High-Q | מתמטיקה, 3 יחידות לימוד
24
מתמטיקה 381/802 שאלון יחידות לימוד 3
2
2020
מהדורה קיץ : שישית
כותב ועורך ראשי: אריאל אלון
ובשיתוף מורי Q High ומחלקת המחקר והפיתוח
© כל הזכויות שמורות לחברת High-Q Global אין להעתיק או להפיץ ספר זה או קטעים ממנו בשום צורה ובשום אמצעי, אלקטרוני או מכני (לרבות צילום או הקלטה) ואין ללמדו, כולו או חלקים ממנו, בשום מכון או קורס או בית ספר ללא אישור בכתב מאת המוציאים לאור.
הגביש 10 נתניה, 4250708
High-Q Global ע"מ, ב
1800-80-80-80
3
: שוואות מ
7
משוואות ממעלה ראשונה – נעלם אחד ................................ .............. משוואות ממעלה ראשונה – מערכת משוואות ................................ ...... משוואות ממעלה שנייה ................................ ................................ . משוואות ריבועיות בשני נעלמים ................................ ...................... משוואות ממעלה שלישית ויותר ................................ ....................... פונקציות וגרפים : מערכת צירים והקו הישר ................................ ............................... פרבולה ................................ ................................ ..................... קודקוד הפרבולה ................................ ................................ ......... שרטוט הפרבולה ................................ ................................ ......... תחומי עלייה וירידה של פרבולה ................................ ...................... תחומי חיוביות ושליליו ת של פרבולה ................................ ................. חיתוך בין פרבולה לישר ................................ ................................ . מקבצי חזרה על פי תרגילי המאגר ................................ ....................
31 56 87
102
107 113 121 127 136 144 154 159 169 184 187 197 200 206 209 211 213 219 228 230 235 239 249 253 255 263 267 274 286 294 296 300 304
: חזקות
חזקות בעלות מעריך טבעי ................................ .............................. ח זקות בעלות מעריך 0 ומעריך שליל י ................................ ................
המכילות חזקות ................................ ..............................
אות משוו
שורשים ................................ ................................ ....................
סדרה חשבונית : סדרה
................................ ................................ .....................
חשבונית רג
מציאת האיבר הכללי .... ................................ ................................ ......... מציאת הפרש הסדרה ו מציאת האיבר הראשון ................................ ......... מציאת מספר האיברים ................................ ................................ .......... סדרה חשבונית – שני נעלמים .. ................................ ............................... סכום סדרה חשבונית ................................ ................................ ............. סדרה חשבונית – בעיות כלליות ................................ .............................. סדרה הנדסית : ה גדרת הסדרה ההנדסית ................................ ................................ ........ מציאת האיבר הראשון ומנת הסדרה ................................ ....................... מציאת מספר האיברים ................................ ................................ .......... תכונות הסדרה ההנדסית ................................ ................................ ....... סכום סדרה הנדסית ................................ ................................ .............. סדרה הנדסית – בעיות כלליות ................................ ............................... כלל הנסיגה בסדרה חשבונית והנדסית ................................ .................... מקבצי חזרה על פי תרגילי המאגר ................................ ........................... מציאת האיבר הכללי ................................ ................................ .............
בעיות גדילה ודעיכה : בעיות
גדילה ודעיכה – הגדרות ושימוש בנוסחה ................................ ........
מציאת שיעור הגדילה או הדעיכה ................................ ...........................
................................ ................................ .........................
הזמן ת מציא
גדילה ודעיכה – בעיות כלליות ................................ ................................
................................ ...........................
תרגילי המא
מקבצי חזרה על פי
טריגונומטריה: שימוש בפונקציות טריגונומטריות למציאת צלע או זווית ........................... מ שפט פיתגורס ................................ ................................ ..................... חישוב שטח משולש ................................ ................................ ............... ישרים מקבילים ................................ ................................ .................... משולש שווה שוקיים ................................ ................................ ............. ................................ ................................ ................................ ... ................................ ................................ ................................ .... ................................ ................................ ................................ ... ................................ ................................ ................................ ...
320 323 326 332 333 339 342 345 348 357 360
ריבוע מלבן מעוין טרפז הממוצע
................................ ................................ ..............
ים משוכלל
ים מצולע
מקבצי חזרה על פי תרגילי המאגר ................................ ...........................
טריגונומטריה במרחב : : תיבה
371 375
- תרגילים חישובים בתיבה ................................ .............................. - תרגילים זוויות בתיבה ................................ ................................ ..
פירמידה :
377 380 382
- תרגילים חישובים בפירמידה ................................ ......................... - תרגילים זוויות בפירמידה ................................ .............................
מקבצי חזרה על פי תרגילי המאמר ................................ ..........................
סטטיסטיקה :
394 409 414 424 434
................................ ................................ ............................... ................................ ................................ ................................ . ................................ ................................ ................................ .
השכיח החציון
סטיית תקן ................................ ................................ ........................... מקבצי חזרה על פי תרגילי המאמר ................................ ..........................
