High-Q | יסודות אלגבריים לבגרות במתמטיקה

משוואות אלגבריות

זהו חלקה העיקרי של המכינה, ובו נלמד כיצד לפתור סוגים שונים של משוואות. נלמד תחילה כיצד לפתור משוואות מן המעלה הראשונה (משוואות ליניאריות) בנעלם אחד. נכיר משוואות שפתרונן הינו פתרון מספרי, וכאלו שפתרונן מבוטא באמצעות אותיות (פרמטרים). נלמד שיטות שונות כיצד לפתו ר מערכות של משוואות ליניאריות במספר נעלמים, ונדון במשמעות הגרפית של המשוואות ושל פיתרונותיהן. נלמד את דרכי הפתרון של משוואות ממעלה שניה (משוואות ריבועיות) , נכיר את תכונות המשוואה הריבועית, ואת הצגתה הגרפית.

מהי משוואה ואיך נפתור אותה

משוואה הינה פסוק מ תמטי המביע שוויון בין שני ביטויים מתמטיים. המשוואה מכילה לפחות נעלם אחד, שמקובל לסמנו באחת מהאותיות הלטיניות: x, y, z וכו'. הנה מספר דוגמאות:

זו משוואה מהמעלה הראשונה בנעלם אחד. הנעלם הוא X .

1)

3 7 X

4 X   

9

3 2 4 5 Z

ז ו משוואה מהמעלה השלישית בנעלם אחד. הנעלם הוא Z.

2)

Z  

2

זו משוואה מהמעלה הראשונה בנעלם אחד. הנעלם הוא Y , ושאר האותיות הינן פרמטרים.

3 )

( ) 3 7 a Y b a Y   

הביטוי משמאל לסימן השיוויון במשוואה נקרא "אגף שמאל", וזה שמצידו הימני נקרא "אגף ימין" של המשוו אה. התכלית בעסוקנו במשוואות תהיה למצוא את ערכי הנעלם השונים אשר מהווים פתרון למשוואה. פתרון למשוואה הינו קבוצת הערכים אשר הצבתם במקום הנעלם במשוואה, תיתן פסוק

אמת. דוגמה:

נתונה המשוואה 2 1 7 x   .

אגף שמאל של המשוואה הוא: 2x+1 ואגף ימין שלה הוא: 7 . הפתרון למשוואה זו הוא: x=3 . זאת מכיוון שאם נציב את הערך 3 במקום הנעלם x , נקבל את הפסוק 2 3 1 7    , כלומר: 7=7 , שהוא פסוק אמת. כל ערך אחר שנציב במקום x במשוואה ייתן לנו פסוק שקרי. נכיר כעת את הדרכים בהן נוכל לפשט את המשוואה, כך שנוכל לקבל את פיתרונה ביתר קלות.

21