High-Q | מיומנויות מתמטיות לקורס פיזיקה

פיזיקה מיומנויות מתמטיות לקורס פיזיקה

מיומנויות מתימטיות לקורס פיזיקה

יח"ל של היי קיו. 5 ברוכים הבאים לקורס פיזיקה החוברת שלפניכם נועדה למקד ולתרגל את המיומנויות המתימטיות העיקריות שנדרשות במהלך הקורס. רוב הנושאים מוכרים לכם, ככל הנראה, והכוונה היא לרענן את זיכרונכם בנושאים להם תידרשו. מילה של הרגעה: כפי שתראו, לא מדובר בנושאים מורכבים יותר מדי, וסביר שכבר נתקלתם בהם בעבר, בלימודי המתימטיקה. אנו מאמינים שאחרי שתזכרו ותתרגלו קצת, תגיעו מוכנים היטב לקורס, ותוכלו להפיק ממנו את

המירב.

אנו מאחלים לכם עבודה נעימה, ובהצלחה. מצפים לראותכם בקורס.

- 1 -

תוכן עניינים

3

יחידות מידה והמרת יחידות

6

כללי עיגול

7

קריאת גרפים

9

חקירת גרפים

מיומנויות אלגבריות משוואות ממעלה ראשונה

13

13

מערכות משוואות בשני נעלמים

14

משוואות ממעלה שניה

שאלות מילוליות בעיות כלליות

15

17

בעיות דרך

מיומנויות גיאומטריות חישוב שטחים

19

20

עיגולים ומעגלים

24

דמיון משולשים

26

משפט פיתגורס

27

פונקציות טריגונומטריות

33

כתיבה מדעית של מספרים

- 2 -

יחידות מידה והמרת יחידות

הפיזיקה עוסקת ביחידות מידה רבות, שאותן נגדיר במהלך הקורס. לצורך התרגול נתמקד ביחידות מוכרות. היחידה הראשונה היא היחידה התקנית למדידת אורך - המטר. ק"מ. 1 מטר הם 1000 : מ"מ. מקובלת גם יחידה גדולה ממטר 1000- ס"מ, או ל 100- המטר מתחלק ל

1m=100cm=1000mm 1km=1000m

המרת יחידות: :100- על מנת להמיר אורך הנתון ב-ס"מ ל-מטר, מחלקים את הערך הנתון ב מ' 0.2 ס"מ הם 20 .1000- על מנת להמיר אורך הנתון ב-מ"מ ל-מטר, מחלקים את הערך הנתון ב :1000- על מנת להמיר אורך הנתון ב-ק"מ ל-מטר, כופלים את הערך הנתון ב מ' 5000 ק"מ הם 5

דקות הן שעה. 60- שניות הן דקה, ו 60 . יחידה נוספת היא יחידת זמן. היחידה הבסיסית בה משתמשים היא שניה יממות הן שנה אחת. 365- שעות הן יממה, ו 24

המרת יחידות: דקות וכו'. 120 דקות, שעתיים הן 60 : שעה אחת היא 60- על מנת להמיר שעות לדקות יש לכפול ב שניות וכו'. 120 שניות, שתי דקות הן 60 : דקה אחת היא 60- על מנת להמיר דקות לשניות, יש לכפול ב :3600- , כלומר ב 60x60- על מנת למיר שעות לשניות, יש לכפול ב שניות וכו'. 7200 שניות, שעתיים הן 3600 שעה אחת היא

- 3 -

תרגול

המר את היחידות לפי הדרישה: מ' ל-ס"מ 2 מ' ל-ס"מ 4.6 מ' ל-מ"מ 2

המר את הערכים הבאים ל-מטר: ס"מ 30 ס"מ 3

ס"מ 33 ס"מ 4.5 מ"מ 2 מ"מ 15 מ"מ 4.5 ק"מ 2 ק"מ 3.5 ק"מ 0.4

מ' ל-מ"מ 4.6 ס"מ ל-מ"מ 20 ס"מ ל-מ"מ 34 מ"מ ל-ס"מ 20 מ"מ ל-ס"מ 7 מ' ל-ק"מ 5500 מ' ל-ק"מ 300 מ' ל-ק"מ 476 ק"מ ל-ס"מ. 4 ק"מ ל-מ"מ 0.4

: ​ פתרונות מ'. 400 ,' מ 3500 ,' מ 2000 ,' מ 0.0045 ,' מ 0.015 ,' מ 0.002 ,' מ 0.045 ,' מ 0.33 ,' מ 0.03 ,' מ 0.3

