הקריה האקדמית אונו | סטטיסטיקה למנהל עסקים

שניה מהדורה

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה

למנהל עסקים

Sivan Riff | Sharbel Shoukair

Statistics for Business

Management

סטטיסטיקה למנהל עסקים

תיאוריה ■ תרגילים ■ פתרונות

שרבל שוקייר סיון ריף

ש רבל שוקייר ו סיון ריף

© כל הזכויות שמורות למחבר ים ( )2021

הקריה האקדמית אונו, רח' צה"ל 104 , קרית אונו

הספר יצא לאור בסיוע הקריה האקדמית אונו

עריכה לשונית: ליהי צינצינטוס -ארד

הדפסה: דף - אור יקיר פרינט

עיצוב כריכה : הקריה האקדמית אונו

דאנאקוד: 1524-26204

הפצה: הקריה האקדמית אונו

הספר מוגן ע"י חוקי ההגנה על זכויות יוצרים.

אין לשכפל, להעתיק, לצלם, להקליט, לתרגם, לחלק,

לאחסן במאגרי מידע, או להפיץ ספר זה או חלקים ממנו

בשום צורה ובשום אמצעי, אלקטרוני

(לרבות אינטרנט ודוא"ל), אופטי או מכני

מבלי לקבל רשות מפורשת מראש בכתב מהמחבר

העובר על הוראה זו צפוי לתביעה פלילית ו/או אזרחית ולעונש בהתאם לחוק.

תוכן עניינים

פ ר ק – 1 סטטיסטיקה תיאורית ................................ ................................ ........... 1

1.1 מבוא ................................ ................................ ................................ ......... 2

1.2 טבלת שכיחויות והצגה גרפית ................................ ................................ ........ 3

משתנה כמותי בדיד ................................ ................................ ....................... 3

משתנה כמותי רציף ................................ ................................ ....................... 5

משתנה איכותי ................................ ................................ .............................. 8

משתנה כמותי רציף – דיאגרמות נוספות ................................ ............................ 9

1.3 מדדי מרכז ................................ ................................ ............................... 14

שכיח ................................ ................................ ................................ ......... 14

חציון ................................ ................................ ................................ ......... 17

ממוצע ................................ ................................ ................................ ....... 19

1.4 מדדי מיקום ................................ ................................ .............................. 21

1.5 מדדי פיזור ................................ ................................ ............................... 26

תחום R ................................ ................................ ................................ 27.....

שונות וסטיית תקן ................................ ................................ ........................ 28

תחום בין רבעוני ................................ ................................ .......................... 31

1.6 סוגי התפלגויות ................................ ................................ ......................... 33

1.7 גבול אמיתי וגבול מדומה ................................ ................................ ............. 35

1.8 שינוי לינארי ................................ ................................ .............................. 37

1.9 ציון תקן ................................ ................................ ................................ ... 39

1.10 בניית דיאגרמות באמצעות אקסל ................................ ................................ 41

דיאגרמת מקלות ................................ ................................ ......................... 41

היסטוגרמה (דיאגרמת מלבנים) ................................ ................................ 42.....

דיאגרמת עיגול / עוגה ................................ ................................ .................. 44

קו מגמה ................................ ................................ ................................ 45....

דיאגרמת פיזור ................................ ................................ ........................... 46

1.11 חישוב מדדים סטטיסטיים באמצעות אקסל ................................ .................... 48

מדדי מרכז ................................ ................................ ................................ 48.

מדדי מיקום - אחוזונים Percentile ................................ ................................ 54

מדדי פיזור ................................ ................................ ................................ 55.

צורת ההתפלגות ................................ ................................ ......................... 59

סיכום מדדים באמצעות סטטיסטיקה תיאורית ................................ ................... 63

II

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

שאלות חזרה ................................ ................................ ................................ .. 66

פ ר ק – 2 רגרסיה לינארית ................................ ................................ ................ 93

2.1 הצגה וניתוח של קשר בין משתנים ................................ ................................ 94.

2.2 מקדם המתאם של פירסון ................................ ................................ ............ 96

2.3 חישוב והצגת קו הרגרסיה הלינארי ................................ ................................ 99

2.4 רגרסיה לינארית פשוטה – יישום באמצעות אקסל ................................ ........... 100

2.5 רגרסיה מרובת משתנים ................................ ................................ ............ 110

2.6 משתנה דמה ................................ ................................ .......................... 118

שאלות חזרה ................................ ................................ ................................ 121

פ ר ק - 3 הסתברות ................................ ................................ ......................... 127

3.1 מושגים בתורת הקבוצות ................................ ................................ ........... 128

3.2 דיאגרמות וואן ................................ ................................ ........................ 132

3.3 יסודות ההסתברות ................................ ................................ .................. 151

3.4 הסתברות מותנית ושימוש בעצי החלטות ................................ ...................... 157

3.5 התפלגות בינומית ................................ ................................ .................... 162

3.6 התפלגות פואסונית ................................ ................................ .................. 166

שאלות חזרה ................................ ................................ ................................ 169

פ ר ק – 4 התפלגות נורמלית ................................ ................................ ........... 181

4.1 מבוא ................................ ................................ ................................ 182.....

4.2 ערכי Z ושימוש בלוח ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית ................................ 183..

ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית - לוח Z ................................ .................... 185

4.3 חישוב הסתברויות בהתפלגות נורמלית ................................ ........................ 187

4.4 חישוב ערך מסוים לפי אחוז התצפיות בהתפלגות הנורמלית ............................. 191

4.5 התפלגות נורמלית – חישובים באמצעות אקסל ................................ .............. 192

שאלות חזרה ................................ ................................ ................................ 196

פ ר ק – 5 הסקה סטטיסטית – מדגם יחיד ................................ .......................... 201

5.1 מבוא ................................ ................................ ................................ 202....

5.2 משפט הגבול המרכזי ................................ ................................ ............... 203

5.3 הסקה על תוחלת האוכלוסיה כאשר סטיית התקן נתונה ................................ 204...

5.4 אלפא מינימלית ................................ ................................ ....................... 216

III

סיון ריף | שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

5.5 רווח סמך ומבחן השערות לתוחלת של מדגם יחיד כאשר השונות באוכלוסייה ידועה –

יישום באמצעות אקסל ................................ ................................ .................... 219

5.6 טעויות ................................ ................................ ................................ 221...

5.7 הסקה לגבי תוחלת האוכלוסייה כאשר השונות אינה ידועה ................................ 226

טבלת התפלגות t ................................ ................................ ...................... 228

5.8 רווח סמך ומבחן השערות לתוחלת עבור מדגם יחיד כאשר השונות באוכלוסייה אינה

ידועה – יישום באמצעות אקסל ................................ ................................ ......... 233

5.9 הסקה לגבי הפרופורציה באוכלוסייה ................................ ............................ 236

5.10 מבחן Z לבדיקת פרופורציות – יישום באמצעות אקסל ................................ 242...

