High-Q | יסודות אלגבריים לבגרות במתמטיקה

מתמטיקה יסודות אלגבריים לבגרות במתמטיקה

חוברת יסודות ם אלגבריי קל ראת קורס בגרות מתמטיקה

יוני 2007

מהדורה ראשונה:

אפריל 2008

מהדורה שנייה:

ינואר 2011

מהדורה שלישית:

אפריל 2012

מהדורה רביעית:

יוני 2012

מהדורה חמישית:

ספטמבר 2013

מהדורה שישית:

אוגוסט 2015

מהדורה שביעית:

ספטמבר 2017

מהדורה שמינית :

נכתב על ידי מורי High Q Global ומחלקת המחקר והפיתוח

© כל הזכויות שמורות לחברת High-Q Global אין להעתיק או להפיץ ספר זה או קטעים ממנו בשום צורה ובשום אמצעי, אלקטרוני או מכני (לרבות צילום או הקלטה) ואין ללמדו, כולו או חלקים ממנו, בשום מכון או קורס או בית ספר ללא אישור בכתב מאת המוציאים

לאור.

High-Q Global בע"מ, תפוצות ישראל 7 , גבעתיים 5358327 .

1800-80-80-80

יסודות אלגבריים

ראשית נלמד את חוקי האלגברה היסודיים ואת אופן השימוש בהם לצורך פישוט ביטויים אלגבריים. ביטויים אלגבריים מופיעים, כמובן, במשוואות אלגבריות, ולפיכך הכרת החומר המופיע בחלק זה הכרחית בכדי לפתור משוואות אלגבריות. כן נכיר את השברים, בצורותיהם הש ונות, ונלמד כיצד לבצע בהם פעולות חשבוניות.

סדר ביצוע פעולות חשבון חישובו של כל ביטוי חשבוני, חייב להתבצע על פי סדר פעולות חשבון:

פעולות בתוך סוגריים.

1.

חזקות ושורשים.

2.

כפל וחילוק.

3.

חיבור וחיסור.

4.

כלומר, ראשית תבוצענה הפעולות שבתוך הסו גריים. עבור ביטוי שאין בו סוגריים, יבוצעו תחילה פעולות החזקות והשורשים, לפי סדר הופעתן (משמאל לימין). אחריהן יבוצעו פעולות הכפל והחילוק, לפי סדר הופעתן (משמאל לימין), ולבסוף פעולות חיבור וחיסור, משמאל לימין.

דוגמאות:

  15 3 5 15 15 1     

1.

2 3

9

18

2.

17 2 17 2 17  

17 9 8        

2

2

2

פעולות במספרים שליליים חיבור של מספר שלילי, כמוה כחיסור מספר חיובי בעל אותו ערך מוחלט. חיסור של מספר שלילי, כמוהו כחיבור מספר חיובי בעל אותו ערך מוחלט. כפל וחילוק של שני מספרים שליליים הוא מספר חיובי. כפל וחילוק של מספר שלילי במספר חיובי הוא מספר שלילי.

דוגמאות:

   

5 7 5 7 2      

5

    

7 5 7 12

       

3 2 3 2 6      

6 : 3 6 : 3 2    

1

חוקי המספרים חוק החילוף לכפל וחיבור:

a b b a   

   a b b a

משמעות החוקים היא שאין חשיבות לסדר החיבור או לסדר הכפל של שני איברים, כלומר שתוצאת פעולו ת החיבור או הכפל אינה תלויה בסדר בו נבחר לבצע את הפעולה. חוק החילוף מתקיים בפעולות כפל או חיבור בלבד!

חוק הצרוף:













a b c a       

b c b a c c

a b

   





 

 

a b c a b c b a b c a b           

משמעותו של חוק הצרוף היא שאין חשיבות לסדר ביצוע פעולות הכפל והחיבור והופעת סוגריים בתרגילים אלה, כאשר מדובר בפעול ות חיבור בלבד או בפעולות כפל בלבד. הערה: a ,b ,c יכולים לייצג מספרים, אך גם ביטויים חשבוניים, אשר לפי סדר פעולות חשבון חושבו קודם לביצוע פעולת הכפל או החיבור.

דוגמה:

א.

3 5 2 1 3 1 5 2 5 2 1 3              3 5 2 2 5 2 2 3 2 3 5 2               

ב.

במקרה א' אין צורך בסוגרי ים, כיוון שכפל מבוצע לפני חיבור, וחוק הצירוף פועל על חיבור של שלושה איברים. במקרה ב' יש צורך בסוגריים, בכדי שפעולת החיבור תבוצע קודם לכפל.

חוקי הפילוג:

 

 

a b c ab ac   

a b c ab ac   



 



a b c d ac ad bc bd       

חוקים אלו נובעים מעקרון פתיחת הסוגריים, כלומר, כאשר נפתח סוגריים יכפיל הכו פל החיצוני כל אחד מהאיברים בתוך הסוגריים.

כינוס איברים והוצאת גורם משותף תחילה נכיר מספר מושגים חדשים: פרמטר: איבר בביטוי אלגברי המסומן באות לטינית (מייצג מספר כלשהו). כינוס איברים: חיבור וחיסור איברים בביטוי. בביטוי ניתן לכנס את כל הביטויים המספריים, וא ת כל האיברים המכילים אותו פרמטר.

2

דוגמאות: בביטויים הבאים נכנס איברים. נכנס בנפרד את כל האיברים המכילים את הפרמטר a , ואת כל אלו המכילים את הפרמטר b : 1. 15 3 4 3 5 5 11 7 a a b a b               15 3 5 4 3 11 5 7 7 12 2 a a a b b a b          

2

2

2.

2 a a ab a a      2 5 3

10





 

2

2

2



2 2 a a ab          3 a a ab 5 10 5 5 10 a a

3 a b  

 



 2 2 a b a b a b a b a ab ba b             2 3 2 2 2 2 3 2 2 a a b ab a b ab b          







3.



2 2 a b a ab b    

3

2

2

3

3 3 a a b ab  

b



הוצאת גורם משותף היא פעולה הפוכה לפעולת חוק הפילוג. גורם משותף הינו כופל המשותף לכל המחוברים בבי טוי. לאחר שנוציא גורם משותף משני ביטויים או יותר נקבל מכפלה של אותו גורם משותף בביטוי המצוי בסוגריים.

דוגמאות:



  

1.

5 5 3 1 a a   

15



2.

6 3 ab 

ac

3 2 a

b c 





3

2

2

2

3.