הסתברות :
455 465
................................ ................................ .............
מאורעות חד -
שלביים שלביים שלביים
פעולות בין מאורעות – חיתוך ואיחוד ................................ ......................
דיאגרמת עץ: מאורעות דו -
467 475 485 495 498 511 512 519 525 531 538
................................ ................................ ........ ................................ ................................ ....
מאורעות תלת -
- תלות ואי תלות בהסתברות ................................ ................................ ....
חישוב הסתברות עם החזרה ובלי החזרה ................................ ................. מקבצי חזרה על פי תרגילי המאגר ................................ ...........................
התפלגות נורמלית : מאפייני ההתפלגות הנורמלית ................................ ................................ . הסתברות בהתפלגות נורמלית ................................ ................................ מציאת הממוצע ................................ ................................ .................... מציאת סטיית התקן ................................ ................................ .............. אמצי ת המשתנה הנמדד ................................ ................................ ......... מקבצי חזרה על פי תרגילי המאגר ................................ ...........................
דפי נוסחאות ומבחנים :
555 559
................................ ........................
נוסחאון מתמטיקה 3 יחידות
לימוד
מבחנים על פי התוכנית החדשה ................................ ..............................
6
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
משוואות ממעלה ראשונה - נעלם אחד
משוואות בסיסיות עם נעלם אחד בחלק הראשון של ספר זה נבצע תזכורת כיצד פותרים משוואות לסוגיהן.
דוגמה 1:
את המשוואה: 4x + 2 = 10 . בכדי לבודד את המשתנה אותו אנו רוצים לגלות (x) , עלינו להשאיר אותו "ערום ובודד" באגף אחד, ולהעביר את כל שאר המספרים לאגף השני. לשם כך, נחסר משני האגפים את המספר 2 :
פתרו פתרו פתרון:
4x 2 10 / 2 4x 8 + = − =
כדי להמשיך ולבודד את הנעלם המבוקש, עלינו לבצע חילוק . כמו בחיבור ובחיסור, מותר גם לכפול ולחלק משוואה בכל מספר (פרט לחלוקה ב - 0 , אשר איננה מוגדרת בחוקי האלגברה), כל עוד אנו מבצעים את אותה פעולת הכפל או החילוק באופן זהה בשני אגפי המשוואה .
בדוגמה שלנו, נחלק את שני אגפי המשוואה ב 4 :
להשלמת בידוד המשתנה
4x 8 / 4 x 2 = =
דוגמה 2:
את המשוואה:
( ) ( ) 2x 18 7 x 1 8 x 5 2x 3 + + + = + − +
כינוס איברים:
2x 18 7x 7 8x 40 2x 3 9x 25 6x 43 + + + = + − + + = +
נבודד את x (מימין לכל משוואה, ליד הסימן / נציין מה הפעולה אותה ביצענו על שני האגפים):
9x 25 6x 43 / 6x 25 9x 6x 43 25 3x 18 / : 3 x 6 + = + − − − = − = =
7
.
הפתרון הוא
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
דוגמה 3 :
1
) ( 1 2x 7 1 2x 4 3 + + − = )
(
:
פתרו את המשוואה
2
פתרון: פתרו פתרון:
) את שני אגפי המשוואה:
(נכפול ב -וב -
ראשית, בכדי להיפטר מהשברים שבכל אגף, נכפול ב -
2
3
6
( ) ( ) 3 2x 7 2 1 2x 24 + + − =
נכנס איברים ונקבל:
2x 23 24 + =
x
נבודד את :
2x 23 24 / 23 2x 1 / : 2 1 x 2 + = − = =
דוגמה 4:
15 10 4x 5 x = −
את המשוואה:
: ( ) x 4x 5 −
ראשית, נכפול במכנה המשותף
( ) 15x 10 4x 5 = −
לאחר שנפשט איברים נקבל: נחלץ את :
15x 40x 50 = −
x
50 40x 15x 50 25x / : 25 x 2 = − = =
.
