High-Q | יסודות אלגבריים לבגרות במתמטיקה

מציאת שורשי המשוואה הריבועית

2

פירושו מציאת שורשיה של המשוואה, שהן

פתרון המשוואה הריבועית

ax

bx c   

0

2

.

נקודות ההתאפסות של הפונקציה

y

ax bx c   

2

שקול למציאת אותם ערכים של x ,

כלומר, פתרון המשוואה הריבועית

ax

bx c   

0

- שווה ל 0 . או במילים אחרות, פתרון משוואה ריב ועית שקול למציאת

שעבורם ערכו של y

אותן הנקודות בהן חותך גרף הפונקציה הריבועית את ציר ה x- . מתוך ההצגה הגרפית ניתן לראות כי יתכנו שלושה מקרים שונים: א.

כאשר קיימות שתי נקודות חיתוך עם ציר x יש למשוואה שני פתרונות. כאשר קיימת נקודת חיתוך אחת (נקודת השקה) עם ציר x יש למשוו אה פתרון

ב.

אחד.

כאשר הפרבולה אינה חותכת כלל את ציר x למשוואה אין פתרון.

ג.

פתרון המשוואה הריבועית

2

a  ) היא:

ax bx c    (

הנוסחה לשורשי המשוואה הריבועית

0

0

2

4 2 b b ac a 

 

x



1,2

2

2

4 b b ac

4 b b ac

  

  

כאשר :

x

x



,



1

2

a

a

2

2

הנוסחה נקראת נוסחת השורשים . 1 2 , x x הם שני הפתרונות האפשריים של המשוואה. אלו הן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x- , הנקראות, כאמור, שורשי המשוואה. כפי שראינו, מספר השורשים (הפתרונות) למשוואה הריבועית נקבע על פי סימנו של הביטוי 2 4 b ac  . ביטוי זה מכונה הדיסקרמיננטה של המשוואה הריבועית, ומסומן על ידי:

2 4 b ac   

נסכם את מה שנאמר עד כה:

2

2

.

היא הדיסקרמיננטה של המשוואה

ax

bx c   

b

ac

0

 



4

מספר הפתרונות למשוואה נקבע על ידי סימן  : 1.

כאשר 0   יש למשוואה שני פתרונות שונים:

2

4 2 b b ac

a   

x



1,2

כאשר 0=  יש למשוואה פתרון אחד(זהו מ קרה פרטי של 1:)

2.

b



x

x  

1

2

a

2

כאשר 0   אין למשוואה פתרון.

3.

34