שאלות חזרה ................................ ................................ ................................ 244

פ ר ק – 6 הסקה סטטיסטית – שני מדגמים ................................ ....................... 267

6.1 מבוא ................................ ................................ ................................ 268.....

6.2 הסקה לגבי הפרש התוחלות של שתי אוכלוסיות בלתי תלויות כאשר השונויות

באוכלוסייה ידועות ................................ ................................ ......................... 268

6.3 הסקה לגבי הפרש התוחלות של שתי אוכלוסיות בלתי תלויות כאשר שתי השונויות אינן

ידועות ושוות ................................ ................................ ................................ 272

6.4 מבחני T להפרש התוחלות של שתי אוכלוסיות בלתי תלויות – יישום באמצעות אקסל

................................ ................................ ................................ ................. 278

6.5 הסקה לגבי הפרש התוחלות של שתי אוכלוסיות תלויות ................................ 285...

6.6 מבחן T להפרש התוחלות של שתי אוכלוסיות תלויות – יישום באמצעות אקסל 291......

שאלות חזרה ................................ ................................ ................................ 294

IV

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

פרק 1

סטטיסטיקה תיאורית

1

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

1.1 מבוא השיטה הסטטיסטית

בעולם של היום אנחנו חשופים לכמויות עצומות של מידע. חשוב מאוד לדעת כיצד להשתמש

במידע ולהפיק ממנו תועלת. סטטיסטיקה עוזרת לנו להציג את הנתונים בצורה שימושית,

לארגן את הנתונים, לנתח א ות ם ולהסיק מסקנ ות. ידע בסטטיסטיקה חשוב בכל תחומי העיסוק

השונים, כגון: רפואה, שיווק, מנהל עסקים, פסיכולוגיה ועוד.

נבדיל בין שני ה חלקים של השיטה הסטטיסטית:

.1 סטטיסטיקה תיאורית – שיטות שעוסקות ב סיכום המידע ובתיאורו בצורה שימושית יותר.

לדוגמה : בניית לוחות סטטיסטיים , הצגה גרפית ו חישוב מדדים סטטיסטיים שונים שיעזרו לנו

להבין את התמונה בצורה טובה יותר .

.2 סטטיסטיקה היסקית – שיטות שעוזרות לנו להסיק מסקנות לגבי כלל האוכלוסייה על בסיס

מידע ו על בסיס תוצאות של מדגם מתוך האוכלוסייה.

הגדרות בסיסיות

אוכלוסיית המחקר

את מי אנחנו חוקרי ם? אוסף של פרטים ש אותם אנחנו מעוניינים לחקור. לדוגמה : סטודנטים

בישראל, מסעדות ועוד.

מדגם

תת קבוצה בתוך האוכלוסייה. ל דוגמה: חמישים סטודנטים בקריה האקדמית אונו.

משתנה

תכונה המקבלת ערכים שונים באוכלוסיית המחקר. ל דוגמה : באוכלוסיית הסטודנטים בישראל

המשתנים יכולים להיות גיל, מגדר, צבע שיער, מצב משפחתי ועוד.

סוגי משתנים

משתנה איכותי (שמי) הערכים של המשתנה הם שמות ללא ביטויים מספר י ים. ל דוגמה : מגדר, מצב

.1

משפחתי, צבע שיער ועוד.

משתנה כמותי הערכים של המשתנה הם במספרים. ל דוגמה : גיל, גובה, משקל, מספר נפשות ועוד.

.2

2

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

משתנה כמותי אפשר למיין ל שני סוגים:

משתנה כמותי בדיד



ערכי המשתנה הם מספרים בודדים , כגון: מס פר קורסי החובה, מספר עובדים

בחברה.

משתנה כמותי רציף



ערכי המשתנה רציפים. משתנה ה מקבל אין- סוף ערכים אפשריים באותה קטגוריה.

לדוגמה : משקל, גובה.

משתנה

איכותי

כמותי

רציף

בדיד

1.1 טבלת שכיחויות והצגה גרפית

משתנה כמותי בדיד טבלת שכיחויות למשתנה כמותי בדיד

טבלת שכיחויות היא טבלה המציגה את השכיחו יו ת של הערכים השונים.

הגדרות

שכיחות – מספר המקרים לכל ערך f(x) : או .f

שכיחות מצטברת – מספר המקרים עד (וכולל) אותו ערך. נסמן א ת השכיחות המצטברת

באות .F

גודל המדגם – מספר הערכים במדגם. נסמן ב אות .n

שכיחות יחסית – השכיחות מובעת באחוזים. כלומר, שכיחות חלקי גודל המדגם. נסמן ב אות

.p

3

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

שכיחות יחסית מצטברת – השכיחות המצטברת מובעת באחוזים. כלומר, השכיחות

המצטברת חלקי גודל המדגם. נסמן ב אות .P

כללים לבניית טבלת שכיחויות

א. לסדר את המשתנה מהערך הנמוך לגבוה .

ב. במחלקה האחרונה השכיחות המצטברת שווה לגודל המדגם .

ג. השכיחות היחסית המצטברת במחלקה האחרונה שווה ל .1:

שאלה 1

להלן התפלגות הגילאים של חברה שבה עשרים וחמישה עובדים:

,23 ,53 ,53 ,53 ,35 ,25 ,23 ,23 ,53 ,35 ,53 ,23 ,35 ,53 ,35 ,53 ,53 ,53 ,53 ,35 ,53

25 ,53 ,25 ,53

בנו טבלת שכיחות מלאה והצג את הנתונים באמצעות דיאגרמה מתאימה.

פתרון:

f(x)

F

p= f/n

P = F/n

x

שכיחות

שכיחות מצטברת

שכיחות יחסית

שכיחות יחסית מצטברת

20

3

3

3/25

3/25

25

4

7

4/25

7/25

35

7

14

7/25

14/25

45

6

20

6/25

20/25

50

5

25

5/25

25/25

n=25 סה"כ

סה"כ 52/52=1

חשוב לזכור: ב סטטיסטיקה תיאורית שכיחות יחסית גם שווה להסתברות. אפשר לדעת מה ההסתברות

רק מ התבוננות ב טבלה, אין צורך לעשות חישובי הסתברות מסובכים.

לדוגמה:

מה ה סיכוי בחברה זו לבחירת עובד שהגיל שלו הוא ?23 אפשר לראות לפי השכיחות

היחסית שהסיכוי הוא .5223

4

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

הצגה גרפית עבור משתנה כמותי בדיד

דיאגרמה מתאימה לתיאור משתנה כמותי בדיד היא דיאגרמת מקלות.