0.476 , ק"מ 0.3 , ק"מ 5.5 , ס"מ 0.7 , ס"מ 2 , מ"מ 340 , מ"מ 200 , מ"מ 4600 , מ"מ 2000 , ס"מ 460 , ס"מ 200 מ"מ. 400,000 , ס"מ 400,000 , ק"מ

- 4 -

המר את יחידות הזמן:

דקות ל-שניות 2 דקות ל-שניות 1.5 שעות ל-דקות 2 שעות ל-דקות 1.5 שעה ל-שניות 1 שעות ל-דקות 2.5 דקות ל-שעות 210

כמה שניות יש ביממה כמה שניות יש בשנה? כמה דקות יש ביממה? כמה בשנה? כמה שניות יש בחודש ינואר? כמה בחודש אפריל? יממות. כמה שניות יש בפרק זמן זה? 29.5 בחודש עברי יש בממוצע

: ​ פתרונות שעות. 3.5 , דקות 150 , שניות 3600 , דקות 90 , דקות 120 , שניות 90 , שניות 120 2,678,400 ימים שהם 31 דקות,בחודש ינואר יש 535,600 , דקות 1440 , שניות 31,536,000 , שניות 86400 שניות. 2,548,800 , שניות 2,592,000 ימים שהם 30 שניות, בחודש אפריל יש

- 5 -

כללי עיגול

ספרות משמעותיות. פירוש הדבר, שכל 3- תוצאות מספריות נהוג לעגל. בבחינת הבגרות בפיזיקה הדרישה היא ל הספרות הראשונות משמאל )השונות מ-אפס( יעוגל לערך הקרוב ביותר. 3 מספר אחרי יעוגל תמיד למעלה. 5

דוגמאות: 765000- יעוגל ל 765412 766000- יעוגל ל 765512 23.8- יעוגל ל 23.81324 23.9- יעוגל ל 23.86324 24- יעוגל ל 23.96324 0.00524- יעוגל ל 0.0052369

תרגול

עגל את המספרים הבאים:

2.11950705279758 1.59329315426344 6.30380975075784 0.022542929416414 0.002392594769841 0.048148281805319 0.094275686193677 0.007169938522514 0.008013668006383 0.008438678210842

1283.81854741775 6094.35256935559 9792.67788723294 9378.24835106316 6362.47357459894 94.7905712289531 63.8272791535742 60.9154348412425 76.6653857642106 8.00265671015037

: ​ פתרונות ,0.00239 ,0.0225 ,6.3 ,1.59 ,2.12 ,8 ,76.7 ,60.9 ,63.8 ,94.8 ,6360 ,9380 ,9790 ,6090 ,1280 .0.00844 ,0.00801 ,0.00717 ,0.0943 ,0.0481

- 6 -

קריאת גרפים

. הגרף הבא מתאר את כמות הכסף שהיתה בחשבון הבנק של גילי בכל חודש: 1

א. כמה כסף היה בחשבונה בחודש אפריל? ב. כמה כסף הרוויחה גילי בחודש אפריל?

ג. באיזה חודש היה בחשבונה של גילי סכום הכסף הגדול ביותר? ד. באיזה חודש הרוויחה גילי את סכום הכסף הגדול ביותר?

. הגרף הבא מתאר את סכום הכסף שהרוויחה צילי בכל חודש: 2

א. כמה כסף הרוויחה צילי בחודש אפריל? ב. בהנחה שבתחילת השנה לא היה כסף בחשבון הבנק שלה, כמה כסף היה בחשבונה של צילי בחודש אפריל? ג. באיזה חודש הרוויחה צילי את סכום הכסף הגדול ביותר? ד. בהנחה שצילי לא בזבזה את הכסף שהרוויחה, באיזה חודש היה בחשבונה סכום הכסף הגדול ביותר?

- 7 -

: ​ המתאר את המרחק שעבר אדם מביתו ​ , ​ . נתון הגרף הבא 3

א. לאיזה מרחק הגיע האדם אחרי שעה?

שעות? 3 ב. לאיזה מרחק הגיע לאחר

ק"מ מביתו? 2 ג. מתי הגיע האדם למרחק

ד. מתי הלך האדם מהר יותר, בשעתיים הראשונות, או בשעתיים הבאות?

