الكلية الأكاديمية أونو | الإحصاء لإدارة الأعمال

ﺍﻹﺣﺻﺎء ﺍﻷﻋﻣﺎﻝ ﻹﺩﺍﺭﺓ ﺇﻛﺳﻝ ﻭﺗﻁﺑﻳﻘﺎﺕ ﺣﻠﻭﻝ، ﺗﻣﺎﺭﻳﻥ، ﻧﻅﺭﻳﺎﺕ،

ﺻﻭﺍﻥ ﺇﻳﺎﺩ | ﺭﻳﻑ ﺳﻳﻔﺎﻥ | ﺷﻘﻳﺭ ﺷﺭﺑﻝ

شربل شقير | سيفان ريف إياد صوان |

الإحصاء لإدارة الأعمال

סיון ריף | שרבל שוקייר איאד סואן |

סטטיסטיקה

למנהל עסקים

Sharbel Shoukair | Sivan Riff | Iyad Suwan

Statistics for Business

Management

الإحصاء لإدارة الأع مال نظري ات ■ تمارين ■ حلول

سيفان ريف | شربل شقير إياد صوان |

شربل شقير ، سيفان ريف ، إياد صوان

جميع الحقوق محفوظة للمؤلفين )0202(

الكلية الأكاديمية أونو ، شارع تساهل 401 ، كريات أونو

تم نشر هذا الكتاب ب دعم من الكلية الأكاديمي ة أونو

تحرير لغوي : رندة صوان

طباعة: المركز العالمي للخدمات الطلابية

تصميم الغلاف: الكلية الأكاديمية أونو

ISBN :800-261009

التوزيع: الكلية الأكاديمية أونو

الطبعة الأولى – أغسطس 0000

الكتاب محمي بقوانين حقوق النشر

لا يجوز النشر لأي جزء من هذا الكتاب أو اختزان مادته بطريقة الاسترجاع، أو

نقله على أي وجه أو بأي طريقة سواء كانت الكترونية أو ميكانيكية، أو بالنسخ

أوالتصوير أوالتسجيل أوالترجمة، أوالتخزين في قواعد البيانات دون الحصول

على إذن كتابي مسبق من المؤلفين.

يخضع المخالفون للملاحقة وا لعقاب الجنائي و/ أو المدني وفقاً للقانون

الفهرس

الوحدة الأ ول - الإحصاء الوصفي ........ ..................... ...... ........................................ 9

1.1 مقدمة ................................................................................................ 01

1.1 الجدول التكراري وعرض البيانات ................................................................ 01

المتغير الكمي المنفصل .............................. ................................................ 01 المتغير الكمي المتصل ............................................................................... 01 المتغير النوعي (الإسمي) ........................................................................... 01 تمرينات ( )1 .............................................................................................. 10 المنوال ................................................................................................ 12 الوسيط ................................................................................................ 21 الوسط الحسابي (المعدل) ............................................................................ 21 تمرينات ( )1 .............................................................................................. 23 1.1 مقاييس النزعة المركزية ........................................................................... 12

1.1 مقاييس الموقع ...................................................................................... 10

تمرينات ( )1 ................................... ........................................................... 13

1.5 مقاييس التشتت ..................................................................................... 01 المدى R ............................................................................................. 00 التباين والا نحرا المعيار .............................................................. . ......... 01 المدى الربعي ........................................ ................................................ 00 تمرينات ( )1 .......................... .................................................................... 01

1.6 أنواع التوزيعات ..................................................................................... 30

1.7 الحدود الفعلية والحدود الإفتراضية للفئات ....................................................... 32

1.8 التغير الخطي ........................................................................................ 30

1.9 العلامة المعيارية .................................................................................... 31

تمرينات ( )5 ........................................ ...................................................... 32

الوحدة الثانية – الاحتمالات ........ .......................... ......... . ....................................... 79

1 .1 أ ساسيات في نظرية المجموعات ................................................................. 01

تمرينات ( )6 .............................................................................................. 01

1.1 أشكال ڤن ( )Venn ...................................................... .......................... 01

تمرينات ( )7 .............................................................................................. 20

1.1 أساسيات الاحتمال والمتغير العشوائي ............................................................ 21

تمرينات )8( .............................................................................................. 20

I

1.1 الاحتمال الشرطي واستخدام شجرة القرار ........................................................ 010

011

تمرينات )9( ..............................................................................................

الوحدة الثالثة - الإنحدار الخط ي ..... ................... ................ . .................................... 177

010

1.1 عرض وتحليل العلاقة بين المتغيرات .............................................................

1.1 معامل ارتباط بيرسون ............................................................................. 001

1.1 نموذج الإنحدار الخطي ........................................................ ..................... 002

000

تمرينات )17( ............................................................................................

الوحدة الرابع ة - توزيعات الحالة المنفص لة ..... ........... ....... .......................................... 119

011

1.1 توزيع ذات الحدين ( Binomial ) ...............................................................

011

تمرينات )11( ............................................................................................

010

1.1 توزيع بوسون ( Poisson ) ...................... ...............................................

013

تمرينات )11( ............................................................................................

117

الوحدة الخام سة - التوزيع الطبيعي ......................... ......... ........................................

5.1 مقدمة ............................................................................................... 010

5.1 قيم Z واستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري ............................................... 012 التوزيع الطبيعي المعيار - جدول Z .............................................................. 020

5.1 حساب الاحتمال في التوزيع الطبيعي .............................................................. 021

020

5.1 حسا ب قيمة معينة من خلال النسبة الم ئ وية للم شاهدات في التوزيع الطبيعي ....... ... .......

011

تمرينات )11( ............................................................................................

الوحدة السادسة - الاستدلا ل الإحصائي ................... ...... .......................... .................. 111

6.1 مقدمة ................................................................................................ 011

010

6.1 نظرية النهاية المركزية ............................................................................

013

تمرينات )11( ................................ ............................................................

6.1 الاستدلال عل توقع المجتمع الإحصائي عندما يكون التباين معلوما ..... ............... ....... 010

031

تمرينات )15( ............................................................................................

