השקעה רווחית יותר? איזו השקעה מסוכנת יותר ?

ד. נניח עתה כי התשואה בזמן מיתון של השקעה B תקטן מ- - 1% ל- -15% ו התשואה בזמן

גאות תגדל מ 5%- ל- 01% (כל שאר הנתונים אינם משתנים). בלי לחשב , ענו מה יקרה

לרמת הסיכון (סטיית התקן) של השקעה ?B

6

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

פתרון:

א. נחשב את תוחלת התשואה עבו ר שתי ההשקעות ע ל פי נוסחת התוחלת :

3 * * R P R P R P R    E( ) *

3

1 1

2

2

תוחלת שיעור התשואה של השקעה :A

E( ) 0.3*( 40) 0.3*15 0.4*60 16.5% R     

תוחלת שיעור התשואה של השקעה :B

E( ) 0.3*( 1) 0.3*2 0.4*5 2.3% R     

ב. כעת נחשב את סטיית התקן של שיעורי התשואות על פי הנוסחה :

2

2

2 1/2

3 *( ( )) ) P R E R P R E R P R E R      3 ( *( ( )) *( ( ))

 

1

1

2

2

סטיית התקן עבור השקעה :A

2 2 2 1/2 {(0.3*( 40 16.5) 0.3*(15 16.5) 0.4*(60 16.5) } 41.4%         

סטיית התקן עבור השקעה :B

2 2 2 1/2 {(0.3*( 1 2.3) 0.3*(2 2.3) 0.4*(5 2.3) } 2.49%         

ג. אפשר לראות שהשקעה A היא בעלת רווחיות ממוצעת גבוהה יותר (תוחלת תשואה של

10.5% לעומת תוחלת תשואה של 2.0% בהשקעה .)B עם זאת, השקעה A גם מסוכנת

יותר, וזאת מכיוון שהפיזור סביב הממוצע גדול יותר. סטיית תקן של 01.0% לעומת סטיית

תקן של 2.00% בלבד בהשקעה .B השקעה A מסוכנת יחסית מכיוון שיש סיכוי של 01%

להפסיד ,01% אך יש לציין שיש בהשקעה זו גם סיכוי של 01% לרווח גבוה של 01%

תשואה.

ד. סטיית התקן תגדל , וזאת מכיוון שהסיכון יגדל . לאחר השינוי, הערכים קיצוניים יותר

ורחוקים יותר מן הממוצע. מצד אחד יש סיכוי לרווח גדול יותר ( 01% לעומת 5% בלבד

במצב המקורי), ומצד אחר יש סיכוי להפסד גדול יותר ( -15% לעומת -1% בלבד במצב

המקורי).

7

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

בפרק זה נלמד על הקריטריונים הבאים לקבלת החלטות בתנאי סיכון :

קריטריון התוחלת הכספית

.1

קריטריון תוחלת תועלת

.2

קריטריון תוחלת - שונות ( )MVC

.0

קריטריון מקדם ההשתנות ( (CVC

.0

מדד שארפ

.5

קריטריון העדפה נגלית מס דר ראשון ( )FSD

.0

קריטריון העדפה נגלית מס דר שני ( )SSD

.0

110 קריטריון התוחלת הכספית

בתנאי סיכון למעשה נקבל כמה תוצאות רווח, כאשר לכל תוצאה הסתברות ידועה/ מוערכת.

אפשר לקבל החלטה ע ל ידי חישוב תוחלת התוצאות הכספיות.

הגדרה: התוחלת הכספית היא הממוצע הצפוי של התוצאות הכספיות העתידיות .

תוחלת מחושבת על ידי סיכום של מכפלת התוצאות הכספיות בהסתברויות לקבל אותן. אם

להשקעה נתונה יש N תוצאות אפשריות ( n ......R 1 ,)R כאשר ההסתברו יות המתאימות הן

( n ......P 1 ,)P את תוחלת שיעור התשואה E(R) נ חשב לפי ה נוסחה הבאה:

n

1 i   = n * R n ......+P 2 * R 2 + P 1 * R 1 E(R) = P

) i * R i ( P

על פי קריטריון התוחלת הכספית יש לבחור בהשקעה בעלת התוחלת הכספית הגבוהה

1 ביותר

שאלה 0

משקיע בוחן שלוש אלטרנטיבות הדורשות השקעה של 111 מיליון ₪ ולהן ערך נוכחי התלוי

במצב המשק :

גאות

יציבות

מיתון

משבר

מצבים

0.3

0.1

0.4

0.2

הסתברות

300

120

80

40

נדל"ן

150

70

120

140

תרופות

110

120

100

90

ביטוח

על פי קריטריון ה תוחלת הכספית , באיזו השקעה יבחר המשקיע ?

8

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

פתרון:

נחשב את התוחלת הכספית בשלושת הפרויקטים .

