High-Q | פסיכומטרי - מרתון

פסק זמן גאומטריה נות פתרו -

Extra

5. נתונים שני מעגלים משיקים. הנקודות המודגשות הן מרכזי המעגלים. מה נכון בוודאות?

α

=

(1) (2) (3)

α = 2β

β = 90 − α

180− 2

β =

β

(4)

בשאלה הנ"ל מבקשים מאיתנו לקבוע מה נכון בוודאות לגבי ת זוויו α β (לפי התשובות), בשאלות בהן אנו מתבקשים למצוא קשר בין זוויות, יש למצוא זווית משותפת שנוכל דרכה קשר. ניתן לראות כי שני המשולשים שנוצרו הם משולשים שווי – שוקיים, אשר שוקיהם הם רדיוסי המעגלים – המשולש ה תחתון (עם זווית הראש - β , והמשולש העליון עם זווית - הראש α .) בנוסף, מפגש הישרים יוצר שתי זוויות ת קודקודיו , נסמנן באות - γ . במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות, לכן סכום הזוויות במשולש התחתון יהיה: β+2γ=180° , כלומר β=180-2γ γ

–ו

α

γ

סכום הזוויות במשולש העליון יהיה: α+2γ=180° , כלומר α=180-2γ מכאן כי α=β .

β

6. נתונים שני מעגלים זהים שמרכזיהם 2 קודקודים של משולש ישר זווית. אורך רדיוסי המעגלים 2

ס"מ. א ס"מ. ס"מ.

מה גודל השטח הכהה (בסמ"ר)?

π 4 π 3

(1)

(2)

(3)

π

(4)

2π

בשאלה זו אנו מתבקשים לחשב שטח כהה אשר במבט ראשוני אינו נראה כשטח מוכר ונוח לחישוב, אך המעגלים שמרכזיהם הם קודקודי המעגל אינם משורטטים לחינם - שני השטחים המושחרים הינם גזרות של מעגלים שרדיוסם הו 2 בעצם אנו מתבקשים למצוא סכום גזרות ה שטחי ( במעגלים זהים .)

את

שטח גזרה תלוי בשני גורמים: א. בזווית המרכזית אשר שוקיה תוחמים את הגזרה. ב. באורך רדיוס המעגל – 2

סכום הזוויות במשולש הוא 180° , ונתון כי המשולש הוא ישר זווית, לכן שתי הזוויות הנוספות יהיה 180° . הזוויות המרכזיות הן חלק מצורה מוכרת – משולש, וסכומן הוא 90° , לכן אם נרצה לחבר את שני השטחים המושחרים למעגל אחד, זה יראה בצורה הבאה:

הזווית המרכזית של השטח המושחר הינה ישרה . היחס בין שטח גזרה במעגל לשטח המעגל שווה ליחס בין הזווית המרכזית שיוצרת את הגזרה ל בין 360° , לכן כעת נוכל לחשב את השטח הכהה: × ( שטח מעגל ) = × 2 = × ∙ 4 = ר " סמ

90° 360°

1 4

1 4

שטח כהה =

מרתון ספר

44

High Q Global