על ציר ה X- נציג את המשתנה ועל ציר ה- Y את השכיחות. ב דוגמה שלנו נקב ל את הדיאגרמה

הבאה:

0 1 2 3 4 5 6 7 8

מספר עובדים

25

23

53

53

35

גיל

משתנה כמותי רציף

טבלת שכיחויות עבור משתנה כמותי רציף

נשתמש בטבלת שכיחויות במחלקות עם טווח כאשר המשתנה הוא רציף או כאשר ה נתונים

רבים ויש צורך לפשט את טבלת השכיחויות כדי שלא תהיה ארוכה מדי.

שאלה 1

להלן התפלגות הגילאים של חברה שבה עשרים וחמישה עובדים:

,23 ,53 ,53 ,53 ,35 ,25 ,23 ,23 ,53 ,35 ,53 ,23 ,35 ,53 ,35 ,53 ,53 ,53 ,53 ,35 ,53

25 ,53 ,25 ,53

חלקו את הנתונים לשלוש מחלקות שוות רוחב, בנ ו טבלת שכיחות מלאה והצ יגו את הנתונים

באמצעות דיאגרמה מתאימה.

פתרון:

כיצד נקבע את רוחב המ חלקה?

טווח = רוחב מחלקה חלקי מספר המחלקות

= טווח הערך ה מקסימלי Xmax פחות הערך המינימלי Xmin

בדוגמה שלנו:

טווח 50-20=55

רוחב המחלקה 5525=15

5

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

P = F/n

f(x)

F

p= f/n

שכיחות יחסית

X

שכיחות

שכיחות מצטברת

שכיחות יחסית

מצטברת

20-30

7

7

7/25

7/25

30-40

7

14

7/25

14/25

40-50

11

25

11/25

25/25=1

n=25 סה"כ

סה"כ 52/52=1

הערה: לכל ערך חייבת להיות קטגוריה אחת, לכן בספר זה נגדיר כל מחלקה עד וכולל אותו

מספר (ל דוגמה: מחלקה 55-55 היא בעצם 55.5551 – ועד 55 כולל).

הצגה גרפית עבור משתנה כמותי רציף

היסטוגרמה (דיאגרמ ת מלבנים) היא דיאגרמה ה מתאימה לתיאור משתנה כמותי רציף .

מספר עובדים

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

02 02

02

02

02

גיל

בניית היסטוגרמה כאשר רוחב המחלקות שונה

כשבונים היסטוגרמה ו רוחב המחלקות שווה , אפשר לבחור בין שכיחות רגילה לצפיפות. אם

רוחב המחלקות אינו ש ווה, אפשר לבנות היסטוגרמה לפי צפיפות בלבד.

צפיפות היא השכיחות ליחידה. נסמן צפיפות ב .f' :

כאשר:

רוחב מחלקה =

C

השכיחות ליחידה אחת) =

f ' = f /c (צפיפות

6

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

שאלה 3

להלן התפלגות הגילאים של חברה שבה שלושים עובדים:

x

f

25-55

15

55-53

15

53-35

15

n=30

בנו דיאגרמת מלבנים (היסטוגרמה) לטבלת הנתונים הבאה.

פתרון:

במידה ונבנה את הגרף לפי השכיחות הרגילה אז הגרף מטה אינו נכון ומטעה.

f

10

32

02 02 03

גיל

ל כן כאשר בונים היסטוגרמה ורו חב המחלקות שונה , יש לבנות בטבלה עמודה של צפיפות

ולצייר את ההיס טוגרמה לפי צפיפות בלבד:

x

f

f'=f/c

25-55

15

10/10=1

55-53

15

10/5=2

53-35

15

10/15=0.67

f '

0

1

0.677

גיל

02

02

03

32

7

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

טבלת שכיחויות עבור משתנה איכותי

טבלת שכיחויות עבור משתנה איכותי היא טבלה המציגה את השכיחו יו ת של משתנה

שהערכים שלו הם שמות ללא ביטויים מספר יים.

שאלה 4

לפי סקר של 1,355,555 צופים, להלן נתונים לגבי תוכנית הטל ו ויזיה האהובה עליהם.

נתונים (באלפים :)

"בשלנים ללא הפסקה" : 1,535

"ראשון בתקשורת" 53 :

"תא 13 :"22

"מנדלבאום וגולדנבאום" 05 :

בנו טבלת שכיחות מלאה והצג את הנתונים באמצעות דיאגרמה מתאימה.

פתרון:

נסדר את הנתונים בטבלת שכיחויו ת כדלקמן (נתונים באלפים) :

X

f(x)

p= f/n

שכיחות

שכיחות יחסית

"בשלנים ללא הפסקה"

1535

(=05% 153521355 )

"ראשון בתקשורת"

53

(=5% 5321355 (

"תא "22

13

(=1% 1321355 (

"מנדלבאום וגולדנבאום"

05

(=6% 0521355 )

n=1500

155%

הצגה גרפית עבור משתנה איכותי דיאגרמה מתאימה עבור הצגת משת נה שמי או איכותי היא דיאגרמת עוגה (מעגל).

8

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

משתנה כמותי רציף – דיאגרמות נוספות

להלן דיאגרמות נוספות להצגת הנתונים:

.1 גרף שכיחות מצטברת

דיאגרמה זו מצי גה את השכיחות המצטברת באופן גרפ י.

שאלה 5

להלן התפלגות הציונים של כיתה שבה שלושים סטודנטים:

(ציונים) X

f

F

50-60

10

10

60-70

15

25

70-80

5

30

n=30

בנו גרף שכיחות מצטברת.

פתרון:

F שכיחות

35

מצטברת

30

25

20

15

10

5

0

35

65

05

05

X ציונים

באמצעות גרף זה אפשר לענות על שאלות כגון:

 מה מספר הסטודנטים ש הציון שלה ם בין 65 ל- 05 ? (תשובה = 25: .)55-15

 מה מספר הסטודנטים שקיבלו ציון נמוך או שווה ל ?05- (תשובה .)23 :

9

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

.1 גרף שכיחות יחסית מצטברת (באחוזים)

גרף שכיחות יחסית מצטברת (באחוזים) זהה לגרף שכיחות מצטברת רק שהתוצאות

באחוזים.

שאלה 6

להלן התפלגות הציונים של כיתה שבה שלושים סטודנטים:

(ציונים) X

f

F

p

P

50-60

10

10

10/30=55.55%

55.55%

60-70

15

25

15/30=35%

05.55%

70-80

5

30

5/30=16.60%

155%

n=30

בנו גרף שכיחות יחסית מצטברת (באח וזים).