הפתרון הוא
x 2 =
8
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
תרגילים
1 מקבץ
מצא את ∶ x
.2
x 5 8 + = .1
x 4 3 + = −
___________________
___________________
.4
x 2 7 − = .3
x 3 5 − = −
___________________
___________________
.6
2 x 8 + = .5
5 x 4 + =
___________________
___________________
.8
2x 3 x 6 + = + .7
5x 4 4x 3 − = −
___________________
___________________
12x 7 11x 4 + = + .9
9x 7 8x 10 − = − .10
___________________
___________________
מקבץ 2
מצא את ∶ x
.2
x 5 − = .1
x 1 − =
___________________
___________________
.4
x 7 − = −
x 12 − = − .3
___________________
___________________
.6
3x 5 4x 7 + = + .5
6x 4 7x 9 − = −
___________________
___________________
.8
2x 8 = .7
3x 6 =
___________________
___________________
5x 15 = − .9
4x 20 = − .10
___________________
___________________
9
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מקבץ 3
מצא את ∶ x
10x 60 − = − .1
3x 9 − = − .2
5x 7 2x 5 − = + .4
10x 3 8x 9 + = + .3
2x 8 6x + = .5
7 4x 6 3x − = − .6
12 x 6x 2 − − = + .7
.8
2x 3 4x 5x 1 − + = −
4x 3 5x 6x 7 x 20 − − = + − + .9
8x 7 12x 3 0 − − + = .10
10
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מקבץ 4 מצא את ∶ x
.1
6x 3 2x 5x 3 + + = +
3x 7 4x 7 + = + .2
.3
x 3 4x 9 3x − − = − + − .4
2x 5 4x 3 4x 8 − − = − +
.5
6 4x 7 8x 10 2x 4x 3 − + + = − − + .6
10 x 4x 7 6x 13 x − − = − + − −
.7
x 2 3x 4 x 10 7x 28 2x − − − + = − + − − .8
12x 10 4x 12 3x 15 3x 7 3x − − + = + + + +
.9
7x 8 4x 8 + = − .10
3x 9 x 12 + = +
.11
x
7 x x + = − + − 20 2
6 2x 5 x 3x 25 x 3 − − + = + + − .12
11
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
6 x 1 4x x 11 − + − = + .14
6x 7 8x 15 4x 3 + + = + − .13
8x 3 7x 5 4 5x 10 − + − = − − .15
12
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
פתרונות
מקבץ 1
5
4
3
2
1
שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה
6
9
7 −
3
2 −
10
9
8
7
6
3 −
3 −
3
1
1 −
מקבץ 2
5
4
3
2
1
7
5 −
2 −
12
1 −
10
9
8
7
6
5 −
3 −
5
2
4
מקבץ 3
5
4
3
2
1
6
3
6
2
4
10
9
8
7
6
5 −
2 −
1 −
2
1
מקבץ 4
5
4
3
2
1
0
0
3
8
2
10
9
8
7
6
1
1
−
5
1
20 −
0
4
3
2
15
14
13
12
11
1 10
2 3
1 2
1
1
−
−
4
3
5
4
13
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
- תרגילים משוואות עם סוגריים
מצא את ∶ x
( ) ( ) 2 10 x 12 2x x 1 − − − = + .1
( ( ) 3 2x 5 3 7 x 10 1 x − + − − = − − .2 ) ( )
( ( ) 2 3 7 x 6 1 5 3x 1 11x + − + − = − − .4 )
( ( ) 7 x 6 2 12 2x 10 3 x 5 2x 5 − − − − + = − + − .3 ) ( )
( ( ) 6x 2 3x 4 3 x 4x 2 x − − − = − − .5 )
(
)( )( ) x 1 x 5 x 13 x 2 − + = + − ) (
.6
( )( ) x x 11 3 x 2 x − = − − .7 ) (
( ) ( ) x x 3 x x 3 + = − .8
14
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
( ) 2 x 1 10 x 10x x 1 + − = − + .9 )(
( ) ( ) x 5 x 3 x x 6 5 + + = + + .10 )(
פתרונות
מקבץ 1
5
4
3
2
1
שאלה תשובה שאלה תשובה
1
7
9
2 −
2
1
2
10
9
8
7
6
5 −
9
0
3
1 −
15
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
תרגילים - משוואות הכוללות נוסחאות כפל מקוצר בפתרון המשוואות הבאות ניתן להיעזר לצורך פתיחת הסוגריים בנוסחאות הכפל המקוצר:
) 2 2 2 a b a 2ab b + = + +
2 2 2 a b a 2ab b − = − +
(
(
)
)( ) 2 2 a b a b a b + − = −
(
מקבץ 1 מצא את ∶ x
2 2 x 1 x x 4 + = + + .1
( 2 x 3 x x 5 4 − = − + .2 ) ( )
(
)
( ) ( 2 x 2 x 2 5x 12 + = − + − .3 ) 2
(
)( )( ) x 4 x 4 x 3 x 3 7x + − = + − − ) (
.4
2 x 1 x 1 10 x 3 + − + = + .5
)( ) 2 x 2 x 2 x 2 0 + − − − = ) (