6.1 ألفا الصغرى ......................................................................................... 031

010

تمرينات )16( ................................. ...........................................................

6.5 الأخطاء .............................................................................................. 010

001

تمرينات )17( ............................................................................................

001

6.6 الاستدلال عل توقع المجتمع الإحصائي عندما يكون التباين غير معلوم ......................

جدول توزيع t .......................................................................................

003

021

تمرينات )18( ............................................................................................

II

021

6.7 الاستدلال عل فرق التوقع بين مجتمعين إحصائيين مستقلين عندما تكون التباينات معلومة

020

تمرينات )19( ............................................................................................

6.8 الاستدلال عل فرق التوقع بين مجتمعين إحصائيين مستقلين عندما تكون التباينات غير

معلومة ..................................................................................................... 110

110

تمرينات )17( ............................................................................................

6.9 الاستدلال عل فرق التوقع لمجتمعين إحصائيين غير مستقلين ................................ 101

101

تمرينات )11( ............................................................................................

6.17 الاستدلال حول النسبة في المجتمع الإحصائي .................................................. 102

110

تمرينات )11( ............................................................................................

الوحدة السابعة - تطبيقات باستخدام إكسل .......... . .......... ......................... .... ................. 119

7.1 التمثيل البياني ....................................................................................... 121 مخطط الأعمدة ....................................................................................... 121 المدرج التكرار ( مخطط المستطيلات) .......................................................... 120 التمثيل البياني باستخدام الدائرة ............................................. .............................. . 122 7.1 حساب المقاييس الإحصائية ........................................................................ 121 مقاييس النزعة المركزية ............................................................................ 121 مقاييس الموقع – النسب Percentile (المئينات) ........................... ................... 122 مقاييس التشتت ....................................................................................... 111 شكل التوزيع ......................................................................................... 112 7.1 الإنحدار الخطي البسيط ............................................................................. 113

100

7.1 الإنحدار متعدد المتغيرات .............................. ............................................

131

7.5 المتغيرات الوهمية ( Dummy Variables ) ................................................

7.6 اختبارات الدلالة ..................................................................................... 131

III

الوحد ة الأول

الإحصاء الوصفي

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

مقدمة

1.1

الأ سلوب الإحصا ئي

في عالم اليوم ، نتعرض إلى كميا ت هائلة من المعلومات (البيانات)، ومن الأ مور المهمة جد ا معرفة كيفية

استخ دام هذه المعلومات والاستفادة منها. ولتحقيق ذلك، ي ساعدنا الإحصاء في تنظيم و عرض البيانات بطريقة

مفيدة و من ثم تحليل ها واست خلاص النتائج منها واتخ اذ القرارات بنا ء عليها. وإن المعرفة با لطرق الإحصائي ة

تعتبر ذات أهمية بالغة في جميع ال مجالات مثل الطب والتسويق و إدارة الأعمال وعلم النفس و غيرها.

فيما يلي سو نعر أنواع الإحصاء :

ي تعامل مع تلخيص ووص ال بيانات بشكل أكثر فائدة ، كبناء

.0 الإحصاء الوصفي – هو الأسلوب الذ

لوحات إحصائية ورس ومات بيانية وحساب مقاييس إحصائية مختلفة . هذا ي ساعدن ا على فهم المشكلة

موضوع البحث بشكل أفضل .

ي ساعدنا على استخلاص النتائج حول المجتمع الإحصائي

.1 الإحصاء الإ ستدلالي – هو الأسلوب الذ

بالكامل بناء على معلومات ونتائج عينة من ذلك المجتم ع، وبعد ذلك يتم اتخ اذ القرارات اعتمادا على

تلك النتائج .

تعريفات أساسية

مجتمع الدراسة

هو المجتمع الذ نجر عليه البحث ونريد معرفة تفاصيل معينة عنه. مثال: مجتمع طلاب المدارس الإبتدائية ،

مجتمع المطاعم ، مجتمع مرضى السرطان....... إلخ.

ال عينة

ا طالب من كلية ONO الأكاديمية تم

هي مجموعة جزئية من المجتمع الإحصائي . على سبيل المثال: 01

اختيارهم بطري قة معينة.

المتغير

هي ميزة تأخذ قيما مختلفة في مجتمع الدراسة . عل ى سبيل المثال ، يمكن أن يش تمل مجتمع طلاب المدارس

الإبتدائية على متغيرات كالعمر والطول والجنس ولون الشعر والحالة الاجتماعية و غيرها.

10

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

أنواع المتغيرات

.1 متغير نوعي (اسمي )

تكون قيم المتغير فيه أسماء بدون تعبيرات رقمية . على سبيل المثال: الجنس والحالة الاجتماعية ولون

الشعر و غيرها.

.2 المتغير الكمي

تكون قيم المتغير فيه رقمية . على سبيل المثال: العمر ، الطول ، الوزن وعدد الأشخاص وما إلى ذلك .

يقسم المتغير الكمي إل نوعين :

متغير كمي منفصل



وفيه تكون القيم المتغيرة أرقام ا منفصلة ، مثل: عدد المساقات المطلوبة للتخرج ، أو عدد الموظفين في

كل فرع من أفرع شركة معينة.

متغير كمي متصل



وفيه تكون القيم المتغيرة متصلة . المتغير المتصل له قيم م مكنة لا حصر لها في نفس الفئة. على سبيل

المثال: الوزن والطول.

في ما يلي مخطط مبسط لأنواع المتغيرات :

משתנה متغير

איכותי نوعي

כמותי كمي

רציף متصل

בדיד منفصل

11

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

1.1 ال جدول ا لتكراري وعرض البيانات

ال متغير الكمي ال منفصل

ال جدول ا لتكراري لم تغير كمي منفصل

ال جدول ا لتكرار يوضح كيفية توزيع القيم الم تغيرة.