פתרון:

P שכיחות יחסית מצטברת

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

35

65

05

05

X ציונים

באמצעות גרף זה אפשר לענות על שאלות כגון:

 מהו אחוז הסטודנטים ש הציון שלה ם קטן או שווה ל ( ?05- תשובה: .)05.55%

 מהו אחוז הסטודנטים שקיבלו ציון בין 05 ל- ?65

(תשובה: 66.66% -0.3333=0.66667, .)1

הערות:

 שימו לב שלא מדובר בקו ישר. הגרף מראה מגמה. הגרף מתחיל בחיתוך עם ציר ה-

X ומראה איך הסתברות מתחיל ה מאפס ועד .155%

 ישנן שיטות נוספות להציג את השכיחות היחסית המצטברת באופן גרפי, למשל

באמצעות דיאגרמה בצורת מלבנים (מדרגות).

10

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

.3 גרף פוליגון (מצולע שכיחויות )

מצולע שכיחויות נותן לנו קו שמפש ט את ההיסטוגרמה על ידי חיבור מרכזי המלבנים. הפוליגון

מאפשר לנו לראות באופן ברור יותר את צורת ההתפלגות והוא גם נו ח כאשר משווים בין כמה

התפלגויות . כדי להשלים את גרף הפוליגון נחבר את אמצעי הקבוצות הקיצוניות לאמצעי

קבוצות "דמיוניות" בקצוות של הגרף.

אופן בניית גר ף פוליגון:

.1 ניקח את רוחב המחלקה הראשונה ונחלק אותו ב- 2 . ניקח את המספר הראשון ונ חסיר ממנו

את התוצאה .

.2 ניקח את רוחב המחלקה האחרונה ונחלק אותו ב- .2 נוסיף את התוצאה למספר האחרון.

.5 כדי לצייר פוליגון יש למצוא את אמצע המחלקות ולהעביר ישר בין כל אמצע מחלקה.

שאלה 7

להלן התפלגות הציונים של כיתה שבה שלושים סטודנטים:

X ציונים

f

F

50-60

10

10

60-70

15

25

70-80

5

30

n=30

בנה גרף פוליגון (מצולע שכיחויות .)

פתרון:

f שכיחות

60

02

80

85

53

32

ציונים X

11

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

סימן הסיגמא 

לפני שנ תחיל להציג שיטות שונות בסטטיסטיקה תיאורית, נקדים ונסביר מהו סימן ה סיגמא

 . אנו ניתקל בהמשך בסימן זה ב ספר מ כיוון שנהוג להשתמש בסיגמא בנוסחאות רבות

כסימן קיצור לס כום של איברים. סימן הסיגמא מהווה הוראה לחיבורם של כמה איברים

מסודרים:

n



1 2 3 X x x x x     .... i

n

i



1

דוגמאות:

4



2 3 4 X x x x    i

.1

i



2

3

1 1 2 2 2 2 i i X x x x      2

.2

3

3

1 1 (2 5) 2 5 2 5 2 5 i i X x x x          2 3

.5

דוגמה:

Xi

1

4

2

1

5

3

5

5

3

2

5

  1 i

i x

     

4 1 5 3 2 15

5

  1 2 2 * 4 2 *1 2 *5 2 *3 2 * 2 30 i i x      

5

  1 i

i x

(

        5) 4 1 5 3 2 5*5 40

5

 

        1 (3 8) 3* 4 3*1 3*5 3*3 3* 2 5*8 85 i i x

12

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

מדדים ס טטיסטיים

לאחר ארגון הנתונ ים בטבלת שכיחו יו ת והצגת הדיאגרמות יש לחשב ערכים מספריים שי עזרו

לנו להסיק מסקנות על המשתנה הנחקר .

אפשר למיין את המדדים לשלוש ק טגוריות:

.1 מדדי מרכז :

שכיח



חציון



ממוצע



.1 מדדי מיקום :

אחוזו נים ( מאונים)

.3 מדדי פיזור :

תחום



שונות ו סטיית תקן



תחום בין- רבעוני



13

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

1.3 מדדי מרכז

א. שכיח

המספר הנפוץ ביותר, המספר בעל התדירות הגבוה ביותר.

שכיח נסמן ב ( Mo : )mode או X .

חישוב שכיח עבור משתנה כמותי בדיד

כאשר יש לנו טבלת שכיחויות (ציונים ל דוגמה), השכיח ה וא המספר ש מופיע הכי הרבה

פעמים. כלומר הציון שיש לו את ה שכיחות הגבוה ה ביותר.

שאלה 8

להלן התפלגות הציונים בקורס מבוא לכלכלה :

X

f

55

5

35

5

63

0

03

6

05

3

n=25

מה ו השכיח ?

פתרון:

בדוגמה שלפנינו השכיח הוא 63 (עם תדירות (0 .

יי תכן מצב שבו גם יופיעו כמה ערכים עם התדירות הגבוהה ביותר. למשל בדוגמה הבאה

אפשר לומר שהשכיחים הם 63 ו- 05 (עם תדירות :)0

X

f

55

5

35

5

63

0

03

6

05

0

n=27

14

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

חישוב שכיח עבור משתנה כמותי רציף

שלבים בחישוב השכיח עבור משתנה כמותי רציף :

.1 לבנות עמודה של צפיפות.

.2 למצוא את מחלקת השכיח, המחלקה בעלת הצפיפות הגבוהה ביותר.

.5 לחשב את השכיח בעזרת הנוסחה הבאה:

  

  

f i

'( ) '(i 1) f  

Mo L

C

 



f i

'( ) '(i 1) f

'( ) '(i 1) f      f i

L גבול תחתון של מחלקת השכ = יח

הצפיפות של מחלקת השכיח =

'( ) f i

הצפיפו = ת של המחלקה שלפני מחלקת השכיח

'(i 1) f 

הצפיפות של המחלקה שאחרי מחלקת = השכיח

'(i 1) f 

רוחב מחלקת השכיח =

C

שאלה 9

להלן התפלגות הגילאים במפעל לפלסטיק :

X

f(x)

ƒ'

(גיל)

שכיחות

צפיפות ƒ /c

20-25

10

2

25-30

25

5

30-40

10

1

40-50

30

3

n=75

מהו השכיח ?

פתרון:

1 . יש למצוא את מחלקת השכיח, המחלקה בעלת הצפיפות הגבוהה ביותר.

בשאלה זו, המחלקה בעלת הצפיפות הגבוהה ביותר היא ה מחלקה ( .)23-55

2 . יש לחשב את השכיח לפ י הנוסחה הבאה:

  

  

f i

'( ) '(i 1) f  

5 2

 

 

Mo L

25    C

 

 

5 27.14



f i

'( ) '(i 1) f

'( ) '(i 1) f      f i

5 2 5 1     

הערה: אם מחלקת השכיח היא ה מחלקה הראשונה אז המחלק ה שלפני תהיה אפס. אם

מחלקת השכיח היא הקבוצה האחרונה , המחלקה שאחרי תהיה שווה לאפס.