9 a ab

ab x a

a

b

b x

12

6   

3 4



3



2

לעיתים נמצא גורם משותף רק לחלק מן המחוברים. בדוגמה הבאה לשני האיברים הראשונים יש גורם משותף a , ואילו לשניים האחרים יש גורם משותף x:

2

 a c 4 2 



 x y  



4.

ac

ad

5   xy

x

d

x

4



8

25



5 5

נוסחאות הכפל המקוצר נוסחאות הכפל המקוצר הן נוסחאות העוזרות בפישוט מהיר של ביטויים אלגברים. בנוסחאות אלו ניתן להשתמש בשני הכיוונים, כלומר גם ל - הוצאת ביטוי מתוך סוגריים, וגם לכינוס

איברים.

3

2

3

2

2

3





3 3 a b a a b ab b     

2

2

5.





2   a b a ab b  

1.

3

2

3

2

2

3





3 3 a b a a b ab 

b

6.

   

2

2





2     a b a ab b

2.

   



3

3

2

2



2

2



 



a b

a b a ab b     

7.

    a b a b a b

3.

2



2

2

2

3

3

2

2







2 2 2         a b c a b c ab ac bc

a

b a b a ab b     

4.

8.

דוגמאות:

2

2

2





1.

3 2 b a b   9

ab a



12 4 

2 2 4 25 a b



 



2.

2 5 2 ab 

ab

 



5



 

 

 

4

4

2

2

2

2

2

2

 



3.

x

y    x

y x y

x y x y x y   

 

3

ערך מוחלט ערך מוחלט של מספר הוא מרחקו של המספר מ הראשית (מאפס). זהו המרחק על ציר המספרים בין הנקודה לראשית. ערכו המוחלט של מספר a יסומן כ - a ויהיה לעולם חיובי (משום שמרחק אינו יכול להיות גודל שלילי). אנו נתייחס לביטוי המופיע כערך מוחלט, כמו גם לביטוי המופיע בתוך שורש, כאילו הוא מופיע בתוך סוגריים - כלומר, מבחינת סדר ביצוע הפעולות תהיה פעולת מתן הערך המוחלט בעדיפות ראשונה.

דוגמאות:

1.

5 5 5   

2 a  הינו מרחקו של a מ 2- על ציר המספרים.

2.

a b  הינו המרחק שבין a -ל b על ציר המספרים.

3.

הינו המרחק של a מנקודת ה -0 , כלומר מן הראשית.

4.

a

a  

0

5.

2 3 4 2 1 2 1 2        

תחום הקיום של ביטויים למספר ביטויים מתמטיים אין משמעות. פעולות מהם יש להזהר: 1. כאשר מבצעים פעולת חילוק, אין לחלק בביטוי שערכו 0. לומר: כ אין משמעות לחלוקה באפס. 2.

כאשר מוציאים שורש ריבועי, אין משמעות לביטוי כאשר ערך הביטוי שבתוך סימן השורש הוא שלילי. הדבר נכון לגבי כל שורש זוגי (שורש רביעי, שישי וכו'). כלומר: אין משמעות לשורש זוגי של מספר שלילי.

3 125 5    .

לשורש אי - זוגי יש משמעות, למשל:

הערה:

אין להעלות 0 בחזקה שלילית, משום שמשמעות הדבר היא חלוקה ב 0-.

עלינו לזכור מגבלות אלו, ולבדוק תמיד את תחום הקיום של הביטויים המתמטיים הנתונים. תחום הקיום יהיה כל x פרט לערכים האסורים.

דוגמאות:

אין משמעות כאשר x<2 , ולכן תחום הגדרת הביטוי היא כל שאר

לביטוי 2 x 

1.

x  .

המקרים, כלומר, 2

  1 b a   אין משמעות כאשר 1

a   , ולכן תחום ההגדרה של הביטוי הוא

לביטוי

2.

a  .

1

4

שברים שבר אינו אלא תרגיל חילוק, הכתוב בתבנית מסויימת. למשל, את הביטוי a b  אפשר לכתוב גם כ: a b .

a b

אין משמעות כאשר 0  b .

כפי שראינו, לביטוי

הביטוי המצוי מ על לקו השבר נקרא מונה והביטוי המצוי מתחתיו נקרא מכנה.

ניתן לבטא כל מספר שלם כשבר - למשל: 5 5 1  .

כאשר כופלים את המונה והמכנה של שבר באותו מספר, מבצעים פעולת הרחבה של השבר, אשר אינה משנה את ערכו. ניתן להרחיב את המונה והמכנה במספר שלם, חי , ובי שלילי או

בשבר.

דוגמה:

2 1 4 2 

3 20 5 6 40 10 

   

כפי שראינו ניתן להרחיב שבר במספר שלם או בשבר, כלומר, למעשה ניתן לחלק את המונה ואת המכנה באותו גורם מבלי לשנות את ערכו, כדי לקבל את השבר בצורה מצומצמת יותר: 15 5 18 6  . כאשר ערכו המוחלט של המונה גדול מערכו המוחלט של המכנה, יקרא השבר שבר מדומה ,

12 7

.

למשל:

שבר מדומה ניתן להפוך ל שבר מעורב , כלומר, מספר המכיל מספר שלם ושבר:

12 7 5

7 5        1 1 5 5

7

7 7 7 7

7

בדרך כלל, פחות נוח להשתמש בצורה זו בבצוע פעולות בשברים, ועדיף להשתמש בצורת השבר המדומה.

פעולות בשברים כפל שברים:

a c a c b d b d    





0 , b d  

0

מכפילים לחוד את המונים ואת המכנים (מונה במונה ומכנה במכנה). לעתים נוכל לצמצם חלק מהגורמים עוד בשלב הביניים: דוגמאות:

 10 3 10 3 2 1 2 21 5 21 5 7 1 7 2 2 2 2 a a a a          



2

a a

2 4 







 3 1



a

a

a

3 1





3 3 

7 4 7    

4 7 2 7 14  

4

  

14

2 1 2 1 2 1 1 

5

חילוק שברים:

a c a d b d b c b c       a d





b

0 , c d    0 ,

0

בכל פעם שנרצה לחלק ביטוי בשבר, כל שעלינו לעשות הוא לכפול את השבר הראשון, בהופכי של השבר השני. השבר ההופכי הוא השבר בו הוחלפו המונה והמכנה בשבר המקורי, כלומר, המו נה הוא המכנה המקורי, והמכנה הוא המונה המקורי. למשל, השבר ההופכי לשבר 3 5 ,

5 3

.