תוחלת כספית עבור נדל"ן:

0.2*40 0.4*80 0.1*120 0.3*300 142 E     

תוחלת כספית עבור השקעה בתרופות:

0.2*140 0.4*120 0.1*70 0.3*150 128 E     

תוחלת כספית עבור השקעה בחברת ביטוח:

0.2*90 0.4*100 0.1*120 0.3*110 103 E     

על פי קריטריון התוחלת הכספית, נעדיף את ההשקעה בנדל"ן, לאחר מכן את ההשקעה

בתרופות וההשקעה הכי פחות מ ו עדפת היא ההשקעה בחברת ביטוח. שי מו לב שקריטריון זה

מתעלם מהסיכון. ב דוגמה זו, השקעה בנדל"ן היא אומנם בעלת הרווחיות הממוצעת הגבוהה

ביותר, אך זוהי גם השקעה מסוכנת מא וד. במצב של גאות אומנם נקבל רווח של 211 מיליון

) ₪ השקעה , אך אם השוק י י קלע למשבר נפסיד

011( ₪ מיליון ₪ הכנסה פחות 111 מיליון

01 מיליון 01( ₪ מיליון ₪ הכנסה פחות 111 מיליון ₪ השקעה ראשונית .)

שאלה 0

משקיע בוחן השקעות אלטרנטיביות בשוק ההון. הנ יחו כי בשוק יש סיכוי של 51% לגאות ו -

. 51% לשפל חשבו את התוחלת הכספית עבור כל אלטרנטיבה וקבעו איזו אלטרנטיבה עדיפה.

להלן אומדן שי עורי ה תשואה על האלטרנטיבות השונות :

גאות

שפל

אלטרנטיבות

0.5

0.5

הסתברות

שיעור תשואה

2%

2%

אג"ח ממשלתי

30%

-10%

מניית אסם

60%

-20%

מניית אורבוטק

300%

-80%

ניוטק בע"מ

50%

-20%

מדד המניות הכללי

*הערה: הנתונים בטבלה נרשמו כדוגמ ה בלבד ו אינם תואמים ל נתונים ב מציאות.

9

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

פתרון:

נחשב את התוח לת המתקבלת מכל אלטרנטיבת השקעה .

אג"ח ממשלתי ת: 0.5*2% 0.5*2% 2%  

מניית אסם: 0.5*( 10%) 0.5*30% 10%   

מניית אורב וטק: 0.5*( 20%) 0.5*60% 20%   

מניית ניוטק : 0.5*( 80%) 0.5*300% 110%   

מדד המניות הכללי : 0.5*( 20%) 0.5*50% 15%   

על פי קר יטריון התוחלת הכספית, מניית ניו טק היא האופציה המועדפת .

אך האם אפשר לקבל החלטות לפי קריטריון התוחלת הכספית בלבד?

אין זה סביר להתעלם מהסיכון הטמון בהשקעה . יי תכן בהחלט שפרט יעדיף להשקיע

בהשקעה סולידית כמו אג"ח ממשלתי ת, ש בה מקבלי ם תוצאה ודאית של 2% ללא סיכון , מאשר

להשקיע במניית ניוטק אשר נותנת אומנם תשואה גבוהה, אך עם זאת הסיכון בה גבוה במיוחד

(הפסד של 01% מערך ההשקעה במקרה של שפל).

אם אין אפשרות לקבל החלטה ע ל פי התוחלת הכספית בלבד , כיצד אם כן אפשר לקבל

החלטות?

בשוק הון המתמחר השקעות בצורה נכונה , השקעות מסוכנות יותר מאופ יינות בתוחלת תשואה

גבוהה יותר והשקעות מסוכנות פחות מאופיינות בתוחלת תשואה נמוכה יותר. אך כאמור

תוחלת תשואה אינה מספ יקה לקביעת העדפה. בהחלט י יתכן שמשקיע יעדיף לבחור בהשקעה

מסוכנת פחות למרות תוחלת תשואתה הנמוכה. אי לכך, יש להביא בחשבון בקבלת ההחלטות

את הסיכון ואת יחס המשקיעים לסיכון.

01

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

110 יחס המשקיעים לסיכון

בחלק הבא נבחן את ההתייחסות הסובייקטיבית של המשקיע לסיכון מול תוחלת.

ההחלטה של המשקיע בתנאי סיכון תלויה בדרגת שנאת הסיכון שלו. ככל שהמשקיע יותר שונא

סיכון, כך יהסס יותר לבצע השקעות מסוכנות , וזאת למרות תוחלת התשואה הגבוהה שלהן.

אפשר להבחין בין של ו שה סוגי ם של משקיעים:

.1 שונא סיכון

.2 אדיש לסיכון

.0 אוהב סיכון

משקיע שונא סיכון – נרתע מסיכון. מעדיף עסקה ודאית יותר, אפילו אם הרווח בה נמוך יותר.

משקיע מסוג זה יהיה מוכן לקחת סיכון רק אם יפוצה במידה מספקת בתוספת רווח.

באופן כללי, רוב המשקיעים הם משקיעים שונאי סיכון .

משקיע אדיש לסיכון – בודק השקעות לפי התוחלת בלבד ומתעלם מסיכון.

משקיע אוהב סיכון – יעדיף הימור עם סיכון גבוה יותר. אם יש שתי השקעות עם אותה תוחלת

אך סיכון שו נה, אזי אוהב הסיכון יעדיף את ההשקעה בעלת הסיכון הגבוה יותר.

שני סוגי ה משקיעים האחרונים אינם שכיחים ורוב התיאוריות הכלכליות מתייחסות אל המשקיע

כאל משקיע שונא סיכון.

שאלה 5

נניח שאפשר לבחור בין שתי ה אלטרנטיבות הבאות:

אלטרנטיבה א – ' לקבל ₪ 511 במזומן.