15

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

חישוב שכיח עבור משתנה איכותי

עבור משתנה איכותי השכיח הוא הערך בעל השכיחות הגבוה ב יותר.

שאלה 11

לפי סקר של 1,355,555 צופים, להלן נתונים לגבי תוכנית הטלו ו יזיה האהובה עליהם :

נתונים (באלפים) :

"בשלנים ללא הפסקה" : 1,535

"ראשון בתקשורת" 53 :

"תא 13 :"22

"מנדלבאום וגולדנבאום" 05 :

X

f(x)

p= f/n

שכיחות (באלפים)

שכיחות יחסית

"בשלנים ללא הפסקה"

1535

(=05% 153521355 )

"ראשון בתקשורת"

53

(=5% 5321355 (

"תא "22

13

(=1% 1321355 (

"מנדלבאום וגולדנבאום"

05

(=6% 0521355 )

n=1500

155%

מהו השכיח ?

פתרון:

= Mo בשלנים ללא הפסקה

השכיח הוא " בשלנים ללא הפסקה " עם השכיחות הגבוהה ביותר (תדירות .)1,535

16

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

ב. חציון החציון מוגדר להיות ערך החוצה את ההתפלגות , עם מספר שווה של ערכים מעליו ומתחתיו.

ME (median) .

חציון נסמן ב :

חישוב חציון עבור משתנה כמותי בדיד

דוגמה: להלן התפלגות הציונים של שלושה סטודנטים בכלכלה :

X

f

05

1

05

1

05

1

n=3

בדוגמה שלפנינו 05 הוא החציון ( עם מספר שווה של ערכים מעליו ומתחתיו .)

שלבים בחישוב החציון עבור משתנה כמותי בדיד :

.1 נבנה עמודה של שכיחות מצטברת ( מספר המקרים עד לאותו ערך .)

.2 נחשב את הערך .n/2

.5 נבדוק מתי בפעם הראשונה השכיחות המצטברת גדולה או שווה ל- n*1/2

F ≥ n*1/2) .)

שאלה 11

ל הלן התפלגות הציונים בקורס יסודות המימון:

x

f

F

35

2

2

65

5

3

63

3

15

05

0

10

05

5

22

05

5

23

n=25

חשבו את החציון.

פתרון:

1 . נחשב את הערך . n/2 2322=12.3

.2 נבדוק מתי בפעם הראשונה השכיחות ה מצטברת גדולה או שווה ל ( 12.3 (F≥12.5

5 . מכאן .Me=70

17

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

חישוב חציון עבור משתנה כמותי רציף

שלבים בחישוב חציון עבור משתנה כמותי רציף :

.1 נבנה עמודה של שכיחות מצטברת (מספר המקרים עד לאותו ערך) .

.2 נחשב את הערך .n/2

.5 נבדוק מתי בפעם הראשונה השכיחות המצטברת גדולה או שו וה לחצי F≥n*1/2

.5 נציב את הנתונים בנוסחה הבאה:

f C

2 1

  

  

  

  

ME L

 

* n *



(i-1) F

L גבול תחתון מחלקת חציון =

רוחב מחלקה =

C

f שכיחות מחלקת חציון =

גודל מדגם =

n

השכיחות המצטברת של המחלקה שלפני מחלקת החציון =

F (i-1)

שאלה 11

להלן התפלגות הציונים בקורס ניהול פיננסי :

x

f

F

35-65

2

2

65-63

5

3

63-05

3

15

05-05

0

10

05-05

5

22

05-155

5

23

n=25

חשבו את החציון.

פתרון: א. נחשב את הערך . n/2 2322=12.3

ב. נבדוק מתי בפעם הראשונה השכיחות המצטברת גדולה או שווה ל ( 12.3 (F≥12.5

F≥12.5 ולכן החציון נמצא ב מחלקה ( .)05-05

ג. שלב אחרון יש להציב את הנתונים בנוסחת החציון:

C 1

10          8

1

f         

  

  

ME L * n * F 70     

* 25* 10 7  

3.125

(i-1)

2

2

ולכן Me=73.125 .

18

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

חישוב חציון עבור משתנה איכותי אין אפשרות לחשב חציון עבור משתנה איכותי 1 ( אין משמעות לחישוב החציון במשתנה זה .)

ג. ממוצע הממוצע מת אר ברמה כללית את התפלגות המשתנה הנחקר והוא מחושב כסכום הערכים

חלקי מספר הערכים .

n

n



x f



x f

i i

i i

i



1

X



i  

1

X

אפשר לרשום זאת גם כך:

n

n



f

i

i



1

= Xi ערכי המשתנה

= fi שכיחות המשתנה

חישוב ממוצע עבור משתנה כמותי בדיד

שאלה 13

להלן התפלגות הציונים בקורס יסודות המימון:

X

f

35

2

65

5

63

3

05

0

05

5

05

5

n=25

חשבו את ממוצע הציונים.

פתרון:

50 2 60 3 65 5 70 8 80 4 90 3           

X





70.2

25

1 יש אפשרות לחשב חציון למשתנה איכותי כאשר הוא מדרגת סדר .

19

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

חישוב ממוצע עבור משתנה כמותי רציף

שאלה 14

להלן התפלגות הציו נים בקורס ניהול פיננסי :

X

f

35-65

2

65-63

5

63-05

3

05-05

0

05-05

5

05-155

5

n=25

חשבו את ממוצע הציונים.

פתרון: נחשב אמצע קטע לכל מחלקה על ידי חישוב ממוצע לכל מחלקה ולאחר מכן נחשב את הממוצע

(ל דוגמה : במחלקה הראשונה נחשב 65+35 חלקי 2 ונקבל X אמצע .)33

אמצע X

f

55

2

62.5

3

67.5

5

75

8

85

4

95

3

55 2 62.5 3 67.5 5 75 8 85 4 95 3           

X





74.4

25

חישוב ממוצע עבור משתנה איכותי (שמי)

אין אפשרות לחשב ממוצע עבור משתנה איכותי (אין משמעות לחישוב הממוצע במשתנה זה).

תכונות הממוצע

.1 ניתן לחישוב רק למשתנה כמותי .

.2 מתאר ברמה כללית את המשתנה , אך לא בהכרח ואף לרוב אינו ערך הקיים בסדרה .

.5 הממוצע מושפע מערכים קיצוניים .

20

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

1.4 מדדי מ יקום אחוזון/מאון – הערך ש- P אחוז מהמקרים נמוכים ממנו או שווים לו.