הוא

דוגמאות:

7 21 7 9 1 3 1 6 9 6 21 2 3 2 1 1 5 1 1 1 5 2 2 1 2 5 10             

חיבור וחיסור שברים: קל לחבר ולחסר שברים בעלי אותו מכנה. במצב זה המכנה של התוצאה יהיה המ כנה הזהה לשני השברים, ואילו פעולת החיבור או החיסור תבוצע על המונה בלבד.

דוגמה: דוגמה:

12 4 7 12 4 7 9 25 25 25 25 25       על מנת לחבר או לחסר שברים, אשר להם מכנים שונים, יש להביא אותם לצורה בה יהיה להם אותו מכנה. פעולה זו נקראת מציאת מכנה משותף. הכלל למציאת מכנה משותף:

a c a d

b c ad bc

b d b d bd   

     

b d

המכנה המשותף הוא בדרך כלל מכפלת המכנים של השברים. לדוגמה:

2 1 2 5 1 3 10 3 13 3 5 3 5 5 3 15 15           bd הוא מכנה משותף של b, d (המכנים) אולם נעדיף למצוא, אם ניתן, את המכנה המשותף הקטן ביותר - האפשרי כדי לחשב במספרים קטנים ככל שניתן.

-ו 6 הוא 30 ולכן:

המכנה המשותף המינימלי של 15

1 2

1 5 6 5 15 2 30 30 10         2 2 5 4 9 3

  

6 15

על מנת למצוא את המכנה המשותף הקטן ביותר של שני מספרים עלינו לפרק כל אחד מהם לגורמים ראשוניים.

6

פירוק מספר לגורמים ראשוניים גורם ראשוני של מספר הוא מספר ראשוני (מספר שמתחלק רק בעצמו -וב 1 ) אשר מכפלתו בגורמים ראשוניים נוספים תתן את המספר המקורי. טכניקת הפעולה היא פשוטה: נרשום את המספר המקורי בצד שמאל, ובצד ימין נרשום את הגורמים הראשוניים בהם נחלק אותו. נחלק את המספר עד שנגיע בצד שמאל ל -1 . המספר מתפרק למכפלת הגורמים אותם רשמנו בצד ימין.

דוגמה: נמצא את הגורמים הראשוניים של המספר 60 .

2 60 2 30 3 15 55 1

אכן, נוכל לראות כי 2 2 3 5    הם הגורמים הראשוניים המרכיבים את המספר 60 .

פעולות בשברים עשרוניים שבר עשרוני הינו צורה נוספת להצגת שברים, אשר המכנה שלהם הוא חז קה של 10 . מיקום הנקודה העשרונית בשבר נקבע על פי המכנה בשבר הפשוט המתאים. אם, למשל, המכנה הוא 1,000 הנקודה תזוז שלושה מקומות שמאלה (כמספר האפסים במכנה).

דוגמה:

36

12

403



0.36 ;



0.012 ;



40.3

100

1000

10

חיבור וחיסור שברים עשרוניים: חיבור בשברים עשרוניים נעשה בעזרת מח שבון או, בדומה לשלמים, במאונך. יש לדאוג לרשום את הנקודות העשרוניות זו מתחת לזו ולמלא מקומות ריקים באפסים.

דוגמה:



0.65 13.60 14.25

גם פעולת החיסור נעשית כמו בשלמים. אם המחוסר גדול מהמחסר, נהפוך את הסדר ולאחר החישוב נוסיף לתוצאה סימן מינוס.

7

דוגמה:

חשב את הביטוי 0.242 0.891   .

0.891 0.242



0.649

   

0.242 0.891 0.649

כפל וחילוק בשברים עשרוניים: הכפל, כמו בשלמים, יעשה במאונך. מספר הספרות שמימין לנקודה העשרונית בתוצאה הוא סכום הספרות שמימין לנקודה בשני גורמי המכפלה יחד.

דוגמה:

3.42 2 5.4 1 1368 1710   



18.468 2 1 3   

בחילוק שברים עשרוניים ניתן לנהוג בשתי דרכים:

1 . נהפוך את השברים העשרוניים לצורת שברים עם חזקה מתאימה של 10 במכנה, ונחלק אותם כשברים.

דוגמה:

72 36 72 100 10 100 36 10    

7.2 0.36

 



20

2. נכפול מונה ומכנה בתרגיל בחזקה של 10 , כך ששניהם יהפכו לשלמ ים ונבצע חילוק בשלמים.

דוגמה:

7.2 7.2 100 720 0.36 0.36 100 36     

20

8

סדר פעולות חשבון

חשב: (ללא סוגריים)

24 : 3 ∙ 2 =

1.

10. -5 + 4 ∙ 3 – 10 : 5 =

36 : 6 : 2 =

2.

11. 3 + 6 : 2 – 5 ∙ 3 =

2 ∙ 9 : 3 =

3.

12. 11 – 2 ∙ 7 + 24 : 8 =

5 + 2 ∙ 4 =

4.

13. 5 ∙ 5 + 6 : 3 – 4 ∙ 7 =

7 - 5 ∙ 2 =

5.

14. 15 : 5 – 8 : 4 + 3 ∙ 3 =

6 ∙ 3 - 5 ∙ 4 =

6.

15. 2 ∙ 6 – 3 ∙ 7 – 9 : 9 =

7. 7 ∙ 4 + 6 ∙ 2 =

16. 2 – 7 + 3 ∙ 5 – 18 : 3 =

8. 8 + 12 : 4 =

17. -3 + 4 : 2 – 5 + 2 ∙ 3 =

9. 8 : 2 + 3 ∙ 2 =

18. 2 – 7 : 7 – 1 + 8 : 2 =

חשב: (עם סוגריים)

19. 24 : (3 ∙ 2) =

28. (9 ∙ 4 – 3 ∙ 7) : 5 – 4 =

20. 36 : (6 : 2) =

29. (7 ∙ 0 – 6 : 2) : (7 ∙ 2 – 4 ∙5) =

21. 2 ∙ (9 : 3) =

30. 15 ∙ [7 – 3 ∙ (4 - 2) - 1] =

22. (5 + 2) ∙ 4 =

31. 3 ∙ [4 – 2 ∙ (5 - 7) – 3 ∙ 2] =

23. (7 – 5) ∙ 2 =

32. 40 : [3 – 5 ∙ (4 ∙ 4 – 5 ∙ 2) + 7] =

24. 6 ∙ (3 – 5) ∙ 4 =

33. 36 : [6 ∙ 2 – (8 : 4 - 1) - 2] =

25. 15 – 4 ∙ (7 -2) =

34. {8 – [2 ∙ 3 – (7 - 8) + 1]} ∙ 2 =

26. 12 – 3 ∙ (2 + 4) =

35. {12 - 2 ∙ [5 – 2 ∙ (6 - 3) + 1]}: 4 =

27. (10 – 3 ∙ 2) ∙ 2 – 7 =

תשובות:

1. 16 2. 3 3. 6 4. 13 5. -3 6. -2 7. 40 8. 11 9. 10

11. -9 12. 0 13. -1 14. 10 15. -10 16. 4 17. 0 18. 4 19. 4 20. 12

21. 6 22. 28 23. 4 24. -48 25. -5 26. -6 27. 1 28. -1

30. 0 31. 6 32. -2 33. 4 34. 0 35. 3

29. 1 2

10. 5

9

כינוס אברים דומים

כנס אברים דומים: (פתח סוגריים במידת הצורך)

3 x

16. 2 + 6x 3 + x 2 2x –

1. 9a - 3 - 3a - 1

4 + x 2 x

17. 4 + 6x 2 4x –

2. 2a + 6 - 5a + 2

2 + 4 + 2x 2 x –2x

7x - 2y + y - 3x

3.

18. 2 –3x -

2 x

19. 2 2 + 4x + 3 + x -3x –

4. -5a + 3b - a - b

2 x –4 –x

20. 2 5 + 2x + 6x –

5. 3a + (5 – 2a) + 4a

+ 3 + 4x 2 2x –5

2 2x –

2b – 4 + (-2b + 1)

6.

21. + x

2x + 5 – (3x - 2)

7.

22. 4xy – xy + 2 – xy + 3

x – (y – 7x) + y

8.

23. 2ab – a – 7ab + 2a – ab

9. 3y – (2x - y) + x

24. 4a – b + [a – (2b - a)]

10. x + 5 – 3x + 2 + 5x – 3

25. 2b + 3a – [2a + (b – 3a)]

11. 6 – 4x + 3x – 2 + 4 + 2x

26. 2x – [x – (2y + x) - y]

12. 2x + 3y + (x - 4) – (y -5)

27. y – [2x – (y – 2x)] + 4x

13. 4y + x – (9 – 2y) – (2x -5)

28. x – [x – (2x -3) + 5 - x] + 4 29. 2 3x –] 2 2x –) 2 (x + x – [2x –x

2 x

2 3x + 2x –

14. + x

2 x2

15. 2 3x-9x –+ x

פתרונות:

21. + 5x + 8 2 4x – 22. 2xy + 5 23. – 6ab + a 24. 6a – 3b 25. 4a + b 26. 2x + 3y

1. 6a – 4 2.

11. x + 8 12. 3x + 2y + 1 13. – x + 6y – 4 2 x – 16. 2 + 4x 3 2x 17. 2 3x – 4 7x 18. x + 2 – 2 x 19. + x + 1 2 2x 2 3x

– 3a + 8

4x – y

3. 4.

– 6a + 2b

14. 2x – 15. 8x –

5. 5a + 5

6. – 3 7. 8. 8x 9.

– x + 7

27. 2y

28. 3x – 4

4y – x 10. 3x + 4

29. 0

2 5x

20. 9- + 3x

10

הצבה בביטויים אלגברים

א. עבור הביטויים שבסעיפים 1 – 10

הציב:

x = 1

•

x = -1

•

x = 0

•

4x + 1

1.

3 – 2x

2.

– x + 12

3.

2 x

4.

2 x –

5.

2 x) -(

6.

+ 4x + 2 2 x

7.

2 x

4x + 2 –

8.

2 3x –2x

9. + 1

2 2x –1

10. 2x –

פתרונות:

1. 5, -3, 1

1, 5, 3

2.

11, 13, 12

3.

1, 1, 0

4.

5. -1, -1, 0

1, 1, 0

6.

7, -1, 2

7.

8. -1, 7, 2

9. 0, -4, 1

10. -3, 1, 1

11

כפל רב אברים

כפל וכנס אברים דומים:

2(a -2)

1.

13. 2(3 - x) – 5(y - 1) + 8(x + y)

– 3(b -1)

2.

14. 4(x + 2) - 2(y - 1) – 3(x – y)

2 2(x

+ 2x + 1) 2 5(x

2 2(x –

4x + 6) -

3.

15. )2 - + 5x

2 2(x

2 3(x –3) -4x –

– 3( -x + 5y - 2)

4.

16. 2) -5x –

5(a - 3) + 4(a + 1)

5.

17. x(x - 5)

8(2b - 1) – 3(b - 1)

6.

18. 2x(4x - 1)

5(x - 3) – 3(2x - 5)

7.

19. a(3b - c)

6(x – 1)+3(3 – 2x)

8.

20. (k – 2m)b

7(x - y) – 2(x + y)

9.

21. x(x - 2) + x(x + 3)

10. 4(x - 2y) – 3(2x - y)

22. 3x(2x + 1) – 4x(x + 1)

2 3(x – 4)x - (3x

11. 4(a - 1) – 2(a - 3) + 5(a - 2)

23. 2x) –

2 5(x –5) -

12. 3(2m - 7) – 4(1 – 3m) – 5(4m - 5)

2x(3x

24. 2x) –

כפל וכנס אברים דומים: ) כפל רב איבר ברב איבר (

25. (x + 5)(x + 2)

38. (6x -1)(2x - 3)

26. (x - 4)(x + 3)

39. (7a – 4b)(3a + 2b)

27. (a + 7)(a - 1)

40. 3(x - 2)(x + 4)

28. (x + 6)(x – 6)

41. - 2(x + 1)(x - 3)

29. (x + 4)(x + 4)

42. - 4(2a - 1)(3a + 1)

3 x(x

30. (a – 8b)(a – 3b)

43. 2) -

2 x(x

31. (2 – x)(x + 4)

44. 4x + 3) –

2 (x 2 2x

32. (6 – x)(x + 1)

45. 5x + 2) –

3 (5x 2 x

46. ) 2 x –

33. (a – b)(c + d)

2 (x 3 x

34. (2x + 3)(x – 2)

47. 4x + 2) –

2 (x 4 3x

35. (3x + 1)(x - 5)

48. 2x + 1) –

36. (ax + 1)(x - 2)

49. (x + 2)(x + 3) – (x + 1)(x - 1)

37. (5x – 4)(4x + 1)

50. (x - 4)(x + 1) – (x - 2)(x - 1)

12

תשובות:

2 x

1. 2a – 4

26. 12 –x –

+ 6a 2 a

– 3b + 3

2.