مثال

: موظفا

فيما يلي التوزيع العمر لموظفي شركة بها 10

35،50،45،45،35،35،50،45،50،25،35،50،45،25،25،20،50،45،35،35،25،45،20،35،20

f(x)

F

p= f/n

P = F/n

שכיחות

שכיחות מצטברת

שכיחות יחסית

שכיחות יחסית מצטברת

التكرار

التكرار المتجمع

التكرار النسبي

التكرار النسبي المتجمع

x

(التراكمي)

(التراكمي)

20

3

3

3/25

3/25

25

4

7

4/25

7/25

35

7

14

7/25

14/25

45

6

20

6/25

20/25

50

5

25

5/25

25/25

n=25 المجموع

المجموع סה"כ

סה"כ

10/10=0

تعريفات

ال تكرار - هو عدد مرات ظهور كل قيمة من قيم x ويستخ دم له الرمز f(x) أو ببساطه .f

التكرار المتجمع (التراكمي) - هو مجموع التكرارات التي تسبق نقطة معينة إضافة لتكرار تلك النقطة، ويرمز له بالرمز .F

حجم العينة - هو عدد القيم في العينة ، ويرمز له بالرمز .n

التكرار النسبي - هو نسبة تكرار كل قيم ة إلى حجم العين ة ويرمز له بالرمز p وتساو .f/n

التكرار النسب ي المتجمع (التراكمي) - هو مجموع التكرارات النسبي ة التي تسبق نقطة معينة إضافة للتكرار النسبي لتلك النقطة، ويرمز له بالرمز P ويساو . F/n

12

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

قواعد بناء ال جدول التكرار

أ. ترتيب قيم المتغير من الأصغر للأكبر .

ب. مجموع التكرار التراكمي يساو حجم العينة .

ت. مجموع ال تكرار النسبي التراكمي يساو .0

ث. في الإحصاء الوصفي ، ال تكرار النسبي يساو ا لاحتمال. حيث يمكنك معرفة الاحتمال بمجرد النظر إلى

الجدول ، وليس عليك إجراء حسابات احتمالية معقدة. بالرجوع إلى المثال السابق :

ما هي فرصة هذه الشركة لاختيار موظ عمره 10 سنة؟

يمكنك أن ترى من خلال ال تكرار النسبي أن الفرصة هي 4/25 .

عرض بياني لمتغير كمي منفصل

الرسم ال بياني المناسب ل وص متغير كمي منفصل هو ال تمثيل بالأعمد ة (ال تمثيل بالعصي) ( דיאגרמת

מקלות).

على المحور X نعرض المتغير وعلى المحور Y نعرض التكرار . في مثالنا السابق سنحصل على الرسم

البياني التالي:

= (שכיחות التكرار) ( ، דיאגרמת מקלות = تمثيل بياني بالعصي )

ملاحظة:

13

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

المتغير الكمي الم تصل

ال جدول التكراري للمتغير الكمي الم تصل

نستخدم جدولا ت كراريا بفئات ذات مدى عندما يكون المتغير م تصلا أو عندما تكون البيانات كبيرة ، ويحتاج

. جدا

ال جدول الت كرار إلى التبسيط بحيث لا يكون طويلا

مثال

)، نريد عرض موظفا البيانات في جدول

لموظفي شركة بها 10

بناء على المثال السابق ( التوزيع العمر

ت كرار مقسم إلى ثلاث فئات متساوية في الطول.

كي نحدد طول الفئة؟

طول الفئة = المدى المطلوب مقسوما على عدد ال فئات.

المدى القيمة = العظمى Xmax للبيانات مطروح ا منها ا لقيمة ال صغرى لهذه البيانات Xmin

في مثالنا :

50-20=30

المدى

30/3=10

طول الفئة

f(x)

F

p= f/n

P = F/n

שכיחות

שכיחות מצטברת

שכיחות יחסית

שכיחות יחסית מצטברת

التكرار

التكرار المتجمع

التكرار النسبي

التكرار النسبي المتجمع

x

(التراكمي)

(التراكمي)

20-30

7

7

7/25

7/25

30-40

7

14

7/25

14/25

40-50

11

25

11/25

25/25=1

n=25 סה"כ

المجموع סה"כ

المجموع

10/10=0

نعتمد أن الفئة تشتمل على القيم

ملاحظة: كل قيمة يجب أن تتواجد في فئة واحدة فقط. في هذا الكتاب سو

ا لتي هي أكبر من الحد الأدنى للفئة وأصغر أو تساو الحد الأعلى للفئة.

(مثال: ال فئة 11-21 هي عمليا من 21.111110 إلى .)11

14

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

المدرج التكراري لمتغير كمي م تصل

المدرج التكرار ( طريقة المستطيلات ) هو المناسب لوص متغير كمي م تصل .

و غير متسا

إ نشاء المدرج التكراري عندما يكون طول الفئات

تعريف - الكثافة هي النسبة بين التكرار إلى طول الفئة.

عندما يكون طول الفئات متساو، يمكن للمرء أن يختار بين التكرار والكثافة لعرض القيم على محور .Y إذا

إلا ب استحدام الكثافة ، حيث أنها الوحدة الأكثر

و غير متسا ، فلا يمكن إنشاء المدرج التكرار

كان طول الفئات

شيوعا في هذه الحالة، و يرمز لها عادة بالرمز .f '

عندما:

= c طول الفئة

يكون

f '= f / c ( الكثافة )

مثال

x

f

f'=f/c

01-01

01

10/10=1

01-03

01

10/5=2

03-31

01

10/15=0.67

n=30

15

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

المدرج التكرار أدناه غير صحيح ومضلل :

f

10

02 02 03

32

، ير متساو يجب بنا ؤ ه باستخدام مفهوم الكثافة .