: ​ פתרונות ש"ח )ההפרש בין מאי לאפריל(, ג. נובמבר ודצמבר, ד. יולי 200 . ש"ח, ב 400 . . א 1 ש"ח, ג. נובמבר ודצמבר, ד. דצמבר 300 . ש"ח, ב 400 . . א 2 ק"מ, ג. שעתיים, ד. בשעתיים הראשונות )הוא עבר מרחק גדול יותר, באותו פרק זמן( 2.5 . ק"מ, ב 1 . . א 3

- 8 -

חקירת גרפים

x כנגד y טבלאות. שרטט עבור כל אחת מהן גרף של 3 לפניך

1

טבלה טבלה טבלה

x

y

0

0

1

2

2

4

3

6

4

8

2

x

y

0

3

1

5

2

7

3

9

4

11

3

x

y

0

0

1

1

2

4

3

9

4

16

- 9 -

משתי הטבלאות הראשונות מתקבלים גרפים שצורתם קו ישר, גרפים ליניאריים. הגרף השלישי מתאר קשר לא ליניארי:

יחס ישר . ניתן לכתוב זאת כך: x מהערך המקביל של 2- גדול פי y הגרף הראשון, מתאר יחס ישר: כל ערך של y=2x

קשר ליניארי . בצורתו הכללית, קשר ליניארי ייכתב: y=2x+3 : הגרף השני מתאר קשר ליניארי, הקשר הוא

y=mx+n

מייצג את שיפוע הגרף. m הפרמטר .n=0 . יחס ישר הוא מקרה פרטי של קשר ליניארי, כאשר y מייצג את נק' החיתוך שלו עם ציר n הפרמטר

- 10 -

חישוב השיפוע של גרף ליניארי

כאשר נתון גרף ליניארי, ניתן לחשב את שיפוע הגרף לפי הנוסחה:

2 1 y − y 2 1

m = x − x

בוחרים שתי נקודות כלשהן מן הגרף, ומציבים את הערכים המתאימים בנוסחה. כאשר הגרף עולה, יהיה השיפוע שלו חיובי. כאשר הגרף יורד, יהיה השיפוע שלו שלילי.

, עפ"י שתי השורות הראשונות בטבלה: 2 לדוגמה, נחשב את שיפוע גרף

5−3 = 2

m = 1−0

- 11 -

תרגול

, ורשום את הפונקציה. y לפניך גרפים של פונקציות ליניאריות. מצא את שיפוע הגרפים ואת נק' החיתוך עם ציר כל משבצת מייצגת יחידה אחת.

: ​ פתרונות y=0.33x+2 .1 y=-0.5x+4 .2 y=0.67x-2 .3 y=0.6x+3 .4 y= -0.33x+1 .5 y= -0.5x-1 .6

- 12 -

מיומנויות אלגבריות

משוואות ממעלה ראשונה פתור את המשוואות הבאות:

2x+5=7 3x+5=11 4x+3-x=15 3(x+1)=6 2(x-3)+4=6 4(5-x)+2=3x+1 2(x-5)+2=4 9-3(x-4)=x+1 2(x+3)-4(x-1)=6

פתרונות

2 ,5 ,6 ,3 ,4 ,1 ,4 ,2 ,1

מערכות משוואות בשני נעלמים פתור את מערכות המשוואות הבאות:

3x+y=14 2x-y=6 2x+y=11 x-y=4 4x+y=14 4x+2y=16 2x+y=11 -2x+5y=7 3x+2y=24 2x+4y=24 4x+2y=22 x-y=4

4x+y=8 3x-y=6

: ​ פתרונות 0 ,2 ;1 ,5 ;3 ,6 ;3 ,4 ;2 ,3 ;1 ,5 ;4 ,5

- 13 -

משוואות ממעלה שניה

ax ​ 2 ​ +bx+c=0 : משוואות מהצורה ​ פתור את המשוואות באמצעות נוסחת השורשים:

2 a − b ± √ b −4 ac 2

x 1,2 =

2x ​ 2 ​ -9x+10=0 5x ​ 2 ​ -17x+14=0 5x ​ 2 ​ +2x-39=0 3x ​ 2 ​ +9.3x-12.3=0 20x ​ 2 ​ +124x+189=0 37.5x ​ 2 ​ -300x+306=0 -7x ​ 2 ​ -22.4x+268.8=0

: ​ פתרונות

2.5,2 1.4,2

2.6,-3 -4.1,1 -2.7, -3.5 6.8,1.2 4.8,-8

- 14 -

שאלות מילוליות בעיות כלליות ש"ח? 30 וופלות. כמה עולה כל וופלה, אם המארז עולה 25 . באריזת מתנה יש 1

בלונים. 96 . סה"כ היו במסיבה 3 בלונים וכל בת הביאה 2 . למסיבת כיתה הביאו כל הילדים בלונים: כל בן הביא 2 כמה ילדים יש בכיתה, אם ידוע שיש שתי בנות יותר מהבנים?