27. 7-

2 2x

2 x 29. + 8x + 16 2 x 30. 2 b 11ab + 24 – 2 x – 32. + 5x + 6 2 x – 31. 2x + 8 –

8x + 12 –

3.

28. 36 –

3x – 15y + 6

4.

2 a

5. 9a – 11

6. 13b – 5

7. – x

8. 3

33. ac + ad – bc – bd

2 2x

9. 5x – 9y

34. 6 –x –

2 3x

10. – 2x – 5y

–

35. 5 – 14x

2 ax

11. 7a – 8

2ax + x –

36. 2 –

2 20x

12. – 2m

–

37. 4 – 11x

2 12x

13. 6x + 3y + 11

20x + 3 –

38.

2 21a

39. 2 8b – + 2ab

14. x + y + 10

2 3x

2 3x 41. + 4x + 6 2 2x – 42. + 4a + 4 2 24a –

15. + 9

40. 24 – + 6x

2 x –

16. + 7x

2 x

17. 5x –

2 8x

4 x

18. 2x –

43. 2x –

3 x

2 4x –

19. 3ab – ac

44. + 3x

4 2x

45. 2 + 4x 3 10x –

20. kb – 2mb

2 2x

46. 4 x – 5 5x 47. 3 + 2x 4 4x –

21. + x

2 2x

5 x

22. x –

6 3x

48. 4 + 3x 5 6x –

23. 2x

24. 2 x 25. + 7x + 10 2 x

49. 5x + 7

50. – 6

13

נוסחאות הכפל המקוצר

פשט:

2 (x + 4)

1.

2 5) - (y

2.

2 (3x + 1)

3.

2 3b) – (2a

4.

2 1) – (3ab

5.

2 + 3) 2 (2x

6.

2 + 2x) 3 (y

7.

5 (x

2 ) 3 y –

8.

2 ) 5 + 6c 3 (2a

9.

10. 2

2 3 3 5



   

b c





11. (x + y)(x - y)

12. (1 + c)(1 – c)

13. (2a – 3)(2a + 3)

14. (3x – 2b)(3x + 2b)

ובות: תש

+ 8x + 16 2 x

1.

2 y

10y + 25 –

2.

+ 6x + 1 2 9x

3.

2 4a

2 12ab + 9b –

4.

2 b 2 9a

6ab + 1 –

5.

2 + 12x 4 4x

6. + 9

2 x + 4x 3 + 4y 6 y

7.

10 x

6 + y 3 y 5 2x –

8.

10 + 36c 5 c 3 + 24 a 6 4a

9.

4 12

9

10.

2

2

15 25 b bc c  

9

2 x

11. 2 y –

12. 2 c –1

2 4a

13. 9 –

2 9x

14. 2 4b –

14

פתיחת סוגריים וכינוס אברים

פתח סוגריים וכנס א ברים דומים (אם ישנם):

2 3) - 2(x + 7)+ (x

1. =

2 3(x + 9) -

3)(x + 5) –(x

2. =

2x (3x + 9) – 6(x + 3)(x – 3) =

3.

2 9) – 2 (x

-

2x) = – + 3x(5

4.

2 (2x + 1)

2 1) – (2x –

5. =

(5 – 2y)(5 + 2y) + 4y(y - 3) =

6.

– (2x + 5)(3x + 9) - 5(x + 8) =

7.

(2x + 1)(2x -1) + 5(x + 8)(x + 1) =

8.

2 2(x + 7)

28x(x + 1) = –

9.

2 1) –(x –

2)(x + 2) –3(x

10. =

11. + 2(x + 3) = 2 3x) –(4 –

+ (x + 7)(x 2 3) – 5(2x

12. 7) = –

2 4) –

3(2x + 4)(3x + 1) + 2(x

13. =

2 2) –7(x - 2 3) – 10(x 15. + x) = 2 3) + 6x(x –

14. =

2x(x + 3)(x -

2 2x(3x

2 2x(x + 7) – + 1)

16. =

17. (x + 1) = 2 4x –1) –

x(2x + 1)(2x

18. y(2y + x) – x(3x + y) =

2 x)(2y + x) + (2y + x) – (2y

19. =

2 3x) –

(y + 3x)(y + 3x) + (y –

20. =

תשובות:

2 x

2 2x

2 8y

4x + 23 -

1.

10. 13 – + 2x

19. y + 4x

2 2x

+ 26x 2 9x

–

2. 258 - 52x

11. 10 -

20. – 12xy

– 2 21x 13. + 26x + 44 2 20x 2 3x 15. + 18x 2 + 6x 3 4x 14. 32x + 62 -

18x + 54

3.

12. 4 – 60x

2 8x

4. 162 – + 51x

5. 8x

25 – 12y

6.

- 2 6x

3 4x

2 28x –

7. 85 - 38x

16. 96x –

+ 45x + 39 2 9x

2 4x

8.

17. x –

2

2 2y

18. 2 3x –

26x -

9. + 98

15

צמצום שברים אלגברים

צמצם ככל האפשר:

x

6

1.



3

ab ac xy y 7 14 a

2.



10 5

3.



4.



xyz

6 18

5.



xyz

bx x



5 10

6.





20 4 xc 2 xy xy

7.





8.



3

6 ab a b

9.



3 2 5

a b c a b c

15 20

10.



2 2 3

5 2 30 5 

x y c xyc

11.



תשובות:

1.

5 xc

2 x

7.

b c

2.

8.

y

3.

2 x

2

b a

9.

2 a 1 3

5

4.

2

4 ac

3

10.

5.

4 6 x y 

11.

2 b 

6.

16

חיבור וחיסור שברים אלגברים

הפוך לקו שבר אחד:

2 5 10 a a

5 10 3 4 x x 

1.

12.

x

 





a b x x

3 2 3 1 7 a a a 2 5 15 3 27 x xy 4

2.

13.

 

  

2 3 2 x m m a b x x 7 6 x a b 3

14.

3.

 

 

2 x a b ab  7 3 x

4.

15.

 



2

2 2 x x y xy y 3 2

5.

16.

 

  

2

x y  

a

2 10 4 a   

6.

2

17.



3

6

6

4 2 3 4 4 5 x x   

7.

18.

5







ab

2 4 b

b 

8 2 a a b

8.

19.

8





  

2

3 x 

3 3

1 1

9.

20.

6





x y  

x y

 

a b cx ax  10 5 a b b

( a x

y

a b  

)

10.



21.

x y   

b b

11.

 

22.





b

4 4 b 



17

תשובות:

a

2

2 6 5 6 x x 

1.

