הקריה האקדמית אונו | סטטיסטיקה למנהל עסקים

סיון ריף ǀ שרבל שוקייר

סטטיסטיקה למנהל עסקים

51. מ שפט הגבול המרכזי ה הסקה ממדגם לאוכלוסייה עצמה מתבססת על החוקיות של משפט הגבול המרכזי, המתייחס להתפ לגות ממוצעי המדגמים סביב התוחלת . נניח משתנה מסוים X עם תוחלת µ ושונות ỽ 2 . אם לאוכלוסייה עצמה של משתנה זה היינו

מוציאים את כל המדגמים האפשריים באותו גודל ,n וזאת כאשר n גדול מספיק ( n≥30 ), דהיינו

מחשבים שוב ושוב את הממוצע וסטיית התקן לווריאציות שונות של מדגמים, נקבל שהממוצע

של ממוצעי המדגמים שואף לתוחלת של ההתפלגות באוכלוסייה, כלומר ל ,µ- וסטיית התקן

של ממוצעי המדגמים , הנקראת טעות תקן , שווה ל: n  .

כלומר, התפלגות ממוצעי המדגמים שואפת להתפלגות נורמלית ומתקיים:

2

כאשר  הוא הממוצע ו: 2 n

 היא השונות

̄ ∼ ( ,

)

אם מתקיימים התנאים הבאים ( מספיק קיום של תנאי אחד :)

מדגם גדול מספיק )n≥30(

.1

או

מתפלג נורמלית

X

.2

ציון התקן של ממוצע המדגם X לפי משפט הגבול המרכזי הוא:

X

 



Z



X

n

שאלה .

א. נניח שהגיל באוכלוסייה מסוימת מתפלג נורמלית כאשר µ3=µ וסטיית ה תקן באוכלוסייה

היא .2µ מהי התפלגות ממוצעי המדגמים בגודל n=100 ?

ב. באמצעות שימוש במשפט הגבול המרכזי חשבו את אחוז המדגמים שבהם ממוצע המדגם

קטן מ- .22

פתרון:

א. לפחות אחד מהתנאים מתקיימים (המשתנה מתפלג נורמלית והמדגם גדול מ )=µ ולכן:

20 20

ממוצע הממוצעים שווה ל : µ3=µ , טעות התקן שווה ל :

 

2

10

100

2 ~ (30, 2 ) X N

ולכן:

203