אלטרנטיבה ב – ' לזרוק מטבע. אם המטבע נופל על עץ, נקבל ;₪ 1,111 אם המטבע נופל על

פלי, לא נקבל כלום.

איזו אלטרנטיבה יעדיף כל סוג של טיפוס ?

פתרון:

תוחלת הרווח זהה בשתי האלטרנטיבות :

אלטר נטיבה א – ' תמיד נקבל ₪ 511

אלטרנטיבה ב – ' התוחלת גם במקרה זה שווה ל ,₪ 511- כאשר יש סיכוי של 51% לקבל עץ

ו-% 51 לקבל פלי ולכן: 0.5*1, 000 0.5*0 500  

אך באלטרנטיבה ב' הסיכון גדול יותר, מ כיוון שיש סיכוי לא לקבל דבר במקרה של פלי.

00

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

שונא סיכון – יעדיף את אלטרנטיבה א ', ש בה אין סיכון כלל.

אדיש לסיכון – אדיש בין שתי האלטרנטיבות, מכיוון ש משקיע מסוג זה מביא בחשבון רק את

התוחלת, ובשתי האלטרנטיבות היא זהה.

אוהב סיכון – יעדיף את אלטרנטיבה ב ' , המסוכנת יותר.

עקומות אדישות

את העדפות הסיכון של המשקיעים השונים אפשר לגלם באמצעות מפת קווי ה אדישות בין סיכון

לתוחלת רווח.

עקומת אדישות – מתארת רמת תועלת. תועלת מתבטאת ב"רמות ה הנאה" מהרכוש. למשל ,

ההנאה מנסיעה ל שיט יוקרתי או מטיול בטבע. הנאה זו שונה מפרט אחד למשנהו.

לאורך עקומת האדישות תועלת המשקיע זהה. כלומר, עבור המשקיע כל נקודה ונקודה על

עקומת האדישות זהה במונחי תועלת, ומכאן השם "עקומת האדישות".

תרשים 111 – עקומות האדישות של משקיע ים שונאי סיכון

תוחלת כספית

עמר

C .

אורן

D .

A .

B .

סיכון

תרשים 1.1 מתאר את עקומות האדישות של שני משקיעים שונאי סיכון, ע ו מר ואורן. כמוצג

בתרשים 1.1 , כאשר הסיכון עולה המשקיעים ידרשו יותר תוחלת כספית (רו וח) כדי להישאר

באותה רמת תועלת . דהיינו , כדי להישאר על אותה עקומת אדישות בעל רמת תועלת זהה .

אפשר לראות שע ו מר הוא משקיע שונא סיכון חזק יותר מאורן מכיוון ש הוא דורש פיצוי כספי

גדול יותר ( ,)BC לעומת אורן אשר דורש פיצוי כספי קטן יותר )DC) לאותו גידול בסיכון ( .)AB

02

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

תרשים – 112 עקומות האדישות של משקיע שונא סיכון

C

תוחלת כספית

B

A

סיכון

תרשים 1.2 מתאר את עקומות ה אדישות B ,A , ו- C של פרט שונא סיכון . הפרט תמיד יעדיף

להיות על עקומה גבוהה ככל האפשר, ש בה עבור סיכון מסוים י קבל תוחלת גבוהה יותר. דהיינו,

הפרט יעדיף את C על B ואת B על .A

שאלה 6

משקיע שונא סיכון:

א. יעדיף תמיד את האלטרנטיבה בעלת הסיכון הנמוך ביותר

ב. יעדיף תמיד להפקיד את כספו בפיקדון בנקאי

ג. אם התוחלת הכספית זהה, יעדיף את האלטרנטיבה בעלת הסיכון הנמוך ביותר

ד. ידרוש פחות פיצוי בתוחלת ככל ש הוא שונא סיכון חזק יותר

פתרון:

תשובות א' ו ב' אינן נכונות מ כיוון שמשקיע שונא סיכון מתחשב גם בתוחלת ולא רק בסיכון

הנמוך. תשובה ד ' אינה נכונה מ כיוון שידרוש יותר פיצוי בתוחלת ככל ש הוא שונא סיכון חזק

יותר.

תשובה ג' נכונה 1

03

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

תרשים – 110 עקומות האדישות של משקיע אדיש לסיכון

תוחלת כספית

C

B

A

סיכון

תרשים 1.0 מתאר את עקומות האדישות של משקיע אדיש לסיכון. עקומת האדישות בין סיכון

לתוחלת של פרט אדיש לסיכון ה י א קו מקביל לציר ה X- , מכיוון ש משקיע מסוג זה לא ידרוש

יותר פיצוי בתוחלת כאשר הסיכון גדל. הוא אינו מביא בחשבון את הסיכון כלל , אלא מקבל

החלטות אך ורק ע ל פי התוחלת. משקיע אדיש לסיכון גם כן יעדיף להיות על עקומה כמה שיותר

גבוהה ( מ כיוון שיקבל יותר תוחלת) ולכן יעדיף את C על B ואת B על .A

שאלה 7

בחרו את המשפט הנכון ביותר :

א. אם התוחלות זהות, משקיע אדיש לסיכון יבחר בהשקעה בעלת הסיכון הנמוך ביותר

ב. משקיע אדיש לסיכון יבחר בהשקעה בעלת התוחלת הגבוהה ביותר

ג. עקומת האדישות של משקיע אדיש לסיכון היא קו מאונך לציר ה X-

ד. משקיע רציונלי הוא בהכרח אדיש לסיכון

פתרון:

תשובה א' אינה נכונה מ כיוון שמשקיע מסוג זה יהיה אדיש בין שתי ההשקעות (אינו מתייחס

לסיכון). תשובה ג' אינה נכונה מכיוון ש עקומת האדישות שלו היא קו מאוזן לציר ה X- ולא מאונך .