12.

5

a b x 

2

4 3 1 7 a a a  

2.

13.

2 3 2 x m m 

2 y x x y 

5(3

)

3.

14.

9

3 3 a b x 

4.

2 2 (7 3 ) x b a a b 

15.

7 6 b ax ab 

5.

3

2 2 3 2 xy x x y  

16.

2 y x y 

6.

17. 1 a 

18. 10 x  19. 2(5 4 ) ( ) a b a a b   4 3

5 6 ab ab 

7.

9 2 b b 

8.

2 y x y x y    )(

20.

9.

x 

5

(

)

2 a bc acx 

10.

( )(2 ) x y a b a b    8 ( 4)( 4) b b b  

21.

2 2 b

a



11.

22.

b

10

18

כפל וחילוק שברים אלגברים

הפוך לקו שבר אחד:

a b x y 

2

a b

4

1.

11.



4 3

a b

12

:



xy

7

2 5 x c b a 

3 5

x y



15

2.



12.

3

x ab

: 3



5

a b

13

2

5

2 3 c c a a  7

a c

5 7 10 5

3.



13.



a

3 3 6 2 a ac b a  

4.



c

5 3 2

2 3 21 9 a b c m n a c mn 3

7

5 7 2 10 a

b b c 

5.



14.



2

5 6

3 14 x y a b a b 

7 12

6.



xy

1

15 .*



1

3 2

3 4

2 a b x c x c a 

6 7 21 24 64 35 77 22 52 m x 2 39

1



7.



x

1

5

4 ay a y x 

a



8.



1 a

16 .*



m

a



: a x b y

9.

2



4    2

x

17 .*

1

3 2 : 2 6 x b

xb



3

10.



x



2

y

19

פתרונות:

ab xy

y

9

1.

10.

2

b

2

2 2 21 a b xy

11.

10 xc ab

2.

5

5 y a b



12.

7

3 21 c a

6 2

13

3.

5 14

13.

3 12 c



4.

ab

2 3 a b c m

14.

a c

7

5.

4

x x 

15.

2 5 24 a b x

1

6.

1 a a 

16.

2

ab

9 40

7.

3 3

x c

4 6 4 6 3 5 3 5 x x x x       

17.

3 m x y a

4

21

8.

8

ay bx

9.

20

משוואות אלגבריות

זהו חלקה העיקרי של המכינה, ובו נלמד כיצד לפתור סוגים שונים של משוואות. נלמד תחילה כיצד לפתור משוואות מן המעלה הראשונה (משוואות ליניאריות) בנעלם אחד. נכיר משוואות שפתרונן הינו פתרון מספרי, וכאלו שפתרונן מבוטא באמצעות אותיות (פרמטרים). נלמד שיטות שונות כיצד לפתו ר מערכות של משוואות ליניאריות במספר נעלמים, ונדון במשמעות הגרפית של המשוואות ושל פיתרונותיהן. נלמד את דרכי הפתרון של משוואות ממעלה שניה (משוואות ריבועיות) , נכיר את תכונות המשוואה הריבועית, ואת הצגתה הגרפית.

מהי משוואה ואיך נפתור אותה

משוואה הינה פסוק מ תמטי המביע שוויון בין שני ביטויים מתמטיים. המשוואה מכילה לפחות נעלם אחד, שמקובל לסמנו באחת מהאותיות הלטיניות: x, y, z וכו'. הנה מספר דוגמאות:

זו משוואה מהמעלה הראשונה בנעלם אחד. הנעלם הוא X .

1)

3 7 X

4 X   

9

3 2 4 5 Z

ז ו משוואה מהמעלה השלישית בנעלם אחד. הנעלם הוא Z.

2)

Z  

2

זו משוואה מהמעלה הראשונה בנעלם אחד. הנעלם הוא Y , ושאר האותיות הינן פרמטרים.

3 )

( ) 3 7 a Y b a Y   

הביטוי משמאל לסימן השיוויון במשוואה נקרא "אגף שמאל", וזה שמצידו הימני נקרא "אגף ימין" של המשוו אה. התכלית בעסוקנו במשוואות תהיה למצוא את ערכי הנעלם השונים אשר מהווים פתרון למשוואה. פתרון למשוואה הינו קבוצת הערכים אשר הצבתם במקום הנעלם במשוואה, תיתן פסוק

אמת. דוגמה:

נתונה המשוואה 2 1 7 x   .

אגף שמאל של המשוואה הוא: 2x+1 ואגף ימין שלה הוא: 7 . הפתרון למשוואה זו הוא: x=3 . זאת מכיוון שאם נציב את הערך 3 במקום הנעלם x , נקבל את הפסוק 2 3 1 7    , כלומר: 7=7 , שהוא פסוק אמת. כל ערך אחר שנציב במקום x במשוואה ייתן לנו פסוק שקרי. נכיר כעת את הדרכים בהן נוכל לפשט את המשוואה, כך שנוכל לקבל את פיתרונה ביתר קלות.

21

משוואות לינאריות ( מעלה ראשונה )

במשוואה לינארית מופיע הנעלם כשהוא נתון במעלה הראשונה בלבד. הנה מספר דוגמאות:

5 2 9 1 x x    היא משוואה לינארית.

1.

2 2 1 5 x

איננה משוואה לינארית, כ יוון ש -x מופיע בה בחזקה השניה.

2.

x   

2

2

-ו b הם פרמטרים

היא משוואה לינארית עבור המשתנה x .a

3.

x

3 a b    5

7

2

באמצעותם נבטא את x ולכן יכולים להופיע בכל חזקה שהיא.

1

2    איננה משוואה לינארית, למרות שהיא נראית ככזו. זאת, משום שעל מ נת להיפטר מסימן השבר עלינו לכפול את שני האגפים בביטוי ( 2 x  ), ואז נקבל את המשוואה הריבועית:     2 1 2 2 4 4 x x x x       . 2 x x

4.

תכונות המשוואה הלינארית

יתכנו שלושה סוגי פתרונות למשוואה לינארית, והם: 1. קיים פתרון יחיד למשוואה. לדוגמה, ל משוואה 5 2 1 x x   

x  .

קיים פתרון אחד ויחיד והוא 6

לא קיים פתרון למשוואה. כל ערך שנציב במקום המשתנה יתן לנו פסוק שקרי. לדוגמה, אם ננסה לפתור את המשוואה 2 3 x x    , נקבל את הביטוי 2=3 שהוא פסוק שקרי. חשוב לראות כי הפסוק נשאר שקרי עבור כל ערך של המשתנה x. קיימים אינסוף פיתרונות למשוואה. כל ערך שנציב במקום x הוא פתרון. לדוגמה, אם ננסה לפתור את המשוואה 2 1 2 1 x x    נקבל את הביטוי 0=0 שהוא זהות , כלומר הוא פסוק אמת עבור כל ערך של המשתנה x.

