High-Q | יסודות אלגבריים לבגרות במתמטיקה

מערכת משוואות לינאריות

מערכת משוואות לינאריות היא מערכת של שתי משוואות לינאריות או יותר שמעורבים בה שני נעלמים או יותר שנסמנם באותיות הלטיניות x , y , z... . אנו נעסוק במערכת של שתי משוואות בשני נעלמים ( x , y .)

דוגמאות:

2 5 7 2 x y x y     

1.

 

היא מערכת של שתי משוואות לינאריות בשני משתנים.

2 3 30 x y xy   

7

2.

איננה מערכת לינארית של משוואות.

 

המערכת הנתונה אינה לינארית כיוון שבאחת המשוואות נתונה המכפלה של שני הנעלמים זה בזה. (משוואה היא לינארית אם היא לינארית בכל אחד מהמשתנים ש הפתרונות למערכת משוואות הם כל זוגות הערכים המספרים ( x , y ), שאם נציבם במערכת נקבל בכל אחת ממשוואותיה פסוק אמת.

בה).

תכונות חותכים

במערכת לינארית של שתי משוואות בשני נעלמים ייתכנו שלושה מצבים, והם: 1. קיים פתרון יחיד למערכת. 2. לא קיים פתרון למערכת (מערכת סותרת ). 3. קיימים אינסוף זוגות ערכים המהווים פתרון למערכת (מערכת תלויה .)

הסבר ומשמעות גרפית אם נצייר במישור ( x ; y ) את הישרים המתארים את כל אחת ממשוואות המערכת, כל הנקודות ( x , y ) שנמצאות על הישר I הם הפתרונות למשוואה I (אם נציבם נקבל במשוואה I , פסוק אמת), וכל נקודות הישר II הם הפתרונות למשוואה II . לכן פתרון למערכת הוא נקודה במישור הנמצאת על שני הישרים I ו II- , כלומר, הפתרונות למערכת הם קבוצת נקודות החיתוך של שני הישרים. ייתכנו שלושת המצבים שצויינו, המתארים את המצבים הבאים בין הישרים I ו II-:

I,II

I

I

II

II

3.

2. מקבילים

1 .

מתלכדים.

(אינסוף פתרונות)

(אין פתרון)

(פתרון אחד)

המקרה השלישי מתאר משוואות שקולות, כיוון שיש להן אותה קבוצת פתרונות, ולכ ן ניתן לעבור מהאחת לשנייה על ידי פעולות מותרות על משוואה. בסעיף זה נלמד שתי שיטות לפתרון מערכת משוואות לינאריות.

26