לדוגמה : אחוזון 23 הוא הערך ש 23%- מהמקרים יה יו מתחתיו או שווים לו ו- 03% יהיו מעליו.

X .)

(למשל אחוזון 23 יסומן כך: 25 100

מאון נסמן ב 2 אחוזון :

p X

100

חישוב אחוזון עבור משתנה כמותי בדיד

שלבים בחישוב אחוזון עבור משתנה כמותי בדיד :

.1 חישוב שכיחות מצטברת F

100 p

.2 חישוב

n

*

100 p

n F≥ בפעם הראשונה

.5 נמצא מתי

*

שאלה 15

להלן התפלגות ציונים בכיתה מסוימת. חשבו את האחוזון ה- .05

X

f

F

35

2

2

65

5

3

63

3

15

05

0

10

05

5

22

05

5

23

n=25

פתרון:

100 p

n , 25*80/100=20 .

.1 חישוב

*

.2 נמצא מתי F≥20 בפעם הראשונה

05% – מהציונים מתחת לציון .05

.5 מכאן:

X



80

80 100

21

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

חישוב אחוזון עבור משתנה כמותי רציף

שלבים בחישו ב אחוזון עבור משתנה כמותי רציף :

.1 חישוב שכיחות מצטברת F

100 p

.2 חישוב

n 

100 p

n  F≥ בפעם הראשונה

.5 נמצא מתי

.5 הצבה בנוסחה :

f C

100 P

  

  

  

  

100 P

X L

 

* n *



F

(i-1)

שאלה 16

חשבו על פי הטבלה הנ"ל המציגה את התפלגות הציונים בכיתה מסוימת את

האחוזון ה .05-

x

f

F

35-65

2

2

65-63

5

3

63-05

3

15

05-05

0

10

05-05

5

22

05-155

5

23

n=25

פתרון:

p

100 80

.1 יש לחשב את הערך

n

*



25*



20

100

מכאן מיקום האחוזון ה- 05 הוא 25

100 p

n F≥ בפעם הראשונה

.2 נמצא מתי

*

F 20  לכן המחלקה ה ר לוונטית היא )05-05(

5 . יש להציב בנוסחה הבאה :

P

f C

4 10

100 80

  

  

  

80     

  

  

  

   

100 80

X L

 

* n *



F

* 25*



18 85

(i-1)

100

כלומר 05% מהסטודנטים קיבלו ציון מתחת ל- 03 , ו- 25% קיבלו ציון מעל .03

22

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

דוגמאות נוספות (אחוזונים )

שאלה 17

להלן התפלגות ציונים בכיתה מסוימת :

x

f

F

35

2

2

65

5

3

63

3

15

05

0

10

05

5

22

05

5

23

n=25

א. מהו הציון ש 00%- מהתלמידים נמצאים מתחתיו?

ב. מהו הציון ש 63%- מהתלמידים נמצאים מעליו?

ג. מהו אחוז התלמידים שקיבלו ציון נמוך מ 65- (כולל ?)65

ד. מהו אחוז התלמידים אשר קיבלו ציון גב וה מ- 05 (לא כולל ?)05

פתרון:

א. יש ל מצוא את האחוזון ה- .00

100 p

n , 19.25 25*77/100=

.1 חישוב

*

.2 נמצא מתי F≥19.25 בפעם הראשונה

.5 מכאן: X77/100 = 80 00% – מהציונים מתחת לציון .05

ב. יש למצוא את האחוזון ה- =53%( 53 .)155%-63% נמצא את המיקום לפי :

100 p

n , 8.75 25*35/100=

.1 חישוב

*

.2 נמצא מתי F≥8.75 בפעם הראשונה

.5 מכאן: X35/100 = 65 53% – מהציונים מתחת לציון .63

ג. לפי הטבלה מעלה אפשר לראות שחמישה תלמידים קיבלו ציון נמוך מ- ,65 ובאחוזים :

.3223=25% לכן מספר התלמידים שקיבלו ציון נמוך מ- 65 מייצגים את האחוזון ה .25-

ד. לפי הטבלה אפשר לראות ש שלושה תלמידים קיבלו ציון גבוה מ- 05 , ובאחוזים :

3/25=12% .

23

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

שאלה 18

להלן התפלגות ציונים בכיתה מסוימת :

x

f

F

35-65

2

2

65-63

5

3

63-05

3

15

05-05

0

10

05-05

5

22

05-155

5

23

n=25

א. מהו הציון ש- 00% מהתל מידים נמצאים מתחתיו ?

ב. מהו הציון ש- 53% מהתלמידים נמצאים מעליו?

ג. מהו אחוז התלמידים שקיבלו ציון נמוך מ ?60-

ד. מה אחוז התלמידים שקיבלו ציון נמוך מ ?30-

ה. מה אחוז התלמידים שקיבלו ציון מעל ?30

ו. מה אחוז התלמידים שקיבלו ציון בין 30 ל- ?60

פתרון:

א. נ מצא את האחוזון ה :00-

p

100 77

.1

n

*



25*



19.25

100

.5 נמצא מתי F 19.25  בפעם הראשונה, מכאן המחלקה היא .05-05

.5 נ ציב בנוסחה של האחוזון:

P

f C

4 10

100 77

  

  

  

80     

  

  

  

   

100 77

X L

 

* n *



F

* 25*



18 83.125

(i-1)

100

ב. נמצא את האחוזון ה- :65

p

100 65

.1 16.25

n

*



25*



100

.2 נמצא מתי F 16.25  בפעם הראשונה, מכאן המחלקה היא .05-05

.5 יש להציב בנוסחה של האחוזון:

P

f C

8 10

100 65

  

  

  

70     

  

  

  

   

100 65

X L

 

* n *



F

* 25*



10 77.81

(i-1)

100

24

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

ג. נמצא את האחוזון ה מתאים לציון 60 על ידי חילוץ P מהנוסחה.

הציון 60 נמצא במחלקה 63-05 ולכן:

100 P

X



67

5 5

100 p

  

  

  

  

67 65

 

* 25*



5

p 28% 

ד. נמצא את אחוז התלמי דים שקיבלו ציון נמוך מ .30-

הציון 30 נמצא ל מחלקה 35-65 ולכן:

P 100 X 58 

10          2

p

  

58 50

 

* 25*



0

100

p 6.4% 

ה. נמצא קודם את אחוז התלמידים שקיבלו ציון נמוך מ .30-

הציון 30 נמצא ל מחלקה 35-65 ולכן:

P 100 X 58 

10          2

p

  

58 50

 

* 25*



0

100

p 6.4% 

מכאן כדי למצוא את אחוז התלמידים מעל ל 30 א ז יש למצוא את המשלים.