תשובה ד' אינה נכונה מ כיוון שמשקיע רציונלי יכול להיות גם משקיע שונא או אוהב סיכון.

תשובה ב' נכונה מכיוון שמשקיע מסוג זה מקבל החלטה רק על פי התוחלת 1

04

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

תרשים 110 – עקומות האדישות של משקיע אוהב סיכון

תוחלת כספית

C

B

A

סיכון

תרשים 1.0 מציג את עקומות האדישות של משקיע אוהב סיכון. מ שקיע אוה ב סיכון מוכן לוותר

על תוחלת כספית עבור תוספת סיכון.

נמחיש תכונה זו של אהבת סיכון ב דוגמה הבאה:

נניח שה ציעו למשקיע אוהב סיכון את שתי ה אלטרנטיבות הבאות:

באלטרנטיבה אחת יקבל ₪ 551 בוודאות.

באלטרנטיבה שנייה , סיכוי של 51% לקבל ₪ 1,111 וסיכוי של 51% לא לקבל דבר.

התוחלת באלטרנטיבה השנייה אומנם נמוכה יותר מ ₪ 551- ו שווה ל- ₪ 511 בלבד

( 0.5*1000+0.5*0=500 ), אך בכל זאת י י תכן ש משקיע אוהב סיכון יעדיף את האלטרנטיבה

המסוכנת בגלל הסיכוי לקבל .₪ 1,111

שאלה 8

בחרו את המשפט הנכון ביותר לגבי משקיע אוהב סיכון :

א. יבחר תמיד את ההשקעה בעלת הסיכון הגבוה ביותר

ב. בודק השקעות אך ורק ע ל פי רמת הסיכון

ג. בעל עקומת אדישות עולה משמאל לימין

ד. בין שתי השקעות בעלות תוחלת שווה יבחר בזו המסוכנת יותר

פתרון:

תשובות א' ו-ב' אינן נכונות כיוון שמשקיע אוהב סיכון מביא בחשבון גם את התוחלת הכספית.

תשובה ג' אינה נכונה – העקומה יורדת משמאל לימין .

תשובה ד' נכונה 1

05

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

115 פונקציית התועלת

פונקציית התועלת מבטאת את השינוי בתועלת עם ה שינוי בכמות הרכוש.

משקיע מפיק תועלת מרכוש הבא לידי ביטוי ב"רמות הנאה". הנאה זו היא סובייקטיבית עבור

כל משקיע. ל דוגמה, י יתכן שלאדם מסוים קניית נעלי ספורט חדשות תספק הנאה מרובה .

לעומת זאת, יי תכן שקני יה מסוג זה תספק רק מידה מועטה של שביעות רצון עבור אדם אחר .

אי לכך, פונקציי ת התועלת היא סובייקטיבית.

רכוש או כסף נמדד ים באמצעות מונחים חד ערכיים . לעומת זאת , תועלת נמדדת במונחים

השוואתיים (גדולה/קטנה), אך חסרי משמעות יישומית. ל דוגמה, ₪ 01 זהו מספר שאפשר

לכמת. אנו יודעים שבסכום זה אפשר לדוגמה לקנות זוג כרטיסים לסרט או שתי קופסאות קפה

באיכות נמוכה . לעומת זאת, אם כרטיס לקולנוע שקול עבור אדם מסוים ל 51- יחידות תועלת,

אי אפשר להסיק מכך דבר. אבל אם נאמ ר לנו שכרטיס לתאטרון שקול עבור אותו אדם ל- 01

י חידות תועלת – רק אז נוכל להסיק שאדם זה מעדיף תאטרון על פני קולנוע.

נסמן תועלת ב אות .U

תרשים – 115 עקומת התועלת של משקיע שונא סיכון

תועלת U

U(150)

תוספת

תועלת

U(100)

הפסד

תועלת

U(50)

50

כסף

תרשים 1.5 מציג את עקומת התועלת של משקיע שונא סיכון. עקומת התועלת של משקיע

שונא סיכון מבטאת את השינוי בתועלת עם שינוי בכמות הכסף.

הערה: שימו לב שפונקצי י ת התועלת שונה מ עקומת האדישות ש אותה בחנו קודם. על עקומת

האדישות התועלת זהה בכל נקודה ונקודה , לעומת עקומת התועלת ש בה התועלת שונה בכל

נקודה בהתאם לרמת העושר. נוסף על כך, הצירים בתרשים 1.5 מציינים את רמת הרכוש

(כסף) מול תועלת. עבור עקומות האדישות הצירים מציינים סיכון מול תוחלת כספית.