2.

3.

22

טכניקה לפתרון משוואה לינארית

הטכניקה לפתרון משוואות לינאריות פשוטה ומורכבת מארבעה שלבים: א. מציאת תחום ההגדרה של המשוואה. זהו תחום הערכים אותם יכול המשתנה לקבל, מבלי שתתבצע "עבירה" מתמטית, כגון חלוקה ב - 0. ב. פישוט הביטויים האריתמטיים במשוואה וכינו ס האיברים שבהם. ג. בידוד הנעלם בעזרת שימוש נכון בפעולות המותרות לביצוע על משוואה, אשר אותן נכיר מיד. לאחר שביצענו את שלב ג', נקבל פסוק השקול למשוואה המקורית, שצורתו: (ביטוי אריתמטי שלא מופיע בו הנעלם x = (x זהו פתרון המשוואה. ד. בצוע בדיקה כי ערך התו צאה אותה קיבלנו עבור הנעלם שייך לתחום ההגדרה של המשוואה. פעולות שמותר לבצע על משוואה כדי לפתור משוואה, יש לבצע על אגפיה פעולות מתמטיות שיפשטו אותה. עם זאת, עלינו לדאוג לכך שפעולות אלו לא ישפיעו על פתרונות המשוואה, כלומר, שאותם פתרונות (ערכי אמת) יהיו נ כונים למשוואה לפני ואחרי הפעולות שביצענו. הפעולות המותרות לביצוע על אגפי המשוואה: 1. הוספת/החסרת אותו הביטוי משני אגפי המשוואה. פעולה זו שקולה לפעולה הנקראת "העברת אגפים" שבה יש כלל יסודי : "מעבירים אגפים – מחליפים סימנים " כלומר , ב כל פעם שנעביר ביטוי או מספר אגף , נחליף את הסימן שלו. 2. הכפלת /חילוק שני אגפי המשוואה באותו הביטוי ( הערה: אין לכפול או לחלק ב -0.) בכל פעם שמבצעים פעולה על אגף של המשוואה, מתיחסים לאגף כאל יחידה אחת (כאילו היה נתון בתוך סוגריים) ולא מבצעים את הפעולה רק על חלק ממנו. למעשה, ניתן לבצע על המשוואה כל פעולה שהיא, למעט חלוקה או כפל ב -0 , כאשר מבצעים אותה בבת אחת על שני אגפי המשוואה.

דוגמה 1: נתונה המשוואה:

3 5 20 x   .

3 10 25 x   .

ניתן לחבר לשני האגפים 5 :

ניתן להכפיל את שני האגפים ב - 2 . המשוואה האחרונה שקולה לחלוטין למשוואה ממנה התחלנו, ולשתיהן אותו הפתרון. ולקבל: 6 20 50  x 

23

דוגמה 2 :









.

פתור את המשוואה

x

18 7 1 8 5 2 x x x      

2



3

פתרון: א.

תחום ההגדרה: שני האגפים מוגדרים לכל ערך ממשי של x.

ב. כי נוס איברים:

2 9 25 6 43 x x x

18 7 x           7 8 40 2 x x

3

נבודד את x (מימין לכל משוואה, ליד הסימן / ציינו מה הפעולה אותה בצענו על שני האגפים): 9 25 6 43 / 6 3 25 43 / 25 3 18 / : 3 6 x x x x x x          או 9 25 6 43 9 6 43 25 3 18 / : 3 6 x x x x x x        

ג.

6 שייך לתחום הגדרת המשוואה, ולכן הפתרון הוא x=6 .

דוגמה 3:

1

1



 



.

פתור את המשוואה

2 7 x 

1 2 4 x 

 

2

3

פתרון: א.

תחום ההגדרה: כל x.

ראשית, בכדי להיפטר מהשברים שבכל אגף, נכפול ב 6- את שני אגפי המשוואה:     3 2 7 2 1 2 24 x x    

ב.

נכנס איברים ונקבל:

2 23 24 x  

נבודד א ת x:

ג.

2 24 23 2 1 / : 2 x x   

1 2

x



1 2

1 2 שייך לתחום הגדרת המשוואה, ולכן

x  הוא פתרונה.

24

דוגמה 4:

15

10

.

פתור את המשוואה



4 5 x 

x

פתרון:

5

תחום הגדרה:

א.

x



0 ,

4





4 5 x x  :

ראשית, נכפול במכנה המשותף

ב.

  15 10 4 5 x x  

5

, ולכן לא כפלנו באפס).

(אנחנו מניחים כי

x 0, 

4

לאחר שנפשט איברים נקבל:

x

40 50 x 

15



נחלץ את x:

ג.

x x x

50

  

40 15

50 25

/ : 25

x



2

הערך 2 שייך לתחום ההגדרה, ולכן x=2 הוא הפתרון.

דוגמה 5:

2 2 2 x 

.

פתור את המשוואה

2 1 x

 

x



1

פתרון:

x  .

תחום ההגדרה: 1

א. ב.

נכפול במכנה משותף ( x-1 ) ונקבל:     2 2 2 2 1 1 x x x    

פישוט וכינוס איברים :

2

2

2 2 2 x

2         1 x x x x

2

2 2 2 x

1

2     x

1

נחלץ את x:

ג.

2 x x         1 2 1 x

1

x=1 אינו שייך לתחום הגדרת המשוואה, ולכן אין למשוואה פתרון!

25

מערכת משוואות לינאריות

מערכת משוואות לינאריות היא מערכת של שתי משוואות לינאריות או יותר שמעורבים בה שני נעלמים או יותר שנסמנם באותיות הלטיניות x , y , z... . אנו נעסוק במערכת של שתי משוואות בשני נעלמים ( x , y .)

דוגמאות:

2 5 7 2 x y x y     

1.

 

היא מערכת של שתי משוואות לינאריות בשני משתנים.

2 3 30 x y xy   

7

2.

איננה מערכת לינארית של משוואות.

 

המערכת הנתונה אינה לינארית כיוון שבאחת המשוואות נתונה המכפלה של שני הנעלמים זה בזה. (משוואה היא לינארית אם היא לינארית בכל אחד מהמשתנים ש הפתרונות למערכת משוואות הם כל זוגות הערכים המספרים ( x , y ), שאם נציבם במערכת נקבל בכל אחת ממשוואותיה פסוק אמת.