- 6.5% =05.6% .155%

ו. כדי למצוא את אחוז ה תלמידים שקיבלו ציון בין 30 ל- :60

יש למצוא קודם את אחוז התלמידים עד 30 ואת זה כבר מצאנו בסעיף ד', .6.5%

לאחר מכן יש למצוא את אחוז התלמידים עד 60 ואת זה כבר מצאנו בסעיף ג', .20%

כדי לחשב את א חוז התלמידים בין שני הציונים ( 30-60 ) יש לחסר בין האחוזים:

p 28% 6.4% 21.6%   

25

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

1.5 מדדי פיזור מדדי המרכז נותנים לנו תמונה כוללת שאינה תמיד משקפת את המצב בפועל. ייתכנו

התפלגויות שונות עם אותם מדדי מרכז , אך הן שונות במידת הפיזור שלהן.

דוגמה:

כיתה ( )1

X

f

05

1

05

1

05

1

n=3

כיתה ( )2

X

f

05

5

n=3

לשתי הכיתות אותו ממוצע השווה ל- 05 , אבל יש שוני בין הכיתות. כ לומר, הממוצע אינו נותן

תמונה מלאה ולכן יש לחשב גם מדדי פיזור כדי לקבל תמונה שלמה יותר לגבי ההתפלגות.

26

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

א. תחום R

ההפרש בין ה מספר המקסימלי למספר המינימלי.

נוסחה:

min - X max R=X

חישוב תחום עבור משתנה כמותי בדיד

שאלה 19

להלן התפלגות ציונים בכיתה מסוימת :

X

f

30

10

40

20

60

5

70

8

80

2

חשבו את התחום.

פתרון:

R=80-30=50

חישוב תחום עובר משתנה כמותי רציף

שאלה 11

להלן התפלגות ציונים בכיתה מסוימת :

X

f

50-60

2

60-65

3

65 -70

5

70-80

8

80-90

4

90-100

3

חשבו את התחום.

פתרון:

R=100-50=50

ככל שהתחום גדול יותר המשמעות היא שהפיזור גדול יותר. התחום הוא מדד קל לחישוב , אך

החיסרון בו שהוא מתייחס לערכים קיצוניים בלבד ו אינו מביא בחשבון את השכיחויות .

27

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

ב. שונות וסטיית תקן

מתארות את פיזור הערכים סביב הממוצע. אנו בעצם מבקשים לדעת מה המרחק הממוצע של

הערכים מהממוצע .

דוגמה:

X

f

65

1

05

1

05

1

n=3

←65 מרחק -10

←05 מרחק 5

←05 מרחק 15

אם נחבר את המרחקים ונחלק בשלוש נ קבל אפס , לכן מעלים בריבוע כדי לתקן זאת. לפי

נוסחת השונות נקבל:

n



2

i   1

 f (X X)

i

i

2

S



X

n

2

2

2

     3 (60 70) (70 70) (80 70)

2

S





X

S 66.66 2 X 

השונות מחושבת על ידי חישוב ממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע.

כאשר רוצים לחשב סטיית תקן נבצע שורש לשונות – ביטול פעולת הריבוע ש עשינו קודם.

2 x x S S  סטיית תקן

S X



66.66 8.16 

סטיית תקן מוגדרת כרמת פיזור הערכים סביב הממוצע או ממוצע המרחקים מהממוצע. ככל

שסטיית התקן או השונות גדולות יותר אזי הפיזור גדול יותר.

28

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

חישוב שונות וסטיית תקן עבור משתנה כמותי בדיד

שאלה 11

להלן התפלגות ציונים בכיתה מסוימת :

X

f

50

2

60

3

65

5

70

8

80

4

90

3

n=25

חשבו שונות וסטיית ותקן.

פתרון:

n

i   1

i X * f

i

X



n

50 2 60 3 65 5 70 8 80 4 90 3           

X





70.2

25

n



2

i   1

 f (X X)

i

i

2

S



X

n

2 = 2 ∗ (50 − 70.2) 2 + 3 ∗ (60 − 70.2) 2 + 5 ∗ (65 − 70.2) 2 + 8 ∗ (70 − 70.2) 2 + 4 ∗ (80 − 70.2) 2 + 3 ∗ (90 − 70.2) 2 25 = 112.96

= √112.96 = 10.62

29

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

חישוב שונות וסטיית תקן עבור משתנה כמותי רציף

שאלה 11

להלן התפלגות ציונים בכיתה מסוימת :

X

f

50-60

2

60-65

3

65 -70

5

70-80

8

80-90

4

90-100

3

n=25

חשבו שונות וסטיית תקן.

פתרון: ראשית יש לחשב אמצע מחלקה :

X אמצע קטע

f

55

2

62.5

3

67.5

5

75

8

85

4

95

3

55 2 62.5 3 67.5 5 75 8 85 4 95 3           

X





74.4

25

2 + 3 ∗ (62.5 − 74.4) 2 + 5 ∗ (67.5 − 74.4) 2 + 8 ∗ (75 − 74.4) 2 + 4 ∗ (85 − 74.4) 2 + 3 ∗ (95 − 74.4) 2 25

= 2 2 ∗ (55 − 74.4)

2 = 125.64

= √125.64 = 11.21

30

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

נוסחה נוספת לחישוב השונות :

n

2



f *X

i

i

2

2

i



1

S





X

X

n

כעת נחשב את השונות לפי הנוסחה השנייה ונקבל:

2

2

2

2

2

2

2 55 3 62.5 5 67.5 8 75 4 85 3 95            

2

2

S

 

74.4 125.64

x

25

= √125.64 = 11.21

מכאן סטיית התקן (שורש של השונות) היא .11.21

ג. תחום בין- רבעוני

רבעון ראשון – נסמן ב : 1 .Q הערך ש-% 23 מהמקרים קטנים ממנו או שווים לו ו-% 03 גדולים

ממנו. הרבעון הראשון הוא גם האחוזון ה- .23

רבעון שני – נסמן ב : 2 .Q הערך ש-% 35 מ המקרים קטנים מ מנו או שווים לו ו-% 35 גדולים

ממנו . הרבעון השני הוא גם החציון.

רבעון שלישי – נסמן ב: 3 .Q הערך ש-% 03 מהמקרים קטנים ממנו או שווים לו ו-% 23 גדולים

ממנו. הרבעון השלישי הוא גם האחוזון ה- .03

תחום בין- רבעוני – 1 -Q 3 .Q התחום הבין רבעונ י מ תאר את מחצית המקרים שבמרכז

הה תפלגות. הוא ההפרש בין הרבעון השלישי לרבעון הראשון.

50%

Q 1

Q 3

התחום הבין - רבעוני נותן לנו את מרכז ההתפלגות , שם נמצאים 35% מהמקרים.