06

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

מקובלות שתי הנחות לגבי הפרט ה משקיע:

 הפונקציה עולה – הפרט מעדיף יותר כסף על פחות ( פרט רציונלי). הנחה זו שקולה

לנגזרת ראשונה חיובית .)U'>0)

 התועלת השולית מרכוש פוחתת – כלומר, תוספת רכוש מגדילה את התועלת , אבל

תוספת התועלת פוחתת לכל יחידת רכוש נוספת. לדוגמה, במצב שבו יש לי ₪ 51 בכיס ואקבל

₪ 2 נוספים, תוספת זו של ₪ 2 תספק לי יותר תועלת לעומת מצב שבו יש לי ₪ 1,111 בכיס. תכונה זו מתבטאת בקעירות 1 של פונקציית התועלת של משקיע שונא סיכון. הנחה זו שקולה

לנגזרת שנייה קטנה מאפס .)U"<0(

האם סביר שהתועלת השולית מרכוש פוחתת?

בהחלט. למשל עבור פרט חסר כ ו ל, תוספת של ₪ 111 היא חשובה מאוד . לעומת זאת , עבור

פרט עשיר מאוד, תוספת של ₪ 111 היא כנראה כמעט חסרת משמעות.

תכונה זו נקראת גם "אפקט רגישות שולית פוחתת " , אפקט ה מוכר לנו כמעט מכל נושא בחיי

היום- יום שלנו. למשל , סביר שתוספת של שבוע לטיול של יומיים תגרום לנו להנאה מרובה,

אבל תוספת של שבוע לטיול של שנה לאו דווקא תגרום לנו לשב יעות רצון רבה.

מדוע? 1 נאת סיכון

תועלת שולית פוחתת שקולה לש

כדי להבין את הרעיון נתבונן בתרשים .1.5 בגלל התועלת השולית הפוחתת , תו ספת (רווח) של

₪ 51 מוסיפה לפרט יחסית מעט תועלת , אך גר יעה (הפסד) של אותו הסכום מוריד ה לו הרבה

תועלת. תכונה זו מאפיינת שונא סיכון הרואה בהפסד נזק גדול יותר מאשר התועלת מתוספת

רכוש בגודל זהה. דהיינו:

תוספת לתועלת > הפסד התועלת

1 בהגדרה המתמטית העקום נבחן מלמטה, ולכן עקום שהו א קמור מלמעלה נקרא עקום קעור , ועקום שהו א קעור מלמעלה נקרא עקום קמור.

07

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

שאלה 9

בחרו את המשפט הנכון ביותר לגבי פונקצי י ת התועלת :

א. ככל שהפרט שונא סיכון חזק יותר , כך פונקצי ית התועלת תהיה קעורה יותר

ב. נגזרת ראשונה חיובית מעידה על תועלת שולית פוחתת

ג. נגזרת שנייה שלילית מעידה על כך שהפרט אוהב יותר כסף על פחות כסף

ד. תשובות א', ב' נכונות

פתרון:

תשובות ב ' וג' אינן נכונות . נגזרת ראשונה חיובית מעידה על כך שהפונקציה עולה ונגזרת שנייה

שלילית מעידה על תועלת שולית פוחתת. תשובה א' נכונה מכיוון ש ככל שהפרט שונא סיכון

חזק יותר, תכונת התועלת השולית הפוחתת תהיה חזקה יותר ולכן הפונקציה תהיה קעורה

יותר.

פונקציית התועלת בתחום השלילי

נציג כעת את השאלה הבאה כדי לבדוק כיצד אנו מתנהג ים במצבים של הפסד (רכוש שלילי) .

נניח שהציע ו לכם את שתי האלטרנטיבות הבאות . מה תעדיפו?

א. לשלם עכשיו קנס של ₪ 011

ב. להטיל מטבע – אם יתקבל עץ ת י אלצו ל שלם בזה הרגע קנס בסך ,₪ 011 ואם ית קבל פלי

לא תצט רכו לשלם כלל

רוב האנשים מעדיפים את אלטרנטיבה ב' בש אלה שהוצגה לעיל, אף על פי שהממוצע זהה

בשתי האלטרנטיבות . הסיבה לכך היא שבמצב של הפסד י ש לנו נטייה להפוך לאוהבי סיכון.

להעדיף אי ודאות על ודאות.

גם כאן קיים אפקט רגישות שולית פוחתת. למשל, מאסר של שנה קשה יותר מאשר תוספת

שנה למאסר של 25 שנה. דוגמה נוספת היא כאשר קיים חוב קטן של ,₪ 111 הגדלה של

החוב בעוד ₪ 211 ה וא משמעותי ע בו ר בעל החוב, אך כאשר החוב הוא ע ל סך מיליון ,₪

תוספת של ₪ 211 אינה משנה לבעל ה חוב כהוא זה : "בכל מקרה לא אצליח להחזיר את

החוב!"

08

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

תרשים – 116 עקומת התועלת בתחום השלילי

תועלת

חוב

רכוש כסף

תועלת שלילית

תרשים 1.0 מתאר את פונקציי ת התועלת גם באזור השלילי . בתחום החיובי עקומת התועלת

קעורה ומייצגת אזור ש בו הפרט שונא סיכון . באזור השלילי עקומת התועלת קמורה ומייצגת

אזור שבו הפרט אוהב סיכון.