لذلك عند بناء مدرج تكرار طول الفئات فيه غ

(انظر المدرج أدناه).

f '

0

1



0.67 7

02

02 03

32

16

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

ال متغير النوعي (الإسمي)

الجدول التكراري للمتغير النوعي

، ف مشاهدا يما يلي بيانات برامجهم التلفزيونية المفضلة ، علما أن البيانات

وفقا لاستطلاع شمل 0011111

بالآ لا :

0201

"طباخين بلا توق "

" الأول في الا تصالات 10 "

00

"الخلية "11

21

"ماندلبوم و جولدنبوم"

سنرتب البيانات في جدول ت كرار على النحو التالي :

x

f(x)

p= f/n

שכיחות

שכיחות יחסית

التكرار

التكرار النسبي

"בשלנים ללא הפסקה"

0031

(=01% 0031/0311 )

" طباخين بلا توق "

"ראשון בתקשורת"

03

(=0% 03/0311 (

" الأول في الإتصالات "

"תא "00

03

(=0% 03/0311 (

"الخلية "11

"מנדלבאום וגולדנבאום"

01

(=6% 01/0311 )

"ماندلبوم و جولدنبوم"

ال عرض البياني ل لمتغير ال نوعي

الرسم البياني المناسب لمتغير نوعي (إسمي) هو مخطط دائر ( قطاعات دائرية .)

17

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

المتغير الكمي الم تصل - الرسوم البيانية الإضافية

.1 الرسم البياني لل تكرار التراكمي

مثال

)

= علامات

(ציונים

X

f

F

50-60

10

10

60-70

15

25

70-80

5

30

n=30

المجموع סה"כ

. بيانيا

الرسم التالي يوضح التكرار التراكمي

35

30

5 שכיחות מצטברת تكرار تراكمي F 10 15 20 25

0

50

60

70

80

X ציונים ( علامات)

يجيب هذا الرسم البياني على أسئلة مثل :

 ما هو عدد الطلاب الذين حصلوا على درجات بين 31 و ؟01 (الجواب .)01-01=01

 ما هو عدد الطلاب الذين حصلو ا على درجة أقل أو تساو ( ؟11 الجواب .)10

.2 الرسم البياني لل تكرار النسبي التراكمي (بالنسبة المئوية)

مثال

X

f

F

p

P

50-60

10

10

10/30 = 00.00%

00.00%

60-70

15

25

15/30 = 31%

30.00%

70-80

5

30

5/30 =06.61%

011%

18

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

P שכיחות יחסי ת מצטברת

التكرار التراكمي النسبي

50

60

70

80

X ציונים ( العلامات)

ما هي النسبة المئوية للطلاب الذين كانت درجاتهم أقل من أو تساو ؟11

) الجواب: )%02.22

ما هي النسبة المئوية للطلاب الذين يحصلون على درجة تتراوح بين 01 و ؟31

( الجواب: 1- 0.33333= 0.666667= 66.67% (

ملاحظات

 ن لاحظ أن المنحنى ليس خطا مستقيما . يظهر الرسم البياني حركته . حيث يبدأ الرسم البياني

يتزايد الاحتمال من صفر إلى .%011

بالمحور X ويوضح كي

 هناك طرق أخرى لإظهار ال تكرار النسبي التراكمي ، على سبيل المثال من خلال ال مضلع ال تكرار .

. 3 المضلع التكراري

من خلال ربط مراكز المستطيلا ت باستخدام خطوط

منحنى يبسط المدرج التكرار

يعطينا المضلع التكرار

مستقيمة . يتيح لنا المضلع رؤية شكل التوزيع بطريقه أكثر وضوح ا وهو مناسب أيض ا عند مقارنة بعض

التوزيعات. لإكمال المضلع التكرار ، نربط ا لقيم المتطرفة بمحور .X

كيفية إنشاء مضلع تكرار :

نأخذ طول الفئة الأول ى ون قسمه على .1 نطرح ال نتيجة من الحد السفلي للفئ ة الأولى .

.0

.1 نأخذ طول الفئة الأخيرة ون قسمه على .1 نجمع النتيجة للحد العلو للفئة الأخيرة .

.1 لرسم ال مضلع، ن بحث عن منتصف ات الفئات و نرسم خطوط مستقيمة بين منتصفات الأضلاع العلوية

للمستطيلات ون ربطها بالنقاط المتطرفة والتي تم ايجادها في الخطوتين 0 و .1

19

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

مثال

X ציונים ( العلامات)

f

F

50-60

10

10

60-70

15

25

70-80

5

30

n=30

16

14

12

10

8

6

4

2

0

53

32

60

02

80

85

20

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

تمرينات )1(

سؤال 1

: شخصا

فيما يلي التوزيع العمر لموظفي شركة التكنولوجيا الفا ئقة في تل أبيب و التي توظ 21

،03 ،00 ،00 ،00 ،03 ،01 ،33 ،00 ،01 ،03 ،01

،00 ،01 ،00 ،00 ،03 ،00 ،03 ،00 ،01 ،00 ،00

،03 ،03 ،00 ،33 ،00 ،03 ،33 ،00 ،01 ،00 ،00

11

كون جدول توزيع تكراري بدون فئات ، ثم مثل البيانات باستخدام الأعمدة.

f(x) שכיחות التكرار

F שכיחות מצטברת التكرار التراكمي

p= f/n שכיחות יחסית التكرار النسبي

P = F/n שכיחות יחסית מצטברת التكرار النسبي التراكمي

x

18

4

4

4/34

4/34

19

5

9

5/34

9/34

21

2

11

2/34

11/34

22

4

15

4/34

15/34

25

4

19

4/34

19/34

30

1

20

1/34

20/34

33

3

23

3/34

23/34

34

3

26

3/34

26/34

40

5

31

5/34

31/34

55

3

34

3/34

34/34

n=34 المجموع

المجموع 34/34=0

الحل

דיאגרמת מקלות

6

4

2

שכיחות

0

18 19 21 22

25

30 33 34 40

55

גיל

)

= العمر

= שכיחות ال تكرار) ، ( גיל

= דיאגרמת מקלות التمثيل البياني بالعصي) ( ،

ملاحظة: (

21

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

سؤال 1

فيما يلي أعمار 11 مقيما من مجتمع في شمال البلاد .