.6
(
)(
)
(
)
(
) ( 2 x 3 x 3 x 3 0 + − + − = )( )
2
2 x x 1 3 x 2 3 − − = − +
.7
.8
(
(
)
(
)
( ) ( 2 5 x 8 x 3 x 7 x 1 − − − − = + .9 )( ) ( )
( ) ( ) x 6 x 6 x 5 x 5 3 x 4 1 + − − − + − − = .10 )( ) ( )(
16
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
2 2 2 x 5 2 6 x x 1 − − − = − .11
( 2 5 x 1 3 x 1 2 x 4 2x + − − = − + .12 ) ( ) ( ) 2 2
(
)
(
)
( ) ( ) 3 x 4 x 4 2 x 2 x 2 x x 2 + − − + − = + .13 )( ) ( )(
( ( ) 10 x 5 x 5 7 x 6 x 6 3x x 1 17 0 + − − + − − + − = 14. )( ) ( )( )
2 2 5 x 3 2 x 3 3 x 3 x 3 54 + − − − + − = .15
(
)
(
)
(
)(
)
פתרונות
מקבץ 1
5
4
3
2
1
שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה
0
5
3
4 −
1
10
9
8
7
6
0
3 −
1 −
2
2
15
14
13
12
11
0
5 −
20 −
7
1
17
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
- תרגילים משוואות עם מכנה - מספר ונעלם
מקבץ 1
x x
2x 4x 3 6 + = .2
− =
2
4
.1
2 4
8x x
x
x
x 4 + − =
5
− = −
5
.3
.4
2
3 6
x x
x
3x
3x 2 + = +
17
− = −
x 29
.5
.6
5
10 15
x x x
x x x x
+ + =
14
− + − + =
3 0
.7
.8
2 4 8
4 3 2 6
3x
x
(
)
(
)
= − −
2 x 3 1
= −
3 x 15
.9
.10
5
2
18
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מקבץ 2
9x
2x
(
)
(
)
+ = −
1 5 4 x
3x 4 x 2 3 7 + = − + .2
.1
2
x 3 x 2 2 7 − + =
x 2 x 3 10 5 + − =
.3
.4
5x 7 7 x 6 4 + + =
2x 10 9 5x 12 18 − − =
.5
.6
x 1 5 x x +
− − = −
3x 4 x 4 2 + − 8
2
+ = −
2x 6
.7
.8
5
2
x 4 x 4 x + −
7 x x 4 x 2 5 − − + − = + 3 2
− = −
5
6
.9
.10
7
3 2
19
מקבץ 3
2 x 2 3 x 3
9 x 2x 6 3 x
.2
.1
x 3
5
6
9
3
5
4
4 2x 3 8 4x x
.4 3 2 x 1 x x 6
.3
11
x
4 5
3
5
2 3
1 1 x 3 x 3 4 7
x 10 x 3 3x 2
6 x
x 5 1
.5
.6
6
5
2
4
20
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
x 4 3x 12 8 x 5x 28 + + − +
9 x 4x 6 7x 33 12 5x 1 3 2 11 6 − + + − − + = −
.8
.7
−
− +
=
0
16
8
3
2
(
)
4 5 x 5x −
10x 7 1 x 5 x x 7 6 2 3 12 8 − − + + = − +
x 18 −
.9
.10
(
)
x
−
x 2
x 3 = − − −
+ +
7
2
5
21
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מקבץ 4
10
8
=
2
x = .2
8
.1
x
14
16
=
7
= −
4
.3
.4
x
x
12
5 1 x 2 =
= −
2
.5
.6
x
3 3 x 4 =
4 1 x 4 =
.7
.8
8 2 x 3 =
16 4 x 5 = −
.9
.10
22
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מקבץ 5
10
5
− =
5 0
x − = .2
10 0
.1
x
x 3
x −
x 7
x +
=
2
=
0
.3
.4
6 4 1 1 x x 2 x − + =
10 1 3 3x 3 x − =
.5
.6
7 1 6
9 1 1 3 2x 2 x + =
− = −
1
.7
.8
2x 6 x
12 7
1
8 x −
11 1
1 5x 2x 10x + = −
2 + = +
.9
.10
3x
2x 4
23
פתרונות
מקבץ 1
5
4
3
2
1
שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה
10
9
8
7
6
מקבץ 2
5
4
3
2
1
8
5
7
1
2
10
9
8
7
6
3
10
2
4
1
מקבץ 3
5
4
3
2
1
1
9
7
3
16
1
2
10
9
8
7
6
0
2
1
4
2
24
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מקבץ 4
5
4
3
2
1
שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה
6 −
5
4 −
2
1
10
9
8
7
6
16
10
20 −
12
4
מקבץ 5
5
4
3
2
1
1 2
7
3
2 −
2
10
9
8
7
6
6
3
2
1 −
1
25
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
משוואות עם מכנה המכיל ביטוי
- תרגילים
מקבץ 1
11 x x 4 − −
10 x x 2 −
= −
2
=
1
− .2
.1
2x 7 2x 11 + −
3x 15 25 2x − −
=
3
= −
3
.3
.4
12 2 x 6 3 = − −
10 2 1 7 x 3 = −
.5
.6
8 1 3x 1 2 = +
6 2 x 2 x = +
.7
.8
12 18 x 1 x = −
8 5 x 11 2x = +
.9
.10
26
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מקבץ 2
12 8 x 7 3x = +
18 9 3x 4 2x = −
.2
.1
8 20 x 2 x 5 = + +
12 4 x 5 x 1 = − −
.3
.4
3 7 x 3 x 1 = − +
10 18 x 1 2x 1 = + +
.5
.6
3 6 2x 7 3x 4 = − −
x 11 x 5 x 3 x 1 + + = + +
