High-Q | פסיכומטרי - חשיבה כמותית

גיאומטריה - מצולעים

9.

8.

נתון מחומש משוכלל שצלעו היא a . מהו היקף המרובע ABCM ?

AB CD הם אלכסונים במתומן משוכלל. אם שטח המשולש AMC הוא 8 סמ"ר, מהו שטח הטרפז AMDE ?

-ו

(1) (2) (3) (4)

4a

2 2 3 a a 

16 2 8  (2)

(1)

8 2 8 

2 2 2 a a 

(4)

(3)

16 2 16 

8 2 16 

35. a

המשולש AMC הוא משולש ישר זווית ושווה שוקיים, ואם שטחו נתון אז ניתן לחשב את אורכי הניצב והיתר שלו:

אם נחסום את המחומש במעגל נראה, כי הזוויות BAM -ו BCM הן זוויות היקפיות, שנשענות על אותן קשתות, ולכן הן שוות זו לזו. הן גם נשענות 5 2 מהיקף המעגל, ולכן שוות  72 כל אחת (זווית מרכזית היתה שווה   144 360   , אך זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית, הנשענת על אותה הקשת). זווית ABC שווה  138 (זווית במחומש משוכלל), ומשלימה את זוויות BAM -ו BCM -ל  183 , ומכאן שהמרובע ABCM הוא מקבילית. צלעות AB -ו BC שוות זו לזו (צלעות במחומש משוכלל) ולכן המרובע ABCM הוא מעויין (מקבילית בעלת 2 צלעות סמוכות שוות היא בעצם מעויין). כל צלעותיו שוות ל - a ולכן היקפו שווה ל - 4a . על 5 2

2

x

2

4 x 16 x 8

    

2

אורך הניצב הוא אם כן 4 . אם כך אורך היתר, שהוא גם צלע המתומן המשוכלל וגם בסיסו הקצר של הטרפז, הוא 24 . בסיסו הארוך של הטרפז - שווה ל 24 4  וגובהו של הטרפז הוא 4 . ניתן אם כן לחשב את שטח הטרפז:   4 2  

244 24 





8 2 16 2 4 28   

141

© High Q Global