قم بتقسيم البيانات إلى خمس فئات متساوية في الطول ، وقم ببناء جدو ل تكرار كامل، ثم ا عرض البيانات

باستخدام ال مدرج التكرار .

،36 ،00 ،00 ،31 ،61 ،60 ،60 ،11 ،66 ،30 ،00 ،03 ،01 ،31

،31 ،63 ،13 ،30 ،60 ،60 ،60 ،60 ،61 ،01 ،10 ،61 ،63 ،01

30 ،60 ،01 ،33 ،16 ،01 ،03 ،03 ،10 ،10 ،61 ،10 ،00 ،61

الحل

21-11=11

المدى

طول الفئة 11/3=01

ƒ'

f(x)

F

p= f/n

P = F/n

x

צפיפות ƒ /c

שכיחות

שכיחות מצטברת

שכיחות יחסית

שכיחות יחסית מצטברת

التكرار

التكرار المتجمع

التكرار النسبي

التكرار النسبي التراكمي

الكثافه

2 /

2 /

20-34

2

2

0.143

42

42

8 /

10 /

34-48

8

10

0.571

42

42

10 /

20 /

48-62

10

20

0.714

42

42

18 /

38 /

62-76

18

38

1.286

42

42

4 /

42 /

76-90

4

42

0.286

42

42

n=42

) الفئات متساو

يتم إنشاء المدرج التكرار للكثافة (في هذه الح الة، من الممكن أي ضا إظهار التكرار حيث طول

22

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

سؤال 1

في مجتمع زراعي تم إيجاد عدد الشتلات في كل قطعة. فيما يلي نتائج عينة عشوائية من 31 قطعة:

،06 ،01 ،01 ،01 ،01 ،00 ،00 ،03 ،06 ،01 ،00 ،60 ،30 ،00 ،00

،00 ،00 ،03 ،00 ،11

،1 ،65 ،01 ،03 ،15 ،03 ،00 ،01 ،00 ،03

،00 ،30 ،00 ،01

،3 ،01 ،00 ،01 ،01 ،00 ،01 ،06 ،00 ،03 ،01

00 ،03 ،30 ،66

،0 ،06 ،03 ،01 ،00 ،31 ،31 ،06

،0 ،61 ،00

ا . قسم البيانات إلى 3 فئات متساوية الطول .

ب. كون جدولا تكراري ا كاملا.

ج. مثل البيانات باستخدام المدرج التكرار ، وا رسم بياني ا كلا من التكرار النسبي التراكمي و المضلع التكرار .

الحل

31-1 = 31

المدى

31/6=01

طول الفئة

ƒ'

f(x)

F

p= f/n

P = F/n

שכיחות

שכיחות מצטברת

שכיחות יחסית

שכיחות יחסית מצטברת

צפיפות ƒ /c

التكرار

التكرار التراكمي

التكرار النسبي

التكرار النسبي التراكمي

الكثاف ة

x

12

12

60 /

60 /

7-17

12

12

1.2

18

30

60 /

60 /

17-27 18

30

1.8

17

47

60 /

60 /

27-37 17

47

1.7

1

48

60 /

60 /

37-47

1

48

0.1

7

55

60 /

60 /

47-57

7

55

0.7

5

60

60 /

60 /

57-67

5

60

0.5

n=60

23

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

f '

إنشاء المدرج التكرار حسب ا لكثافة :

1.8

1.7

1.7

7.7

0.5

7.1

7

17

77

77

77

77

77

الرسم البياني للتكرار النسبي التراكمي :

P

50 /

50

60 /

60

55 /

60

48 /

60

47 /

60

30 /

60

12 /

60

7

17

27

37

47

57

67

24

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

المضلع التكرار :

f'

1.8

1.7

1.7

7.7

0.5

7.1

7

17

77

77

77

77

77

77

2

25

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

سؤال 1

. مطلقا

، و متزوجا 121 أرملا ، و 121

، وجد فيها رجلا 0120 أعزب ا، و 1300

عينة مكونة من 0111

أخذت عينة أخرى مكونة من 0111 امرأة ، وتبين أن فيها 210 امرأة عزباء، و 2010 متزوجة ، و 211

أرملة ، و 101 مطلقة.

ا. باستخدام جدول، عبر عن النسبة المئوية لل رجال وال نسبة المئوية ل لنساء لكل حالة .

ب. اعرض البيانات في رسمين دائريين .

الحل

أ. باستخدام جدول

אחוז נשים

אחוז גברים

מצב משפחתי

النسبة من الاناث

النسبة من الذكور

الحالة الاجتماعي ة

03.3

03.0

רווק أعزب

11.0

30.1

נשוי متزوج

6.0

3.3

אלמן أرمل

3

0.6

גרוש مطلق

ب. بالرسوم الدائرية:

נשים إناث

גברים ذكور

אלמן, 2%

גרוש, 1%

אלמן, 2%

גרוש, 2%

רווק, 21%

רווק, 39%

נשוי, 57%

נשוי, 75%

26

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال



إشارة سيجما

على نتعر أولا إشارة  . هذا لأننا سنصاد

قبل أن نبدأ في عرض طرق مختلفة في الإحصاء الوصفي ،

هذه الإ شارة لاحق ا في الك تاب، حيث من المعتاد استخدام سي ج ما في العديد من الصيغ كاختصار لمجموع

ال حدود.

علامة سيجما تستخدم للدلالة على جمع عدد من ال حدود المرتبة :

n



1 2 3 X x x x x     .... i

n

i



1

أمثلة

4



2 3 4 X x x x    i

.0

i



2

3

1 1 2 2 2 2 i i X x x x      2

.0

3

3

1 1 (2 5) 2 5 2 5 2 5 i i X x x x          2 3

.0

مثال

i

0

4

0

0

0

3

0

0

3

0

∑ 5 =1

=4+1+5+3+2=15

27

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

ا لم قاييس الإحصائي ة

وعرض الرسوم البيانية ، يجب حساب القيم العددية لمساعدتنا

بعد تنظيم البيانات في جدول ال توزيع التكرار

على استخلاص النتائج حول المتغير موضوع البحث .