.7
.8
8 x x 6 3 x x 2 − − = − −
x 20 x 12 2x 5 2x 3 + − = + −
.9
.10
27
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
פתרונות
מקבץ 1
5
4
3
2
1
שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה
6
3 −
10
20
12 −
10
9
8
7
6
5
3
5
1
1
מקבץ 2
5
4
3
2
1
6
0
2
4 −
1 −
10
9
8
7
6
10
0
4
2 −
1
28
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
- תרגילים משוואות עם ביטויים במכנה הדורשים הוצאת גורם משותף
מקבץ 1
x 5 3x 7 x 1 2x 2 + + + + +
12 5x 7 x 2 3x 6 − − − −
=
4
=
2
.2
.1
3x 7x 6 x 1 5x 5 + + − −
x 7 8 x 2x 4 3x 6 + − + + +
=
6
=
10
.3
.4
2x 3x 10 x 8 8 x − + − −
6 x 3x 2 1 x x 1 − + − − −
=
4
=
0
.5
.6
2 10 10
12 x x 6 x 3 6 2x − + − − −
− =
0
= −
5
x 1
+ +
.7
.8
x x
6
1
2 3x 2 4 x 2x + +
x 5 − = −
0
x 2 − = +
0
2
.9
.10
x 5x −
29
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
פתרונות
מקבץ 1
5
4
3
2
1
שאלה תשובה שאלה תשובה
5
3
2
10
1 −
10
9
8
7
6
2 3
6
0
2
−
1
30
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מערכת משוואות
משוואות ממעלה ראשונה -
שיטת ההצבה בדרך פתרון זו, אנו מבטאים את אחד הנעלמים באמצעות הנעלם השני, ופותרים משוואה בנעלם אחד. שלבי הפתרון הם: .א נ בחר באחת ממשוואות המערכת, ו נ בטא בה את אחד הנעלמים באמצעות הנעלם השני. למשל, אם בחרנו לבטא את y במונחים של x , נתייחס אל y כאל הנעלם ואל x כאל הפרמטר במשוואה. .ב יצנ ב את ערך הנעלם שבודד -ב נו א' לתוך המשוואה השנייה. קיבלנו משוואה בנעלם אחד. נ פתור אותה עבור נעלם זה. . ג לכל פתרון שמצא -ב נו ב' יצנ ב את ערכו בביטוי שקיבל -ב נו א' , כדי למצוא את הערך המתאים של המשתנה השני במערכת.
דוגמה: רו פת
את מערכת המשוואות :
2 9 3 4 16 x y x y + = + =
פתרון: .א
נחלץ את y ממשוואה I :
y
9 2 x = −
ב נציב משוואה II :
.ב
( ) 3 4 9 2 16 x x + − =
ונפתור עבור x :
3 36 8 16 x x + − =
5 20 x − = −
x =
4
נציב את הפתרון שמצאנו בביטוי שקבלנו ב א': -
. ג
9 2 9 2 4 1 y x = − = − =
הפתרון שקבלנו למערכת הוא:
x
4, y = =
1
מסמנים אותו כ - ( , ) = (4,1)
31
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
שיטת השוואת מקדמים
גם בשיטה זו נביא את המערכת למצב שבו אחת המשוואות מכילה נעלם אחד בלבד. בשיטה שנתאר כאן ניצור שוויון במקדמי אחד הנעלמים בשתי המשוואות, ונחבר או נחסר את המשוואות במערכת זו מזו על מנת לקבל משוואה בנעלם אחד.
שלבי הפתרון הם:
.א נסדר את המשוואות, כלומר נמקם את כל הנעלמים באגף אחד ואת המספרים באגף שני. .ב נבצע פעולות על אחת המשוואות או על שתיהן על מנת להשוות את המקדמים של אחד הנעלמים בשתי המשוואות. . ג נחבר או נחסר את המשוואות (עפ"י סימני המקדמים שהשווינו) ונקבל משוואה שלישית בנעלם אחד. נפתור את המשוואה עבור נעלם זה. .ד את הפתרון שמצאנו נציב באחת ממשוואות המערכת המקורית, ונפתור על מנת למצוא את ערכו של הנעלם השני במערכת עבור פתרון זה.
דוגמה: רו פת
את מערכת המשוואות:
1
(
)
( − + = − + + ) ( 3 3 2 5 1 2 4 x y ) 5 + = − 3 7 x y y y x
ון: פתר
. 15 3 . 6 15 3 8 2 6 7 I x y y II x y y x + = − − + = − + +
נ מקם את כל הנעלמים באגף אחד ואת המספרים באגף שני:
. I x y II x y + =
4 15 . 8 23 10 − =
קבלנו את המשוואות:
4 15 8 23 10 x y x y + = − =
32
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
בשתי המשוואות על ידי הכפלת המשוואה הראשונה ב - 8 :
נשווה את המקדמים של
8 32 120 8 23 10 x y x + = − =
י נחס ר את המשוואה השנ י יה מהראשונה:
. 8 32 8 23 120 10 III x y x y + − + = −
נפתור את המשוואה :
55 110 y =
y =
2
נציב את ערך הפתרון שמצאנו למשוואה I ונקבל:
4 15 x x + = + = = 4 2 15 x y
7
הפתרון למערכת הוא: (7,2) .