ש"ח. כמה עולה ק"ג 30 ק"ג תפוחים עולים יחד 4- ק"ג אגסים ו 2 . מק"ג תפוחים 3- . ק"ג אגסים עולה פי 3

תפוחים.

אונקיות זהב אותן הוא 5 . ברשותו של סוחר 32$ ומחיר אונקיית כסף הוא 1700$ . מחיר אונקיית זהב הוא 4 לכל אונקיית כסף. כמה אונקיות כסף יוכל לקבל הסוחר תמורת 2$ מעוניין להמיר לכסף. הבנק גובה עמלה של הזהב שברשותו? ש"ח. משקיע החליט להמיר את מניות "גבע" 35 ש"ח, ומחיר מניית "עמק" הוא 45 . מחיר מניית "גבע" הוא 5 מניות "עמק" יותר, 26 ש"ח, ובסופו של דבר היו ברשותו 90 שברשותו למניות "עמק". הוא שילם עמלה כוללת של משהיו ברשותו מניות "גבע". כמה מניות "גבע" היו ברשותו בהתחלה? מכוניות. 4- ש"ח לכל מכונית לכל ק"מ של נסיעה. קבוצת חברים נסעו לטיול ב 0.5 . התעריף בכביש אגרה הוא 6 ש"ח 0.4 מכוניות. מכיוון שהפעם היו המכוניות מלאות יותר, היה תעריף הנסיעה 3- בדרך חזרה הם נסעו רק ב ש"ח פחות מבדרך הלוך. איזה מרחק נסעו בכל כיוון? 24 למכונית לק"מ ולכן הם שילמו סה"כ קמ"ר. צפיפות האוכלוסיה )מספר התושבים 50 קמ"ר ושטחה של ת"א 125 . שטחה של העיר ירושלים הוא 7 תושבים יותר 400,000 תושבים לקמ"ר מזו של ירושלים. בירושלים חיים 1600- לק"מ רבוע( בת"א גדולה ב מבת"א. כמה תושבים חיים בת"א?

300 גזרים למ"ר, וצנוניות בצפיפות של 500 מ"ר. גזר ניתן לזרוע בו בצפיפות של 200 . שטחו של שדה הוא 8 גזרים וצנוניות יחד. מה שטח השדה שהיה זרוע גזר? 76000 למ"ר. בסוף העונה נאספו מן השדה

- 15 -

פתרונות כסף.

ש"ח ​

25 30 = 1

​ . מחיר וופלה: 1 .2

.2x+3(x+2)=96 - , סה"כ בלונים x+2 - , מספר הבנות x - . מספר הבנים 2 בנות. 20- בנים ו 18 : ילדים בכיתה 38 יש

2x+4·3x=30 - . מחיר הקניה 3x - , מחיר ק"ג אגסים x - . מחיר ק"ג תפוחים 3 ש"ח 2 מחיר ק"ג תפוחים

אונקיות ​

34 8500 = 2

​ , הסוחר יוכל לקנות 34$ , מחיר אונקיית כסף, כולל עמלה 8500$ אונקיות זהב שוות 5 .4 50

.x+26 :" , מספר מניות "עמק x :" . מספר מניות "גבע 5 45x-90=35(x+26) מניות "גבע". 100 היו לו

.x : . מרחק הנסיעה 6 ​ מחיר הנסיעה הלוך: ​ מחיר הנסיעה חזור:

.5 x 0 · 4 · x = 2

.4 0 · 3 · x = 1

.2 x

2x-24=1.2x : המשוואה ק"מ. 30 מרחק הנסיעה היה

x : . מספר התושבים בת"א 7 x+400,000 : מספר התושבים בי-ם ​ צפיפות האוכלוסיה בת"א: x 50

125 x +400,000

​ צפיפות האוכלוסיה בי-ם:

​ המשוואה: 125 x +400,000 תושבים 400,000 בת"א חיים

600 x 50 − 1 =

x : . השטח שזרוע גזר 8 השטח שזרוע צנוניות:

200-x 500x+300(200-x)=76,000 : סה"כ גזרים וצנוניות מ"ר. 80 השטח שזרוע גזר היה

- 16 -

בעיות דרך ​ ( בו הוא עובר מרחק זה: t) ( לבין הזמן s) ( היא היחס בין המרחק שעובר גוף v) מהירות v = t s מכאן ניתן לחלץ שני קשרים נוספים: ​ המרחק שעובר גוף שווה למכפלת המהירות בזמן: s = v · t ​ זמן התנועה של גוף שווה ליחס בין המרחק שעבר לבין מהירות תנועתו: t = v s

ק"מ. 111 . המרחק מת"א לבאר שבע הוא 11:30 ומגיע לבאר שבע בשעה 10:00 יוצא מת"א בשעה 380 . קו 1 מה מהירות נסיעתו של האוטובוס?