المقاييس الإحصائي ة إلى ثلاث فئات:

يمكن تصني

مقاييس النزعة المركزية ( מדדי מרכז )

.1

المنوال ( שכיח)



الوسيط ( חציון)



الوسط الحسابي (المعدل) ( ממוצע)



مقاييس الموقع ( מדדי מיקום)

.1

المئينات ( אחוזונים) (מאונים)



مقاييس التشتت ( מדדי פיזור )

.1

المدى ( תחום)



المعيار (שונות ו סטיית תקן )

التباين و الانحرا



المدى البيني - الربعي ( תחום בין – רבעוני)



28

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

1.3 مقاييس النزعة المركزي ة

أ. المنوال

تعري : المنوال هو القيمة الأكثر تكرارا .

يرمز له بالرمز ( Mo mode ) أو X .

حساب المنوال لمتغير كمي منفصل

( ،) علامات مثلا في هذه الحالة يكون المنوال هو الرقم الذ ي ظهر أكبر عدد

عندما يكون لدينا جدول تكرار

من المرات ، أ العلامة الأكثر تكرار ا.

في المثال المعروض علينا ، المنوال هو ( 30 تكرر 1 مرات).

X

f

01

0

31

0

63

1

13

6

31

3

n=25

قد يكون هناك حالة يظهر فيها أيض ا العديد من القيم الأكثر تكرار ا . على سبيل المثال، في الجدول التالي يمكننا

القول أن المنوال هو 30 و ( 01 بتكرار 1 لكل واحدة منها .)

X

f

01

0

31

0

63

1

13

6

31

1

n=27

29

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

حساب المنوال لمتغير كمي م تصل

الخطوات الحسابية للمنوال لمتغير كمي م تصل تكون على النحو التالي :

.0 إنشاء عمود ال كثافة.

.1 الب حث عن ال فئة الأكثر تكرارا ، وهي الفئة الأعلى كث افة وتسمى فئة المنوال (الفئة المنوالية .)

.0 حساب المنوال يكون باستخدام الصيغة التالية:

  

  

f i

'( ) '(i 1) f  

Mo L

C

 



f i

'( ) '(i 1) f

'( ) '(i 1) f      f i

= الحد السفلي للفئة المنوالية

L

'( ) f i

= كثافة الفئة المنوالية

= كثافة الفئة التي تسبق الفئة المنوالية مباشرة.

'(i 1) f 

'(i 1) f 

= كثافة الفئة التي تلي الفئة المنوالية مباشرة.

= طول الفئة المنوالية.

C

مثال

X (גיל) العمر

f(x) שכיחות التكرار

ƒ' צפיפות ƒ /c الكثاف ة

20-25

10

2

25-30

25

5

30-40

10

1

40-50

30

3

n = 75

الفئة المنوالية ( ) 03-01

  

  

f i

'( ) '(i 1) f  

5 2

 

 

Mo L

25    C

 

 

5 27.14



'( ) '(i 1) '( ) '(i 1) f i f f i f     

5 2 5 1     

ملاحظة: إذا كان ت الفئة المنوالية هي الفئة الأول ى، فإن تكرار الفئة السابقة يعتبر صفرا . إذا كانت الفئة المنوالية

هي الأخيرة، فإن تكرار الفئة التالية ي ساو صفر ا.

30

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

حساب ال منوال لمتغير نوعي

بالنسبة ل ل متغير النوعي ، فإن المن وال هو القيمة التي لها أعلى تكرار .

مثال

وفقا لاستطلاع شمل 0011111 مشاهدا ، فيما يلي بيانات برامجهم التلفزيونية المفضلة . ا لبيانات (بالآلا .)

0201

"طباخين بلا توق "

الأول في الإ تصالات 10 "

00

الخلية "11

21

"مندلبوم و جولدنبوم"

x

f(x) שכיחות (באלפים) التكرار (بالآ لا )

p= f/n שכיחות יחסית التكرار النسبي

" طباخين بلا توق "

0031

(=01% 0031/0311 )

" الأول في الإ تصالات "

03

(=0% 03/0311 (

"الخلية "11

03

(=0% 03/0311 (

" مندلبوم و جولدن بوم"

01

(=6% 01/0311 )

المجموع : סה"כ %011 المجموع: סה"כ n =0311

المنوال = "طباخين بلا توق "

31

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

ب. الوسيط

تعري : الوسيط بأنه القيمة التي تتوسط التوزيع ، بحيث أن عدد القيم التي أعلى منها مساو للقيم التي هي أدنى

منها، ويرمز له بالرمز ME (median) .

حساب الوسيط لمتغير كمي منفصل

مثال

الجدول التالي يظهر توزيع علامات ثلاثة طلاب في مساق الاقتصاد .

X

f

11

0

31

0

01

0

n=3

في المثال السابق الوسيط هو ( 01 حيث عدد القيم التي أعلى منه يساو عدد القيم التي أقل منه) .

ملاحظة: ف ي حالة أن عدد المشاهدات زوجي يكو ن الوسيط هو معدل القيمتين الأوسطتين، مثال:

الوسيط للأعداد 1،2،1،0 هو . 2.0

سنعرض الآن طريقة تقريبية لإ يجاد الوسيط

خطوات حساب الوسيط لمتغير كمي منفصل

.0 إنشاء عمود ال تكرار التراكمي .

.1 حساب القيمة n( n / 2 مجموع التكرارات) .

مجموع التكرارات F≥ n *1/2 يكون

.2 أول قيمة يكون فيها ا لتكرار التراكمي أكبر من أو يساو نص

هو الوسيط.

مثال

x

f

F

31

0

0

61

0

3

63

3

01

11

3

03

31

0

00

01

0

03

n=25

F≥ 12.5 ، Me= 70

32

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

خطوات حساب الوسيط لمتغير كمي م تصل

.0 إنشاء عمود ال تكرار التراكمي .

.1 حسا ب القيمة n( n / 2 مجموع التكرارات) .