תרשים – 117 פונקציית התועלת של פרט אדיש לסיכון

U

כסף

תרשים 1.0 מתאר את עקומת התועלת של פרט אדיש לסיכון. עקומ ת התועלת של משקיע

אדיש לסיכון היא קו ישר מכיוון ש התועלת מכל יחידה נוספת של כסף או רכוש היא קבועה.

נשים לב שפונקציית התועלת אינה בהכרח מתחילה בראשית הצירים. הסיבה לכך היא

שלערכים של התועלת אין משמעות כמותית אלא רק השוואתית , כפי שגם נראה בהמשך

הפרק, לכן אם נוסיף או נוריד קבוע , לא תהיה לכך השפעה על משמעות התוצאות. אפשר

לראות שגם עבור פונקציית תועלת ,U=2X וגם עבור פונקציה U=100+2X , הפרט יעדיף ויקבל

יותר תועלת משקל אחד לעומת אפס שקלים. דהיינו, מכיוון שלערכי התועלת אין משמעות

מספרית אלא רק השוואתית , "הזזה" כלפי מעלה או מטה של העקומה לא תשפיע על משמעות

התוצאות שנקבל .

09

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

תרשים – 118 עקומת התועלת של פרט אוהב סיכון

U

כסף

תרשים 1.0 מציג את עקומת התועלת של פרט אוהב סיכון . עקומת התועלת של פרט אוהב

סיכון היא ק מורה מכיוון שהתועלת מכל יחידת כסף נוספת הולכת וגדלה.

הצגת פונקצ י ית התועלת כמשוואה מעריכית אם המשוואה המתמטית של פונקציית התועלת היא α U(X)= X , דהיינו משוואה מעריכית, אזי

כאשר:

– 1>α>1 הפרט שונא סיכון. ככל ש- α קטנה יותר הפרט שונא סיכון חזק יותר (עקומה קעורה יותר) , לדוגמה: 0.5 U=X – α<1 הפרט אוהב סיכון. ככל ש α- גדולה יותר הפרט אוהב סיכון חזק יותר (העקומה קמורה יותר) , לדוגמה: 2 U=X 2

– α=1 הפרט אדיש לסיכון , לדוגמה: U=X

116 עיקרון תוחלת התועלת

העיקרון טוען שאנשים שואפים ל מקסם את תוחלת התועלת שלהם מכסף, ולא את התוחלת

מכסף או את התוחלת הכספית .

תוחלת התועלת – הממוצע הצפוי של התועלות הנובעות מהתוצאות הכספיות העתידיות.

בחירת השקעות ת י עשה לפי מרב התועלת האפשרי עבור המשקיע . בחירה זו מאפשרת

למשקיע לבטא את העדפותיו בנוגע ל סיכון.

נסמן את תוחלת התועלת ב אותיות E(U) .

2 בפונקציות מסוימות כגון 3 U = X קיימת נקודת פיתול. פונקציה זו לדוגמה מתאימה לפרט אוהב סיכון בתחום אחד ובתחום אחר מתאימה לפרט שונא סיכון.

21

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

שאלה 14

משקיע יכול להשקיע סכ ום של ₪ 111 באחת משתי האלטרנטיבות הבאות:

באלטרנטיבה A הוא צפוי לקבל בהסתברות 51% סכום של ₪ 01 ובהסתברות 51% סכום של

.₪ 151

באלטרנטיבה B הוא צפוי לקבל בהסתברות 51% סכום של ₪ 251 ובהסתברות של 51%

סכום של אפס .₪

א. על פי קריטריון התוחלת הכספית – איזה פרויקט עדיף?

ב. נניח כעת שלפרט פונקציי ת תועלת זו:

251

151

01

1

רווח

111

05

51

1

תועלת

מבחינת קריטריון מקסימום תוחלת התועלת – איזה פרויקט עדיף?

פתרון:

א. תוחלת הרווח מ A- היא 0.5*150+0.5*80=115

תוחלת הרווח מ B- היא 0.5*250+0.5*0=125

ולכן, מבחינת קריטריון התוחלת הכספית B עדיף על .A

ב. תוחלת התועלת מ- A היא 0.5*50+0.5*75=62.5

תוחלת התועלת מ B- היא 0.5*100+0.5*0=50

לפי תוחלת התועלת A עדיף על .B

20

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

שאלה 11 פונקציית התועלת של משקיע היא 0.5

1 U=W

כאשר 1 W זה רכושו בסוף שנה.

לרשות המשקיע רכוש התחלתי של =9,000 0 .W

מציעים למשקיע לבחור בין אחת משתי השקעות : השקעה בענף המזון או בענף המחשב ים,

כאשר בכל אחת יש להשקיע .₪ 0,111

התזרים הצפוי בשקלים בכל אחת מההשקעות הוא כדלקמן:

מחשבים

מזון

הסתברות

תזרים

הסתברות

תזרים

1.5

11,111

1.5

0,111

1.5

-1,000

1.5

0,111

הניחו שאפשר להרוויח על הסכום שלא מושקע ריבית חסרת סיכון של .5%

א. חשבו את תוחלת הרכוש הסופי (התוחלת הכספית) עבור שתי ההשקעות. איזו השקעה

עדיפה ע ל פי קריטריון זה?

ב. חשבו את תוחלת התועלת עבור שתי ההשקעות. איזו השקעה עדיפה ע ל פי קריטריון זה?

ג. לפי פונקצי ית התועלת הנתונה, האם הפרט הוא שונא, אוהב או אדיש לסיכון?