קמ"ש, והשני 5 . שני חברים מדברים בנייד, וקובעים להיפגש. שניהם יוצאים לדרך מיד, אחד הולך במהירות של 2 קמ"ש, זה לקראת זה. הם נפגשים חצי שעה לאחר שיצאו לדרך. מה היה המרחק ההתחלתי 4 במהירות של

ביניהם?

ק"מ. במשך חצי שעה הוא נוסע במהירות קבועה, ואז הוא מגביר 75 . נהג יוצא מירושלים לכיוון ת"א, מרחק של 3 , ומגיע לת"א לאחר חצי שעה נוספת. מה היתה מהירות נסיעתו של הנהג בתחילת הדרך? 2- את מהירותו פי

ק"מ במהירות קבועה, ואת שאר הדרך 40 . בדרכו חזרה לירושלים נוסע הנהג מהשאלה הקודמת מרחק של 4 . הפעם הוא עובר את המרחק בזמן של שעה ורבע. מה היתה מהירות נסיעתו 2- הוא עובר במהירות קטנה פי ההתחלתית?

קמ"ש, 7- . רץ מרתון מתחיל את המירוץ במהירות קבועה. לאחר שעה וחצי של ריצה הוא מגביר את מהירותו ב 5 ק"מ( בזמן כולל של שעתיים וחצי. מה היתה מהירות ריצתו ההתחלתית? 42) ומגיע לקו הסיום

- 17 -

פתרונות

s =

1.5 111 = 7

v = t

4 km / h

​ . מהירות הנסיעה: 1

ק"מ. 4.5 ק"מ, ולכן המרחק ההתחלתי ביניהם היה 2 ק"מ, והשני עבר 2.5 . חבר אחד עבר בחצי שעה 2

v : . מהירות הנסיעה ההתחלתית 3 .5 v .5 v 5 0 + 0 · 2 = 7 v=50km/h

40

t = v

​ . זמן הנסיעה בקטע הראשון: 4

t = 35 0.5 v

​ זמן הנסיעה בקטע השני:

​ זמן הנסיעה הכולל: .25 0.5 v = 1 88km/h : מהירות הנסיעה בקטע הראשון v 40 + 35

v : . מהירות הריצה ההתחלתית 5 1.5v : מרחק הריצה לאחר שעה וחצי זמן הריצה בקטע השני היה שעה אחת. מרחק הריצה בקטע השני:

1(v+7)

1.5v+(v+7)=42 : מרחק הריצה הכולל 14km/h : מהירות הריצה ההתחלתית

- 18 -

מיומנויות גיאומטריות

חישוב שטחים שטח מלבן: מכפלת שתי צלעות סמוכות

S = a × b

שטח משולש: חצי מכפלת הבסיס והגובה

a × h

S = 2

שטח טרפז: מחצית מכפלת סכום הבסיסים בגובה

( a + b ) h

S = 2

- 19 -

עיגולים ומעגלים

שטח עיגול: ריבוע הרדיוס כפול פאי

R S = π 2

היקף מעגל: מכפלת הקוטר בפאי

π R P = 2

פאי, היחס בין היקף המעגל לקוטרו, הוא בקירוב:

.14 π ≈ 3

.π ניתן להשתמש בערך מדוייק יותר, הנמצא בזיכרון המחשבון, בכפתור

- 20 -

תרגול

ס"מ. חשב את שטחן של הצורות ב-סמ"ר. 1 בתרשים הבא, כל משבצת שווה

: ​ פתרונות )ב-סמ"ר( 8.75 ,7.5 ,5 ,6 ,7.5 ,7.5 ,7.5 ,9 ,7 ,8 ,8 ,4.5 ,4.5 ,4.5 ,4.5 ,3.75 ,8 ,6 ,8.75 ,7.5 ,8 ,12

- 21 -

: ​ פתרונות )ב-סמ"ר( 19.5 ,19 ,16 ,14 ,12 ,11 ,17.5 ,20 ,14 ,11 ,14

- 22 -

חשב את שטח הצורות הבאות, ואת היקפן:

: ​ פתרונות ס"מ, 11 , סמ"ר 9.62 (3 , ס"מ 15.71 , סמ"ר 19.63 (2 , ס"מ 12.57 , סמ"ר 12.57 (1 ס"מ, 7.14 , סמ"ר 3.14 (5 , ס"מ 10.28 : סמ"ר,חצי היקף מעגל ועוד קוטר 6.28 : ( חצי עיגול 4 ס"מ 16.78 : סמ"ר,שלושת-רבעי מעגל ועוד שני רדיוסים 14.73 : ( שלושת-רבעי עיגול 6 ס"מ, 22.76 , סמ"ר 24.74 : ( שבע-שמיניות עיגול 7 ס"מ. 16.57 , סמ"ר 18.85 : ס"מ 4 ס"מ ועוד רבע עיגול ברדיוס 2 ( חצי עיגול ברדיוס 8

- 23 -

דמיון משולשים

משולשים דומים הם משולשים ששווים בכל שלוש זוויותיהם. למעשה, מספיק ששני זוגות זוויות יהיו שווים, כי , ולכן הזווית השלישית תהיה שווה גם בהכרח. 180 ⁰ סכום הזוויות במשולש הוא במשולשים דומים, קיים יחס קבוע )פרופורציה( בין כל זוג צלעות מתאימות. אותו היחס מתקיים גם בין הגבהים במשולשים, התיכונים וחוצי הזווית.

ABC DEF △ ≃ △

AB DE = EF

BC = AC DF

- 24 -

תרגול

ס"מ. מצא את אורך הצלע המסומנת בסימן שאלה. 1 בתרשימים הבאים, כל משבצת שווה

פתרונות )ב-ס"מ(: 4.2 ,3.6 ,2 ,3.375 ,2.57 ,1.5 ,6.67 ,5.25 ,2.67

- 25 -

משפט פיתגורס

במשולש ישר זווית, שווה סכום ריבועי הניצבים לריבוע היתר:

a 2 + b 2 = c 2

תרגול פתרונות

במשולשים הבאים, חשב את אורך הצלע החסר:

4.47 ,4.58 ,5.29 ,2.828 ,5

- 26 -

פונקציות טריגונומטריות

, ניתן להגדיר שלושה יחסים בין הצלעות: α במשולש ישר זווית, בעל זווית בסיס

in (α) s = c a os (α) c = c b an (α) t = b a

בעזרת המחשבון, ניתן למצוא את ערכם של הסינוס, הקוסינוס והטנגנס של כל זווית. ניתן גם למצוא את הזווית ואז על הפונקציה הרצויה. shift המתאימה לכל יחס, באמצעות לחיצה על , סימן שהמחשבון שלכם מכוון לרדיאנים. העבירו 0.523 מעלות. אם קיבלתם 30 צריך לתת shift+sin 0.5 : נסו אותו למעלות.

- 27 -

תרגול

השלימו את הערכים בטבלה הבאה

α

sin(α)

cos(α)

tan(α)

30 ⁰

0.5

0.5

1

1

1

0

0

180 ⁰

0.6

0.6

- 28 -

במשולשים הבאים, מצא באמצעות הצלעות הנתונות את הזווית המסומנת:

פתרונות בעמוד הבא...

- 29 -

פתרונות

α

sin(α)

cos(α)

tan(α)

30 ⁰

0.5

0.866

0.577

60 ⁰

0.866

0.5

1.732

26.57 ⁰

0.447

0.8944

0.5

90 ⁰

1

0

בח”מ

0

0

1

0

45 ⁰

0.707

0.707

1

0

0

1

0

90 ⁰

1

0

בח”מ

180 ⁰

0

-1

0

36.87 ⁰

0.6

0.8

0.75

53.13 ⁰

0.8

0.6

1.33

53.13 ⁰ ,41.41 ⁰ ,55.15 ⁰ ,31 ⁰ ,14 ⁰ ,26.57 ⁰ ,60 ⁰ ,30 ⁰ ,30 ⁰

- 30 -

נוכל להשתמש בפונקציות הטריגונומטריות כדי לחשב את אורכן של צלעות במשולש, עפ"י זוויותיו:

in (20 ⁰ ) s = a 10 .42 a = 3

os (20 ⁰ ) c = b 10 .4 b = 9

- 31 -

תרגול החסרות: פתרונות

במשולשים הבאים, חשבו - באמצעות הפונקציה הטריגונומטרית המתאימה - את אורכן של שתי הצלעות

, ח. 11.2 ,11.59 . , ז 6.43 ,7.66 . , ו 8.49 ,6 . , ה 10.72 ,11.83 . , ד 7.66 ,6.43 . , ג 7.52 ,2.74 . , ב 8.66 ,5 . א 5.66 ,5.66 . , ט 5.77 ,11.55

- 32 -

כתיבה מדעית של מספרים

זוהי דרך לכתיבה נוחה של מספרים גדולים מאוד, או קטנים מאוד.