31

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

שאלה 13

להלן התפלגות הציונים בכיתה מסוימת:

X

f

F

50

2

2

60

5

3

63

3

15

05

0

10

05

5

22

05

5

23

n=25

חשבו את אורך התחום הבין - רבעוני

פתרון:

יש לחשב את האחוזון ה- 03 ואת האחוזון ה- 23 ולהפחית בין התוצאות :

P

75

n

25    

18.75

100

100

F X



18.75 80 

75 100

P

25

n

25    

6.25

100

100

F X



6.25



65

25 100

X X

   

80 65 15

75

25

100

100

אורך התחום הבין- רבעוני הוא .13

32

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

1.6 סוגי התפלגויות

.1 התפלגות נורמ לית

 התפלגות סימטרית חד שיאית (שיא אחד) .

 חציון. שלושתם באותה נקודה באמצע ההתפלגות. = שכיח = ממוצע

 התפלגות היא סימטרית, כלומר תמונת ראי – כל מה שקורה מימין קורה גם משמאל .

לדוגמה : צפיפות המחלקה הראשונה שווה לצפיפות המחלקה האחרונה .

 ריכוז המקרים הוא באמצע והצפ יפות הולכת ופוחתת בקצוות בצורה סימטרית.

X ME Mo  

.1 התפלגות סימטרית אך לא נורמלית (דו שיאית)

 במקרה זה יש לנו שני שכיח ים ולכן ההתפלגות נקראת דו שיאית.

 הממוצע וה חציון שווים – שניהם באמצע ההתפלגות .

ההתפלגות סימטרית .



Mo

Mo

X ME 

33

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

.3 א- סימטרית ימנית (חיובית)

קיים ריכוז של מקרים בערכים הנמוכים וערכים קיצוניים בערכים הגבוהים , שמושכים את

הזנב לכיוון ימין (ומגדילים את הממוצע) :

X ME Mo  

Mo ME

X

.4 א- סימטרית שמאלית ( שלילית)

קיים ריכוז של מקרים בערכים הגבו הים וערכים קיצוניים בערכים הנמוכים ,

שמושכים את הזנב לכיוון שמאל (ומקטינים את הממוצע) :

X ME Mo  

ME Mo

X

34

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

1.7 גבול אמיתי וגבול מדומה

גבול מדומה הוא מצב שבו יש הפרש בין הגבול העליון של מחלקה אחת ובין הגבול התחתון

של המחלקה הבאה. במצב זה יש ערכים שאין להם מחלקה רלוונטית ולכן יש לעבור לג בול

אמיתי.

שאלה 14

להלן התפלגות של משקל בטונות של משלוחי חצץ:

שכיחות

טונות של חצץ

5

3-0

15

15-12

15

15-16

23

10-25

10

21-25

0

23-20

22

20-52

איזה אחוזון מהווה משלוח של חצץ שמשקלו 15 טונות?

פתרון:

לפני שנענה על השאל ה, נשים לב שיש "קפיצה" בין הגבולות של המחלקות. דהיינו, הגבול

העליון של מחלקה אחת אינו שווה לגבול התחתון של המחלקה הבאה, ולכן אין מחלקה

מתאימה לע רכים מסוי מים כגון .0.3 כדי לעבור מגבול מדומה ל גבול אמיתי יש לעבוד על פי

אחת משתי השיטות הבאות:

שיטה 1 : נחשב ממוצע לגבול עליון מחלקה ראשונה וגבול תחתון מחלקה שנייה

ונקבל (9+10)/2=9.5 . מספר זה ,9.5 , יהיה הגבול העליון החדש של מחלקה ראשונה והגבול

התחתון ה חדש של מחלקה שנייה. נמשיך באותו האופן גם למחלקות הבאות.

שיטה 2 : נח שב את ההפרש בין הגבולות. ב דוגמה שלנו: .15-0=1 חצי מן ההפרש ( 0.5 ) נוריד

מהגבול התחתון וחצי מההפרש נוסיף לגבול העליון של כל מחלקה .

35

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

לאחר עדכון הגבולות נקבל את הטבלה הבאה:

שכיחות

טונות של חצץ

5

5.3-0.3

15

0.3-12.3

15

12.3-16.3

23

16.3-25.3

10

25.3-25.3

0

25.3-20.3

22

20.3-52.3

שימו לב שגם הוספנו 5.3 למספר האחרון ( 52.3 ) והפחתנו 5.3 מהמספר הראשון ( ,)5.3 וזאת

משום שהשינוי צריך להיות עקבי בכל המחלקות.

כעת בטבלה ז ו לכל ערך יש מחלקה מתאימה ואפשר להמשיך ולענות על השאל ה.

איזה אחוזון מהווה משלוח של חצץ ש משקלו 15 טונות?

X

f

F

5.3-0.3

3

3

0.3-12.3

10

13

12.3-16.3

14

27

16.3-25.3

25

52

25.3-25.3

17

69

25.3-20.3

9

78

20.3-52.3

22

155

15 מתאים למחלקה 12.3-16.3 , ולכן נציב :

P

4          14

  

14 12.5

100    



13

100

P



18.25%

36

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

1.8 שינוי ליניארי כיצד ישתנו הממוצע וסטיית התקן אם מקטינים או מגדילים את כל ערכי ההתפלגות ב קבוע או

ב אחוז מסוים?

דוגמה:

להלן התפלגות הציונים בכיתה , כאשר ה מ מוצע שווה ל- 05 וסטיית תקן שווה ל- :0.16

X

f

70

1

80

1

90

1

נניח שהמרצה החליט להעלות כל ציון ב- 3% ולהוסיף 2 נקודות . כיצד ישתנה הממוצע וכיצד

תשת נה סטיית התקן?

X

f

70*1.05+2=75.5

1

80*1.05+2=86

1

90*1.05+2=96.5

1

ממוצע חדש ,06 סטיית תקן חדשה 0.30

הממוצע גדל ב : 80*1.05 +2=86

סטיית התקן גדלה ב : 0.16*1.53=0.30

כלומר הממוצע הושפע מתוספת של אחוזים ושל קבוע, אך סטיית התקן הושפעה רק מהשינוי

ב אחוזים.

תוספת של קבוע

 תוספת הורדה 2 של קבוע לכל אח ד מערכי הסדרה תגדיל תקטין 2 את הממוצע בקבוע .

 תוספת של קבוע לא תשנה את סטיית התקן או השונות – לא תשנה את ההפרשים מן

הממוצע (החדש).

הכפלה בקבוע

 הכפלה בקבוע (או תוספת הורדה 2 של אחוז ים) תכפיל גם את הממוצע פי אותו קבוע .

 הכפלה בקבוע תכפיל גם את סטיית התקן בקבוע .

 השונות תוכפל בקבוע בריבוע .

37