ד. מהי תוחלת התועלת של הפרט אם לא ישקיע באף פרויקט, אלא ישים כספו בבנק בריבית

של ?5%

פתרון:

א. עבור הסכום שאינו מושקע ( )0,111-0,111 י קבל ריבית של % 5 . כלומר, עבור 5,111

השקלים הנותרים יקבל בסוף השנה ,250 000*1.05=5 5,

תוחלת הרכוש הסופי בהשקעה בתחום המזון:

0,051 0.5*(5,250+6,000)+0.5*(5,250+3,000)=

תוחלת הרכוש הסופי בהשקעה במחשבים:

=10,250 0.5*(5,250+11,000) +0.5*(5,250-1,000)

לכן בגישת תוחלת הכסף – השקעה במחשבים עדיפה על השקעה במזון ( .)0,051>11,251

22

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

ב. תוחלת התועלת בהשקעה בתחום המזון: =98.45 0.5 000) , +0.5*(5,250+3 0.5 000) , 0.5*(5,250+6

תוחלת התועלת בהשקעה בתחום ה מחשבים: =96.34 0.5 000) -1, +0.5*(5,250 0.5 0.5*(5,250+11,000)

בגישת תוחלת התועלת – השקעה במזון עדיפה על השקעה במחשבים.

מהי ה משמעות המספרית של תוחלת התועלת?

אין כל משמעות מספרית לתוחלת התועלת. החשיבות היא השוואתית בלבד, דהיינו

השקעה בתחום המזון עדיפה על השקעה בתחום המחשבים כי: 96.34 > 00.05

ג. פונקצי ית התועלת של המשקיע היא מסוג 0.5 U=X , כ אשר α קטנה מאחד . דהיינו, פרט

שונא סיכון. לכן , אף על פי שהתוחלת הכספית נמוכה יותר עבור השקעה בתחום המזון ,

היא עדיפה מבחינת תוחלת התועלת בשל הסיכון (הפיזור) בהשקעה במחשבים. ככל

שהסיכון גדול יותר, אבל התוחלת הכספית אינה משתנה , התועלת קטנה יותר עבור פרט

שונא סיכון.

ד. אם המשקיע ישים את כל כספו ( ₪ 0,111 ) בריבית של 5% , בסוף ה שנה יקבל 1.15*0,111=0,051 ולכן תוחלת התועלת =97.2 0.5 U(9,450)=9,450

בעצם השקעה במחשבים אינה כדאית עבור המשקיע מ כיוון שתוחלת התועלת המתקבלת

מהשקעה במחשבים ( 96.34 ) קטנה מהתועלת אשר יכולה להתקבל מהרכוש ההתחלתי

ללא השקעה.

שאלה 12

תוחלת התועלת של השקעה A זהה לתוחלת התועלת של השקעה B , אבל הסיכון בהשקעה

B גדול יותר. פרט הממקסם את תוחלת התועלת:

א. יעדיף את השקעה A

ב. יעדיף את השקעה B

ג. אדיש בין שתי ההשקעות

ד. אין מספיק נתונים כדי לקבוע

פתרון:

תוחלת התועלת כבר מגלמת את הסיכון מול התוחלת הכספית ולכן הפרט יקב ע את העדפתו

רק ע ל פי תוחלת התועלת . כלומר הפרט אדיש בין שתי ההשקעות ולכן תשובה ג' נכונה .

23

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

שאלה 10

משקיע מתלבט בין שתי ה השקעות הבאות:

השקעה B

השקעה A

הסתברות

תשואה

הסתברות

תשואה

1.0

0

1.2

1

1.2

10

1.5

0

1.0

25

1.0

00

איזו השקעה יעדיף המשקיע אם פונקצי י ת התועלת שלו היא 0.5 ?U=X

פתרון:

נמצא את תוחלת התועלת מכל השקעה. תוחלת התועלת מהשקעה = 2.8 :A 0.5 +0.3*(36) 0.5 (4) +0.5* 0.5 0.2*(0) תוחלת התועלת מהשקעה = 4 :B 0.5 +0.4*(25) 0.5 +0.2*(16) 0.5 0.4*(9)



הפרט יעדיף את השקעה .B

שאלה 10

נתונות שתי ההשקעות הבאות:

השקעה B

השקעה A

הסתברות

רווח

הסתברות

רווח

1.2

4

1.1

49

1.0

P

1.2

0

1.2

25

1.0

100

משקיע בעל פונקציית תועלת 0.5 U=X אדיש בין שתי ההשקעות.

מצאו את .P

24

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

פתרון:

ידוע כי המשקיע אדיש בין שתי האלטרנטיבות, ולכן תוחלת התועלת מהשקעה A שווה ל תוחלת

התועלת מהשקעה .B תוחלת התועלת מהשקעה :A 0.5 +0.7*(100) 0.5 (0) +0.2* 0.5 0.1*(49) תוחלת התועלת מהשקעה :B 0.5 +0.2*(25) 0.5 ( P) +0.6* 0.5 0.2 *(4)

נשווה בין שתי המשוואות ונחלץ את :P

0.5 +0.2*(25) 0.5 +0.6*P 0.5 0.2 *4 = 0.5 +0.7 *(100) 0.5 +0.2*(0) 0.5 0.1*(49) +1.0=7.7 0.5 0.6P =10.5 0.5 P =110.25 2 P=10.5

117 שווה ערך ודאי ( Equivalent CE=Certainty )

אם לתועלת אין משמעות מספרית, כיצד אפשר לבטא העדפת השקעה אחת על פני האחרת

מבחינה מספרית (בשקלים)?