33
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
תרגילים
מקבץ 1 פתרו את מערכות המשוואות הבאות בעזרת שיטת ההצבה:
.1
.2
x y 8 3x 2y 9 + = − =
5x 2y 0 y 5 + = = −
.3
.4
x y 5 2x 3y 20 + = − =
x y 1 2x 5y 23 − = + =
.5
.6
− = − + =
x y 2 4x 3y 20
2x y 23 3x 4y 18 + = − =
.7
.8
− = − + =
x 2y 5 8x 5y 2
+ =
x 4y 15 2x 3y 15 + =
.9
.10
5x y 8 3x 2y 10 − = − + = −
7x y 19 6x 2y 2 + = − =
34
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מקבץ 2
.1
.2
2x y 1 8x 3y 5 − − = + = −
x 2y 18 2x 3y 29 − + = − = −
.3
.4
− − =
x y 0 6x 5y 55 − =
2x 3y 9 5x 4y 12 + = + =
.5
.6
3x 5y 21 2x 3y 14 − = + =
6x 5y 16 7x 3y 1 + = − =
.7
.8
4x 3y 18 5x 7y 1 + = − =
9x 4y 3 11x 3y 20 + = − − =
.9
.10
3x 13y 1 4x 9y 7 − = − = −
5x 4y 14 8x 3y 2 + = + =
35
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
3 מקבץ
.1
.2
6x 7y 4 12x 5y 28 − = − − =
13x 4y 7 5x 3y 20 + = − = −
.3
.4
4x 5y 0 3x 2y 7 + = + =
5x 6y 0 8x 3y 63 − = + =
.5
.6
= + = −
y 2x 15 y 3 x
17x 11y 0 15x 7y 0 − = + =
.7
.8
= + = −
y 7x 1 y 10x 2
= + = −
y 2x 15 y 3 x
.9
.10
= + = −
y 7x 1 y 10x 2
= − = −
y 13x 12 y 5x 4
36
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מקבץ 4
7x 2y 36 5x 4y 4 + = − =
2x 5y 22 3x y 7 − = − − = −
.2
.1
5x 2y 27 2x 6y 42 − = − =
3x 11y 15 6x 5y 30 + = − =
.4
.3
2x 3y 1 5x 2y 7 + = − − =
9x 2y 18 11x 5y 22 − = + =
.5
.6
4x 7y 8 5x 9y 10 + = −
5x 3y 24 9x 4y 15 + = − =
− + = .8
.7
5x 4y 26 7x 6y 48 − = + =
7x 10y 23 3x 13y 25 + =
− − = .9
.10
37
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מקבץ 5 פתרו את מערכות המשוואות הבאות בעזרת שיטת השוואת מקדמים:
10x 7y 24 7x 6y 19 + = + =
3x 7y 33 8x 4y 88 + = − =
.1
.2
9x 8y 19 7x 6y 15 + = + =
13x 11y 2 12x 5y 7 − = − =
.3
.4
7x 5y 3 6x 9y 21 − = − = −
10x 7y 17 15x 13y 28 + = − + = −
.5
.6
5x 9y 28 3x 7y 8 + = − = −
11x 6y 0 3x 10y 0 − = + =
.8
.7
20x 9y 7 15x 17y 66 − = − + =
12x 19y 215 18x 13y 115 + = − =
.9
.10
38
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מקבץ 6 פתרו את מערכות המשוואות הבאות:
5x y 10 4x y 8 − = − + = −
4x 3y 7 x 3y 2 + = − = − .2
.1
5x 2y 7 2x 3y 1 − = + = −
5x 3y 15 9x 8y 40 + = − = −
.3
.4
= − + = − .6
y x 5 y 3x 3
11x 12y 7 15x 9y 12 + = + =
.5
x y − = − + = − 2 4 x y 1
2 x
y x 3 y 2x 4 = −
= + .7
.8
(
)
( ) 4 y 1 x y 3 x 6 y 1 9 x − + = − + + = − .10
2x y 3 4x 2y 6 + = + =
.9
39
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מקבץ 7 פתרו את מערכות המשוואות הבאות באיזו שיטה שתבחרו.
