High-Q | יסודות אלגבריים לבגרות במתמטיקה

משוואות ריבועיות

מהי מ שוואה ריבועית? מעלת המשוואה היא החזקה הגבוהה ביותר בה מופיע הנעלם במשוואה. משוואה לינארית היא משוואה מהמעלה הראשונה. משוואה ריבועית היא משוואה מהמעלה

השניה. הפוכה).

2

3

היא משוואה ריבועית בנעלם x (a -ו b הם פרמטרים).

המשוואה

1. 2.

x

2 ax b   

3

0

3

המשוואה 8 x  איננה משוואה ריבועית, אלא משוואה מהמעלה השלישית. בפרק זה נלמד לפתור משוואות ריבועיות, ונכיר את תכונות הפונקציה הריבועית כמו גם את תכונות שורשי המשוואה הריבועית .

הצורה התקנית של משוואה ריבועית

בכדי לפת ור משוואה ריבועית, נביא אותה תחילה לצורתה התקנית הנראית כך:

2

ax bx 

c  

0

a, b, c הם מספרים קבועים או ביטויים המכילים פרמטרים, אך אין הם מכילים את הנעלם x . הם נקראים מקדמי המשוואה הריבועית.

דוגמאות:

2

2             2 3 7 4 0 x x 3, 7, 4 (3 1) 4 7 3 0 a      b c m x mx m

2

3 1, a m b m c m    4 , 7 3

השלב הראשון בפתרון משוואה ריבועית הוא הבאת המשוואה לצורתה התקנית. כאמור, יכולים מקדמי המשוואה הריבועית להכיל פרמטרים, כל עוד אינם תלויים בנעלם. אנו מניחים בכל המשוואות הריבועיות כי 0 a  , שאילמלא כן היתה המשוואה משוואה לינארית.

תאור גרפי

הפונקציה הריבועית מתארת פרבולה במישור xy . לפרבולה זו תהיה נקודת מינימום או נקודת מקסימום בהתאם לסימנו של המקדם a בפונקציה, הוא מקדמו של 2 x . אם 0 a  לפרבולה תהיה נקודת מינימום (פרבולת מינימ ום הנקראת גם פרבולה ישרה) , ואם 0 a  לפרבולה תהיה נקודת מקסימום (פרבולת מקסימום הנקראת גם פרבולה 2 y ax bx c   

y

y

x

x

פרבולת מקסימום (הפוכה)

פרבולת מינימום (ישרה)

33