כדי לענות על שאלה זו, אנו צריכים למצוא מהו הסכום הוודאי אשר יש לו אותה התועלת כמו

למצב המסוכן.

שווה ערך ודאי – הסכום הוודאי שיש לו תועלת זהה לתוחלת התועלת מסכומים לא ודאיי ם,

או במילים אחרות, סכום קטן יותר הניתן להש גה בוודאות, שאותו מוכן להחליף הפרט בסכום

גדול יותר אך בלתי ודאי .

נסמן שווה ערך ודאי ב אותיות .CE

25

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

שאלה 15 בהמשך לנתוני שאלה ,11 פונקציית התועלת של משקיע היא 0.5

1 U=W

כאשר 1 W זה רכושו בסוף השנה.

לרשות המשקיע רכוש התחלתי של =9,000 0 .W

מציעים למשקיע לבחור בין אחת משתי השקעות – השקעה בענף המזון או בענף המחשב ים,

כאשר בכל אחת יש להשקיע .₪ 0,111

התזרים הצפוי בשקלים בכל אחת מההשקעות הוא כדלקמן:

מחשבים

מזון

הסתברות

תזרים

הסתברות

תזרים

1.5

11,111

1.5

0,111

1.5

-1,000

1.5

0,111

בפתרון של שאלה 11 קיבלנו את התוצאות הבאות עבור התוחלת הכספית ותוחלת התועלת

של שתי ההשקעות:

תוחלת התועלת

תוחלת כספית

00.05

0,051

השקעה במזון

00.00

11,251

השקעה במחשבים

א. מהו הסכום הוודאי הזהה בתועלתו לתוחלת התועלת מההשקעה במזון ?

ב. מהו הסכום הוודאי הזהה בתועלתו לתוחלת התועלת מה ה שקעה במחשבים ?

ג. מהו שווה הערך הוודאי עבור פרט אדיש לסיכון?

פתרון:

א. הסכום הוודאי הזהה בתועלתו לתוחלת התועלת מ ה השקעה במזון הוא: =98.45 0.5 E(U)=(CE) 2 45) CE=(98.

CE=9,691

כלומר, המשקיע יהיה מוכן לוותר על סכום גדול יותר אך לא ודאי של ₪ 0,051 ולקבל בוודאות

סכום קטן יותר ע ל סך .₪ 0,001

26

שרבל שוקייר ǀ סיון ריף

ניהול פיננסי והשקעות

ב. הסכום הוודאי הזהה בתועלתו לתוחלת התועלת מהשקעה במחשבים הוא: =96.34 0.5 E(U)=(CE) 2 ) 96.34 CE=(

CE=9,281.39

כלומר, המשקיע יהיה מוכן לוותר על סכום לא ודאי של ₪ 11,251 ולקבל בביטחון 9,281.39

.₪

ג. מהו שווה הערך הוודאי עבור פרט אדיש לסיכון?

משום שפרט אדיש לסיכון הוא בעל פונקצי י ת תועלת מסוג U=X , עבור פרט אדיש לסיכון שווה

הערך הוודאי שווה לתוחלת הכספית, וזאת מכיוון שפרט אדיש לסיכון מתייחס רק לתוחלת

הכ ספית ולא לסיכון. כלומר, עבור ה השקעה ב מזון שווה הערך הוודאי שווה ל - ,₪ 0,051 ועבור

ההשקעה ב מחשבים – .₪ 11,251

שאלה 16 משקיע בעל פונקציית תועלת 0.1 U(X)= X בוחן את שווי ה תזרים הבא:

סיכוי של 01% לקבל ₪ 211 וסיכו י של 01% לקבל .₪ 51

א. מהי התוחלת הכספית של תזרים זה?

ב. מהו שווה הערך הוודאי של תזרים זה עבור המשקיע?

ג. נניח עתה שהתזרים ישתנה כדלקמן: 01% סיכוי לקבל 251 ו- 01% סיכוי לקבל .28.57

חשבו כעת את התוחלת הכספית ואת שווה הערך הוודאי.

פתרון:

א. התוחלת הכספית מהתזרים : 0.3*200+0.7*50=95 ב. ת וחלת התועלת של התזרים : =1.545 0.1 +0.7*(50) 0.1 E(U)=0.3*(200)

שווה הערך הוודאי:

=1.545 0.1 (CE) =77.36 (1/0.1) CE= 1.545

כלומר, משקיע זה יהיה מוכן להחליף סכום לא ודאי של ₪ 95 ולקבל בוודאות .₪ 00.00

ג. התוחלת הכספית נשארה זהה: 0.3*250+0.7*28.57=95

אבל הסיכון גדל (הפיזור של התוצאות) , ולכן עבור פר ט שונא סיכון תוחלת התועלת תרד ל : =1.499 0.1 +0.7*(28.57) 0.1 E(U)=0.3*(250)

ושווה הערך הוודאי גם כן ירד מ - : ₪ 00.00 ל

=57.6 (1/0.1) CE=1.499

27