High-Q | מתמטיקה, 3 יחידות לימוד

381/802 יחידות לימוד שאלון 3 מתמטיקה

High Q Global

מתמטיקה 3 יח"ל – שאלון 208

חישוב הסתברות עם החזרה ובלי החזרה

בשאלות בהן מתוארת קבוצת ניסויים מסוג הוצאת פריט מתוך מדגם של פריטים יש להבחין בין שתי אפשרויות:

.א עם החזרה - כאשר הפריט שלקחנו מהמדגם מוחזר אליו לפני לקיחת הפריט הבא. במקרים אלה מספר הפריטים במדגם אינו משתנה בכל ניסוי, ונשאר זהה למספר הפריטים ההתחלתי במדגם. כלומר, לא משנה כמה פעמים הניסוי יחזור על עצמו, בכל פעם ההסתברות להתרחשותו של האירוע נשארת ללא שינוי. .ב בלי ה - חזרה כאשר הפריט שלקחנו מהמדגם אינו מוחזר למדגם. במקרים אלה, בבואנו לקחת פריט נוסף, מספר הפריטים במדגם (מספר האפשרויות) קטן ב - 1 ממספר הפריטים שהיה במדגם בניסוי הקודם. כלומר, ההסתברות משתנה מניסוי לניסוי.

דוגמה:

בכד 3 כדורים לבנים ו - 7 כדורים שחורים. .א מהי ההסתברות להוציא שלושה כדורים שחורים בזה אחר זה עם החזרה? .ב מהי ההסתברות להוציא שלושה כדורים שחורים בזה אחר זה בלי החזרה?

פתרון:

.א בפעם הראשונה גודל המדגם (סה"כ כדורים בכד) הוא 10 , ומספר התוצאות העונות על הדרישה (כדור

שחור) הוא 7 . לפיכך, ההסתברות להוצאת כדור שחור בהוצאה הראשונה היא 7 10

. מכיוון שהחזרנו

את הכדור, הרי שבהוצאה השנייה גודל המדגם הוא שוב 10 , ומספר הכדורים השחורים הוא שוב 7 ,

ולכן ההסתברות להוצאת כדור שחור שני תהיה גם כן 7 10

. כך גם בהוצאת הכדור השלישית.

בסה"כ, ההסתברות להוצאת 3 כדורים תהיה חיתוך בין ההסתברויות, כלומר מכפלתן:

7 7 7 343

P   

 

0.343

10 10 10 1, 000

.ב בהוצאת הכדור הראשונה המדגם הוא 10 , ומספר התוצאות העונות על הדרישה הוא 7 , ולכן

ההסתברות שהכדור הראשון הוא שחור היא 7 10

. כיוון שלא החזרנו את הכדור השחור הראשון לכד,

הרי שבבואנו לבחור את הכדור השני גודל המדגם הוא 9 , ומספר התוצאות העונות לדרישה הוא 6 (מכיוון שנותרו רק 6 כדורים שחורים בכד). לפיכך, ההסתברות להוצאת כדור שני שחור היא 6 9 . בבחירת הכדור השלישי גודל המדגם הוא 8 , ומספר התוצאות העונות לדרישה הוא 5 , ולפיכך

ההסתברות לבחירת כדור שלישי שחור היא 5 8 . ההסתברות הכוללת היא חיתוך ההסתברויות, כלומר:

7 6 5 210 7 10 9 8 720 24 P      

0.292

511

495