:10 נתבונן בחזקות הבאות של

10 ​ 1 ​ =10 10 ​ 2 ​ =100 10 ​ 3 ​ =1000 10 ​ 4 ​ =10000 10 ​ 5 ​ =100000 ניתן לומר שהמעריך מציין את מספר האפסים שיופיעו בפתרון החזקה. כ- ​ 200 לפי עיקרון זה נוכל לכתוב את המספר 0 2 × 1 2

0 3 × 1 3

כ- 3000 ​ ואת המספר ​

.7 0 3 × 1 3

​ ניתן לכתוב כ- 3700 את המספר 7 0 3 × 1 2

.

או כ-

דרכים מקובלות לכתיבה מדעית של מספרים: 2 ישנן בדרך הראשונה יהיה תמיד מספר אחד משמאל לנקודה העשרונית: .

​ ייכתב כ- 46000 .6 0 4 × 1 4 ​ ייכתב כ- 3700 .7 0 3 × 1 3 ​ ייכתב כ- 65400000 .54 0 6 × 1 7

:3 בדרך השניה, יהיה תמיד המעריך בחזקה כפולה שלמה של ​ ייכתב כ- 46000 6 0 4 × 1 3 ​ ייכתב כ- 3700 .7 0 3 × 1 3 ​ ייכתב כ- 65400000 5.4 0 6 × 1 6

- 33 -

תרגול

כתוב את המספרים הבאים בכתיבה מדעית:

43,900 78,300

213,000 325,000 4,470,000 58,900,000

5,330,000,000 6,380,000,000 21,700,000,000

כתוב את המספרים הבאים בכתיבה רגילה:

3 0 2 × 1 5 2 0 4 × 1 7 .8 0 1 × 1 3 .6 0 5 × 1 8 .8 0 0 × 1 4 .72 0 4 × 1 5 .06 0 0 × 1 3 .23 0 3 × 1 4

- 34 -

פתרונות

או .39 0 4 × 1 4 3.9 0 4 × 1 3 או .83 0 7 × 1 4 8.3 0 7 × 1 3 או .13 0 2 × 1 5 13 0 2 × 1 3 או .25 0 3 × 1 5 25 0 3 × 1 3 .47 0 4 × 1 6 או .89 0 5 × 1 7 8.9 0 5 × 1 6 .33 0 5 × 1 9 .38 0 6 × 1 9 או .17 0 2 × 1 10 1.7 0 2 × 1 9

32,300 ,60 ,472,000 ,8,000 ,560,000,000 ,1,800 ,420,000,000 ,2,300,000

- 35 -

פעולות אלגבריות במספרים בכתיבה מדעית ניתן לבצע פעולות אלגבריות ישירות במספרים הכתובים בכתיבה מדעית. חיבור וחיסור – אם כל החזקות שוות, ניתן להוציא אותן כגורם משותף מחוץ לסוגריים, ולחבר את המספרים

הנותרים. תרגול חשב:

לדוגמה:

6 0 9.7 0 4 × 1 3 + 3 × 1 3 = 4 × 1 3 .7 0

במידה והחזקות שונות, ניתן לשנות את החזקות, כך שיתאימו זו לזו: .6 0 .7 0 6 0 .7 0 9.7 0 4 × 1 4 + 3 × 1 3 = 4 × 1 3 + 3 × 1 3 = 4 × 1 3

בתרגילי כפל, כופלים את המספרים, ומחברים את המעריכים בחזקות: .6 0 .7 0 .6 .7 0 0 7.02 0 4 × 1 4 · 3 × 1 3 = 4 · 3 · 1 4 · 1 3 = 1 × 1 7

בתרגילי חילוק, מחלקים את המספרים ומחסרים את המעריכים .24 0 2.4 3.7×10 3 4.6×10 4 = 1 × 1 1 = 1

1 0 0 2 × 1 4 · 8 × 1 2 7 0 0 8 × 1 5 · 4 × 1 3 6 0 0 7 × 1 5 : 4 × 1 3 8 0 0 1 × 1 8 : 9 × 1 4 1 0 0 2 × 1 7 : 7 × 1 5 8 0 0 4 × 1 4 : 8 × 1 5

1 0 3 0 3 × 1 5 + 4 × 1 5 5 0 2 0 2 × 1 3 + 1 × 1 3 5 0 6 0 7 × 1 6 + 3 × 1 5 4 0 5 0 8 × 1 4 + 6 × 1 5 5 0 6 0 7 × 1 6 − 3 × 1 6 2 0 8 0 4 × 1 5 − 3 × 1 5 9 0 4 0 3 × 1 4 − 6 × 1 3

תרגילים נוספים

המרחק מכדור הארץ לשמש הוא כ- 50 0 1 × 1 6 המרחק מכדור הארץ לירח הוא כ- .84 0 3 × 1 5

ק"מ. רשום מרחק זה במטרים. ק"מ. רשום מרחק זה במטרים.