2x 3y 4 x 2y 2 x y 5x 3 + − = − +
10x 3y 10y 16 y 8 4x 2 + = +
+ = − .1
+ = − .2
(
)
( ) 8y 5x 5 10 13y 2 x y 5 y 3x − + = + + + = −
( ) x 2 y 1 8 5 x 2 3y 12 + − = − + =
.3
.4
( ) ( ) 3 x 5 4 y 3 0 x 2x y 8 0 − + + = ) (
( ) ( ) ( ) 7 x y 3 y x 0 5 x 3 2 y 3 0 − + − = − + − = ) (
− − + = .5
.6
(
)
(
)
( ) x y 6 y 2 3y x 9 x 2 − + = − − − = −
( 5 x y 3 x 3 8 x y 7 5 + − = + − + − = + − − ) ( ) ( ) 3x 7 y 4 2y x
.7
.8
(
)
( ) ( ) ( ) 2 x 4 3 y 8 50 5 x y 2 x y 32 + + + = + − − = ) (
( ) 4x 3 x y 2 3y 5 x y 1 x 23 − + = − − + = +
.9
.10
40
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
( (
)
(
)
) 5 x 2y 4 18 3 2x y 1 1 − + = − + − + − = + + − ( ) 3 x 4 13 14x 17y 1
( ) 10 4x 3 y 3 13 y x y 2 2x y 5 7 0 − − + = + + − − − − = .21
.11
(
)
( ) ( ) x 4y x 1 2 y 1 2 0 7x 8y x 2 10 y 1 21 0 + − + − + + = − − − − − − = .41 ) ( ) (
( ) 8x 5y 3 2y 5x y 2 y 11x 3 6x y 4x 35 − + − = + − − = + ) (
.13
41
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מקבץ 8
( + − = ) x 2 y 5 4 8x 5 y x 8 + − + = 0 3
x y
+ =
2
.2
+ = .1
2 3 x y 5
x y
x y 6 x y 5 2 3x y 6 3x y 12 8 + + + = + − − =
+ =
7
3 2 x y + =
7
.3
.4
2 6
42
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
x y 2 −
1 + = − − 2x y 5
1 1
y 1 x = + = y 2x
3 3
2 2
=
0
.5
.6
9
3x y 4 x 8 4 2 2x 1 x y x 1 10 4 8 2 − + = − − − − = − 2
x y 6 x y 5 2 3x y 6 3x y 12 8 + + + = + − − =
.7
.8
43
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
4x 2y
+ +
x 6 y 4
− =
2
+ = +
x 5
2 =
7 9 y x 8 − +
4
x y 6 4
=
5
.9
.10
2
44
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מקבץ 9
.1
.2
( + + = ) x 7 y 9 3 2 x 2 y 3 1 2 3 + + =
x y 1 3 4 4 x 2 y 1 2 5 3 5 + = + − + =
.3
.4
x y 2 −
x y x y 10 30 + −
1 + = − − 2x y 5
=
3 3
3x y +
2x y + =
=
0
9
5
45
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
3x 6y +
y x 10 −
1 y x =
5 − = −
.5
10
2 15 17x 4y −
3 1 y x 1 2
.6
= −
4x y 10 − + =
3
.7
.8
1 y x 4 3 5 y x 10 6
1 y x 6 2 3 y x 4 4
= + = +
= + = +
46
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
2 4
y x 5 = + = −
.9
.10
1 1
y 1 x = + = y 2x
7 7
2 2
1 1
y 2 x 4
4 4
47
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מקבץ 10
.1
.2
2 3
6 7
+ =
2
x y 9 7 + = − x y + = −
5
x y 4 3 − = x y
1
4
.3
.4
8 9
2 3
+ =
4
+ =
5
x y 16 15 + = x y
x y 7 5 − = x y
7
2
48
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
.5
.6
7 8 + = + − − = + − x 1 y 1 11 8 x 1 y 1
7
9
15
+
=
16
+
3x 1 7y 1 8 15 +
3
+
=
23
+
3x 1 7y 1 +
6
4x y 12 + = + =
7
8 + = − = x 12
7y 2
5x
11
9y 3
.7
y
.8
x
49
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
10 5
10 5
− =
1
+ =
3
=
x y
x y 1 y x 1 +
= −
x y
.9
.10
50
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מקבץ 11
.1
.2
15 8 − = − + − = − − + x 4 y 3 5 12 x 4 y 3
10 12 + = + + − = + + x 1 y 2 15 18 x 1 y 2
11
4
1
0
.3
.4
7 + = − + − = − − + 8 1 x 6 y 4 5 3 x 6 y 4
15 7 + = − + − + = − + − x 1 y 2 6 5 x 1 y 2
2
8
3
51
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
6
15
x
+ =
5
10x y 25 + = 11x y − =
17
y 6 − = x y
.5
.6
1
27
.7
.8
7 + = −
4 3
3y 2
+ =
4
4x 1 4
x y x 4y 0
− =
+ =