مجموع التكرارات

.2 إيجاد الفئة التي يكون فيها ا لتكرار التراكمي أكبر من أو يساو نص

F≥ n *1/2 وتسمى الفئة الوسيطية .

.1 تطبيق القاعدة التالية لإ يجاد الوسيط:

f C

2 1

  

  

  

  

ME L

 

* n *



(i -1) F

= L الحد الأدنى للفئة الوسيطية

= C طول الفئة الوسيطية

= تكرار الفئة الوسيطية

f

= n مجموع التكرارات

(i-1) = F التكرار التراكمي للفئة التي تسبق مباشرة الفئة الوسيطية

مثال

x

f

F

31-61

0

0

61-63

0

3

63-11

3

01

11-31

3

03

31-01

0

00

01-011

0

03

n=25

F≥ 12.5

الفئة الوسيطية: ( )11-31

C 1

10          8

1

f         

  

  

ME L * n* F 70     

* 25* 10 7  

3.125

(i-1)

2

2

الوسيط للمتغيرالنوعي

لا ي وجد تعري ل لوسيط لمتغير نوعي .

33

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

ج. الوسط الحسابي (المعدل ) يص ال وسط الحسابي ، على المستوى العام ، توزيع المتغير قيد البحث ، ويتم حسابه على أنه مجموع القيم

مقسوما على عدد ها.

n

n



x f



x f

i i

i i

i



1

X



أو

n

i  

1

X



f

i

n

i



1

-Xi قيم المتغير

-fi التكرار

خطوات حساب الوس ط الحسابي لمتغير كمي منفصل

X

F

31

0

61

0

63

3

11

3

31

0

01

0

n=25

50 2 60 3 65 5 70 8 80 4 90 3           

X





70.2

25

34

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

خطوات حساب الوس ط الحسابي لمتغير كمي م تصل

X

f

31-61

0

61-63

0

63-11

3

11-31

3

31-01

0

01-011

0

n=25

للفئة (على سبيل المثال: في الفئة الأولى

نجد مركز كل فئة عن طريق حساب متوسط الحدين السفلي والعلو

وقيمتها .)00

ة على مقسوم 1 نحصل على X في ال منتص

)31 + 01(

المركز X

f

55

2

62.5

3

67.5

5

75

8

85

4

95

3

55 2 62.5 3 67.5 5 75 8 85 4 95 3           

X





74.4

25

الوسط الحسلبي للمتغيرالنوعي

لا ي وجد تعري لل وسط لمتغير نوعي .

ميزات ال وسط الحسابي

.0 لا يمكن حسابه إلا لمتغير كمي .

.1 يص المتغير بشكل عام ، ولكن ليس بالضرورة أن يكون أحد قيم المتغير .

.2 يتأثر المتوسط كثيرا بالقيم المتطرفة .

35

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

تمرينات )2(

سؤال 1

جد المنوال والوسيط للبيا نات التالية:

00 ، 3 ، 01 ، 00 ، 0 ، 3 ، 00

الحل

المنوال :

00 ،3 MO =

x

ƒ

F

تكرار كل منهما )0(

0

0

0

3

0

0

الوسيط :

نحسب:

00

1

3

7 ∗ 1 2 = 3.5

أ.

00

0

6

F ≥ 3.5

(مباشرة)

ب.

01

0

1

ت. ME = 11

n = 1

سؤال 2

فيما يلي بيانات عن عدد أجهزة ال حاسوب المكتبية المنزلية من عينة عشوائية من المنازل السكنية من وسط

البلا د.

عدد المنازل

عدد أجهزة الحاس وب

03

1

3

0

03

0

03

0

03

0

00

3

3

6

أ. مثل البيانات برسم بياني مناسب .

ب. احسب المنوال والوسيط والوسط لأجهزة الحاس وب.

36

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

الحل

أ. نستخدم مخطط الأعمدة

120

100

80

60

40

מספר בתי מגורים

20

0

0

1

2

3

4

5

6

מספר מחשבים

ب. المنوال:

0 وله أعلى تكرار )03(

المنوال MO يساو

x

f

F

0

25

25

1

5

30

2

98

128

3

45

173

4

15

188

5

11

199

6

5

204

n = 204

37

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

الوسيط :

نحسب :

204 ∗ 1 2 = 102

أ.

ب. F ≥ 102

ME 2 

ج.

الوسط :

0*25 1*5 2*98 3*45 4*15 5*11 6*5 481      

X



 

2.36

204

204

X



2.36

سؤال 1

فيما يلي توزيع الدخل الشهر لأس رة في حي معين في منطقة القدس .

التكرار

الدخل الشهري

00

1011-2011

01

2011-01011

11

-02011 01011

01

-12011 02011

2

-21011 12011

أ. ا حسب الوسط، و الوسيط، والمنوال للدخل الشهر .

ب. مثل البيانات بمدرج تكرار وعي ن عليه الوسيط .

38

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

الحل

أ.

X

ƒ

F

ƒ’

X

7,000

4,500 - 9,500

11

11

00 : 5,000 = 0.0000

12,000

9,500 - 14,500

52

63

30 : 5,000 = 0.0104

17,000

14,500 - 19,500

24

87

00 : 5,000 = 0.0048

20,300

19,500 - 20,500

17

104

01 : 10,000 = 0.0017

00,000

20,500 - 34,500

3

107

3 : 5,000 = 0.0006

n = 107

الوسط :

7, 000*11 12, 000*52 17, 000*24 24,500*17 32, 000*3 1, 621,500 107 107 X      

1, 621,500

X 



15,154.2

107

الوسيط :

1 1 * 107* 53.5 2 2 n  

F 

53.5

الفئة الوسيطي ة: -2011 01011

  

 (i 1) F 

f ME L C  

* n * 1



2

5, 000

1

ME

9,500  

*(107* 11) 2 

52

ME



13,586.53

المنوال :

       f' f' (i 1)  i (i 1) i

MO L

 * C

 



f' f'

f' f'

i

(i 1) 

الفئة المنوالي ة 9500 - 14500 :

0.0104 0.0022 

MO

 

9,500 (

)*5, 000

0.0104 0.0022 0.0104 0.0048   

MO



12, 471.01

39

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

ب.