מהירות האור היא כ- 0 3 × 1 8

מטר בשניה. מה המרחק שתעבור קרן אור בדקה? בשעה? בשנה?

- 36 -

פתרונות

.4 0 7 × 1 6 .7 0 3 × 1 4 .86 0 7 × 1 7 .34 0 7 × 1 6 .9 0 3 × 1 7 0 4 × 1 5 .26 0 3 × 1 5 .68 0 1 × 1 8 .48 0 3 × 1 10 .9 0 1 × 1 3

0 2 × 1 4 0 3 × 1 2 0 6 × 1 −1

פתרונות לתרגילים הנוספים:

מטר ​ .5 0 1 × 1 11 מטר ​ .84 0 3 × 1 8

.46 0 9 × 1 15

​ מ', ​ .8 0 1 × 1 10 .08 0 1 × 1 12

מ'. ​

​ מ', ​

- 37 -

כתיבה מדעית של מספרים קטנים

חזקות שליליות הן ההופכי של החזקה החיובית:

0 1 −1 = 1

10 = 0

.1

0 1 −2 = 1

10 2 = 0

.01

0 1 −3 = 1

10 3 = 0

.001

0 1 −4 = 1

10 4 = 0

.0001

.10 לפי עיקרון זה נוכל לכתוב גם מספרים קטנים בכתיבה מדעית, באמצעות חזקות של לדוגמה ​ ייכתב כ- 0.3 0 3 × 1 −1 ​ ייכתב כ- 0.04 0 4 × 1 −2 או כ- ​ ייכתב כ- 0.038 8 0 3 × 1 −3 .8 0 3 × 1 −2

תרגול

כתוב את המספרים הבאים בכתיבה רגילה: 0 4 × 1 −1 0 4 × 1 −2 0 4 × 1 −3

כתוב את המספרים הבאים בכתיבה מדעית: 0.5 0.05 0.005 0.23 0.079 0.0004 0.00093 0.0000087

4 0 3 × 1 −2 3 0 5 × 1 −3 4 0 8 × 1 −4 1 0 7 × 1 −5 56 0 3 × 1 −6

- 38 -

: ​ פתרונות 0 5 × 1 −1 0 5 × 1 −2 0 5 × 1 −3

או 3 0 2 × 1 −2 .3 0 2 × 1 −1 או 9 0 7 × 1 −3 .9 0 7 × 1 −2 0 4 × 1 −4 או 3 0 9 × 1 −5 .3 0 9 × 1 −4 או 7 0 8 × 1 −7 .7 0 8 × 1 −6

0.4 0.04 0.004 0.34 0.053 0.0084 0.00071 0.000356

- 39 -

: ​

חשב

1 0 3 0 3 × 1 −5 + 4 × 1 −5 5 0 2 0 2 × 1 −3 + 1 × 1 −3 5 0 6 0 7 × 1 −6 + 3 × 1 −5 4 0 5 0 8 × 1 −4 + 6 × 1 −5 2 5 0 4 + 6 × 1 −2 5 0 6 0 7 × 1 −6 − 3 × 1 −6 2 0 8 0 4 × 1 −5 − 3 × 1 −5 9 0 4 0 3 × 1 −3 − 6 × 1 −4 1 0 0 2 × 1 −4 · 8 × 1 −2 7 0 0 8 × 1 −5 · 4 × 1 3 6 0 0 7 × 1 −5 : 4 × 1 3 8 0 0 1 × 1 −8 : 9 × 1 4 1 0 0 2 × 1 −7 : 7 × 1 −5 8 0 0 4 × 1 −4 : 8 × 1 −5

- 40 -

: ​ פתרונות .4 0 7 × 1 −4 .7 0 3 × 1 −2 .35 0 4 × 1 −4 .05 0 9 × 1 −3 2.65 4 .9 0 3 × 1 −5 0 4 × 1 −5 .26 0 3 × 1 −2 .68 0 1 × 1 −4 .48 3 .9 0 1 × 1 −7 0 2 × 1 −12 0 3 × 1 −2

06

- 41 -