5y 11
−
4x 1
.9
.10
6 5
10 7
+ =
2
− =
0
+ =
x y y x 1
x y x y 17
= −
52
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
פתרונות
מקבץ 1
5
4
3
2
1
שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה
(
)
(
)
(
) 2, 4
(
) 4, 3
(
) 5, 3
7 ,
2 −
2,
5 −
10
9
8
7
6
(
)
(
) 1, 2 −
(
) 2, 5
(
) 3, 3
( ) 10, 3
2, 2 − −
מקבץ 2
5
4
3
2
1
(
)
(
) 4, 7 −
(
) 7, 0
(
) 0, 3
(
) 1, 1 −
5,
5 −
10
9
8
7
6
(
) 2, 6 −
(
) 1, 2
(
)
(
)
(
) 3, 2
4, 1 − −
1,
3 −
מקבץ 3
5
4
3
2
1
(
)
(
) 1, 5 −
(
) 0, 0
(
) 6, 5
(
) 4, 4
5,
4 −
10
9
8
7
6
(
) 1, 6 −
(
) 1, 8
(
) 4, 7 −
(
) 1, 1
(
) 3, 5
מקבץ 4
5
4
3
2
1
(
)
(
) 1, 4 −
(
)
(
) 5, 0
(
) 4, 4
3,
6 −
1,
1 −
10
9
8
7
6
(
) 6, 1
(
)
(
) 2, 0 −
(
) 3, 3
(
) 2, 0
9,
4 −
53
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מקבץ 5
5
4
3
2
1
שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה
(
)
(
) 1, 2
(
) 4, 5
(
) 1, 1
( ) 11, 0
3,
1 −
10
9
8
7
6
(
) 0, 0
(
)
(
) 1, 3
( ) 10, 5
(
) 2, 2
1, 1 − −
מקבץ 6
5
4
3
2
1
1 −
(
) 0, 5 −
(
) 1, 1 −
( ) 1, 1
(
) 2, 0 −
1,
3
10
9
8
7
6
אינסוף פתרונות
(
) 1, 2 −
(
) 7, 10 − −
( ) 2, 3
אין פתרון
מקבץ 7
5
4
3
2
1
(
)
(
) 1, 0 −
(
) 2, 4
(
) 3, 2
(
) 1, 1
5,
3 −
10
9
8
7
6
(
)
(
) 6, 2
(
) 4, 4
( ) 10, 3
(
) 3, 3
2,
2 −
14
13
12
11
(
) 3, 0.5
(
) 0, 7
(
)
(
) 0, 0
1, 2 − −
54
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
מקבץ 8
5
4
3
2
1
שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה שאלה תשובה
( ) 6, 7
( ) 1, 3
( ) 1, 1
( ) 2, 3
(
) 12, 6
10
9
8
7
6
( ) 1, 2
(
) 3, 2 − −
( ) 7, 9
( ) 1, 3
(
) 12, 10 − −
מקבץ 9
5
4
3
2
1
(
) 0, 1
(
)
( ) 10, 20
(
) 0, 0
(
) 6, 7
2,
3 −
10
9
8
7
6
(
) 1, 2
(
) 5, 7
(
) 12, 0 −
(
) 8, 10
(
) 6, 2
מקבץ 10
5
4
3
2
1
( ) 0, 2
( ) 1, 1
( ) 8, 3
(
) 3, 1 −
( ) 2, 3
10
9
8
7
6
( ) 5, 4
( ) 5, 5
( ) 4, 0
( ) 0, 0
( ) 1, 2
מקבץ 1 1
5
4
3
2
1
(
) 2, 1
(
)
(
)
(
) 3, 3
(
) 4, 4
5,
3 −
5,
1 −
10
9
8
7
6
(
) 4, 1
( ) 10, 7
(
) 6, 5
(
) 0, 3
(
) 2, 5
55
381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה
משוואות ממעלה שנייה
באופן כללי, משוואה ממעלה שנייה (ריבועית) תהיה בתצורה הבאה:
2
ax bx c + + =
0
כאשר , , הם מקדמים מספריים ו -
הוא הנעלם שאת ערכו מחפשים.
דוגמה:
רשום לגבי המשוואות הריבועיות הבאות את המקדמים , .-ו
2 4 3 7 0 x x + + = 2 1 9 0 bx x + − = 2 7 0 x x − =
.א
.ב
. ג
פתרון: מציאת
מקדם של 2 ,
= 7 .
מספר חופשי ולכן: = 4 , = 3 ,
מקדם של 3 ,
.א
,
,
.ב
b = − 1 c =
a =
9
5
−1 ∙ 2 ולכן : = −1 , = 7 , = 0
− 2 הוא
. המספר החופשי אינו מופיע.
הביטוי
. ג
במשוואה ריבועית:
כלומר הפתרון הראשון הוא
למשוואה ריבועית ייתכנו לכל היותר שני פתרונות, אשר נהוג לסמן אותם כ - 1,2 ,
1 והפתרון השני הוא 2 (אין חשיבות לסדר הפתרונות). הנוסחה למציאת שני הפתרונות הללו נקראת נוסחת השורשים :
2
4 2 b b ac
a − −
x
=
1,2
, ולפתרון השני ( 2 ) נשתמש בסימן . −
משמעותו שלפתרון אחד ( 1 ) נשתמש בסימן
- סימון ה
+
למשוואה ריבועית ייתכנו 3 מצבים (ראו הרחבה בספר 801 :)
2 4 0 b ac −
1 . יש שני פתרונות - הביטוי שבתוך השורש הוא מספר חיובי:
2 4 0 b ac − =
2 . יש פתרון יחיד - הביטוי שבתוך השורש שווה ל -0 :
2 4 0 b ac −
3 . אין פתרון - הביטוי שבתוך השורש שלילי:
56
Made with FlippingBook - Online catalogs