חציון

40

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

1.1 مقاييس الموقع

النسب ة المئوية / المئين

تعريف: المئين P هو القيمة التي أقل منها أو يساويها P % من القيم ويرمز له بالرمز 100 p X

مثال

المئين 02 هو القيمة التي أقل منها أو يساويها %02 من القيم وأكبر منها %52 من القيم. ويرمز له

X

بالرمز 25 100

حساب المئي نات للمتغير الكمي المنفصل

خطوات الحساب ل لمئين P

حساب التكرار التراكمي .F

.0

100 p

n .

حساب

.0

*

100 p

n F≥ مباشرة.

ايجاد قيمة المتغير التي عندها

.0

*

مثال

معطى توزيع علامات ص معين، ا حسب المئين .01

x

f

F

31

0

0

61

0

3

63

3

01

11

3

03

31

0

00

01

0

03

n=25

الحل

25*80/100= 20

00=F≥20

X



80

31% : من العلامات تحت العلامة .01

80 100

41

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

حساب المئي نات للمتغير الكمي المتصل

خطوات الحساب للمئين P

حساب التكرار التراكمي . F

.0

100 p

n  .

حساب

.0

100 p

n F≥ مباشرة ، وعندها نعين ما يسمى بالفئة المئينية .

إيجاد قيمة المتغير التي عندها

.0

*

استخدام القاعدة :

.0

f C

100 P

  

  

  

  

100 P

X L

 

* n *



F

(i-1)

حيث:

= L الحد السفلي للفئة المئينية

= C طول الفئة المئينية

= تكرار الفئة المئينية

f

= n مجموع التكرارات

(i-1) = F التكرار التراكمي للفئة التي تسبق الفئة المئينية مباشرة

مثال

الجدول التالي يظهر توزيع علامات ص . جد المئين .01

x

f

F

31-61

0

0

61-63

0

3

63-11

3

01

11-31

3

03

31-01

0

00

01-011

0

03

n=25

الحل

100 p

نحسب

.0

n

*

p

100 80

n

*



25*



20

100

42

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

100 p

n F≥

.0

*

إذن F=22

F 20 

لذلك ،

الفئة المئينية هي ( )31-01

.0

P

f C

4 10

100 80

  

  

  

80     

  

  

  

   

100 80

X L

 

* n *



F

* 25*



18 85

(i -1)

100

31% من القيم أقل من أو يساو 33 و 01% أكثر من .00

أمثلة إضافي ة عل المئينات

مثال 1

الجدول التالي يمثل علامات طلاب .

x

f

F

31

0

0

61

0

3

63

3

01

11

3

03

31

0

00

01

0

03

n=25

أ. ما هي العلام ة التي 11% من الطلاب علامتهم أقل منها ؟

ب. ما هي العلام ة التي 63% من الطلاب علامتهم أعلى منها ؟

ت. ما نسبة الطلاب الذين علامتهم أقل من أو تساو ؟31

ث. ما نسبة الطلاب الذين علامتهم أكبر من أو تساو ؟01

43

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

الحل

p

100 77

أ.

F *  n



25*



19.25

100

F 19.25 80 X  

77 100

ب. نجد المئين 03 - 63%=03%( .)011%

p

100 35

F *  n



25*



8.75

100

X



65

35 100

ت. يمكنك أن ترى مباشرة من الجدول أعلاه أن عدد الطلاب الذين حصلوا على أقل من أو يساو 31 هو .0

بحساب النسبة المئوية نجد أن .%11 = 10/0

ث. يوضح الجدول أن عدد الطلاب الذين حصلوا على درجات أعلى من 01 هو 2 ، و بحساب النسبة المئوية

نجد أن .%01 = 10/2

مثال 2

x

f

F

31-61

0

0

61-63

0

3

63-11

3

01

11-31

3

03

31-01

0

00

01-011

0

03

n=25

أ. ما هي العلامة التي %11 من الطلاب علامتهم أقل منها ؟

ب. ما هي العلام ة التي %03 من الطلاب علامتهم أعلى منها ؟

ت. ما نسبة الطلاب الذين علامتهم أقل أو يساو ؟31

ث. ما نسبة الطلاب الذين علامتهم بين 00 و ؟31

44

إياد صوان |

سيفان ري | شربل شقير

الإحصاء لإدارة الأعمال

الحل

أ. نجد المئين :11

p

100 77

n

*



25*



19.25

100

F 19.25  الفئة المئيني ة هي 31-01

بتطبيق القاعد ة نجد أن :

P

f C

4 10

100 77

  

  

  

80     

  

  

  

   

100 77

X L

 

* n *



F

* 25*



18 83.125

(i -1)

100

ب. لإيجاد المئين :65

p

100 65

.0

n

*



25*



16.25

100

.0 F 16.25  الفئة المئينية :11-31

.0 بتطبيق القانون :

P

f C

8 10

100 65

  

  

  

70     

  

  

  

   

100 65

X L

 

* n *



F

* 25*



10 77.81

(i -1)

100

لإيجاد المئين المناسب للعلامة 61 نجد P من القاعد ة:

تقع ال علامة 31 في الفئة ( 11-30 ) وبالتالي:

100 P

X



67

5 5

100 p

  

  

  

  

67 65

 

* 25*



5

p 28% 

ت. العلامة 00 تقع في الفئ ة ( )01-31

P 100 X 58 

10          2

p

  

58 50

 

* 25* 0 

100

p 6.4% 

33 هي .6.0%

ث. نسبة الطلاب الذين علامتهم أقل أو يساو

61 هي .03%

نسبة الطلاب الذين علامتهم أقل أو يساو

من الفرع ت نسبة الطلاب الذين علامتهم بين 00 و 31 هي:

p 28% 6.4% 21.6%   

45