בה).

תכונות חותכים

במערכת לינארית של שתי משוואות בשני נעלמים ייתכנו שלושה מצבים, והם: 1. קיים פתרון יחיד למערכת. 2. לא קיים פתרון למערכת (מערכת סותרת ). 3. קיימים אינסוף זוגות ערכים המהווים פתרון למערכת (מערכת תלויה .)

הסבר ומשמעות גרפית אם נצייר במישור ( x ; y ) את הישרים המתארים את כל אחת ממשוואות המערכת, כל הנקודות ( x , y ) שנמצאות על הישר I הם הפתרונות למשוואה I (אם נציבם נקבל במשוואה I , פסוק אמת), וכל נקודות הישר II הם הפתרונות למשוואה II . לכן פתרון למערכת הוא נקודה במישור הנמצאת על שני הישרים I ו II- , כלומר, הפתרונות למערכת הם קבוצת נקודות החיתוך של שני הישרים. ייתכנו שלושת המצבים שצויינו, המתארים את המצבים הבאים בין הישרים I ו II-:

I,II

I

I

II

II

3.

2. מקבילים

1 .

מתלכדים.

(אינסוף פתרונות)

(אין פתרון)

(פתרון אחד)

המקרה השלישי מתאר משוואות שקולות, כיוון שיש להן אותה קבוצת פתרונות, ולכ ן ניתן לעבור מהאחת לשנייה על ידי פעולות מותרות על משוואה. בסעיף זה נלמד שתי שיטות לפתרון מערכת משוואות לינאריות.

26

פתרון מערכת משוואות בשיטת ההצבה

בדרך פתרון זו, אנו מבטאים את אחד הנעלמים באמצעות הנעלם השני, ופותרים משוואה בנעלם אחד. שלבי הפתרון הם: א . בחר באחת ממשוואות המערכת, ובטא בה את אחד הנעלמים באמצעות הנעלם השני, כפי שלמדת. למשל, אם בחרנו לבטא את y במונחים של x , נתייחס אל y כאל הנעלם ואל x כאל הפרמטר במשוואה. ב. הצב את ערך הנעלם שבודדת ב - א' לתוך המשוואה השנייה. קיבלנו משוואה בנעלם אחד. פתור אותה עבור נעלם זה. ג. לכל פתרון שמצאת ב - ב' הצב את ערכו בביטוי שקיבלת ב - א' , כדי למצוא את הערך המתאים של המשתנה השני במערכת.

דוגמה 1:

2 9 3 4 16 x y x y     

פתור את המערכת:

 

פתרון: א.

נחלץ את y ממשוואה I:

y

9 2 x  

  3 4 9 2 16 x x   

נציב למשוואה II:

ב.

ונפתור עבור x:

3 36 8 16 x x   

5 x   

20

x 

4

נציב את הפתרון שמצאנו בביטוי שקבלנו ב א': -

ג.

9 2 9 2 4 1 y x       .

4 , 1 x y   , ומ סמנים אותו כ -     , 4,1 x y  .

הפתרון שקבלנו למערכת הוא:

27

דוגמה 2:

3 4 4 12 y x x y        

פתור את המערכת:

פתרון: א. y

.

נתון במונחים של x במשוואה I :

y

x  

3



 3 x 

במקום y במשוואה II:

נציב את

ב.





x

4 3 x 

4



 

12

12 12    קיבלנו פסוק אמת, ולכן כל ערך של x הוא פתרון.

לקבלת ערכו של y.

לכל ערך של x כפתרון, נציב 3

ג.

y

x  





, 3 x x  , לכל x ממשי (אינסוף

הפתרונות למערכת הם כל הזוגות הסדורים מהצורה

פתרונו ת, המערכת היא מערכת תלוייה).

דוגמה 3:

2 3 2 5 4 x y x

     

פתור את המערכת:

y

פתרון: א.

2 x y   .

נבטא הפעם את x במונחי y במשוואה הראשונה :

3

נציב במשוואה השניה:

ב.

  2 2 3 5 4 y y   

6 5 

הפסוק שיקר י, ולכן אין פתרון למערכת (המערכת היא מערכת סותרת).

28

פתרון מערכת משוואות בשיטת השוואת המקדמים

גם בשיטה זו נביא את המערכת למצב שבו אחת המשוואות מכילה נעלם אחד בלבד. בשיטה שנתאר כאן ניצור שוויון במקדמי אחד הנעלמים בשתי המשוואות, ונחבר או נחסר את המש וואות במערכת זו מזו על מנת לקבל משוואה בנעלם אחד. שלבי הפיתרון הם: א. נרשום את משוואות המערכת בצורה תקנית: ax by c   (a ,b ,c הם מספריים), נבצע פעולות (מותרות) על שתי המשוואות על מנת להשוות את המקדמים של אחד הנעלמים בשתי המשוואות. ב. נחבר או נחסר את המשוואות (עפ"י סימני המקדמים שהשווינו) ונקבל משוואה שלישית בנעלם אחד. נפתור את המשוואה עבור נעלם זה. ג. את הפתרון שמצאנו ב - ב' , נציב באחת ממשוואות המערכת המקורית, ונפתור על מנת למצוא את ערכו של הנעלם השני במערכת עבור פיתרון זה.

דוגמה 1:

1







x y 

y

5  

   3 3 2 5 1 2 4 x y         y x

פתור את מערכת המשוואות:



3 7 



פתרון:

I

x

y  

15 3     y

.

II

x

15 3 8 y

y

x

. 6



2

 

6 7

נעבור לצורה תקנית:

. I x

y

II

x y



4



15

. 8 23

 

10

קבלנו את המשוואות:

8 23 x y     x y

4 15

 

10

 נשווה את המקדמים של x בשתי המשוואות על ידי הכפלת המשוואה הראשונה ב -8 : 8 32 120 8 23 10 x y x      



נחסר את המשוואה השניה מהראשונה:

III

x

8 y x

23 120 10 y  

. 8



32

 

ונפתור:

55 110 y 

y 

2

נציב את ערך הפתרון שמצאנו למשוואה I ונקבל:

x

4 15 y x         4 2 15 x

7

  7, 2 .

הפתרון למערכת הוא:

29

דוגמה 2:

x y

3

  

8

 

פתור את מערכת המשוואות:

1

y x

 

9



3

פתרון: הצורה התקנית של המשוואות היא:

3 x y        8 3 x y

27

המקדמים של x ושל y מנוגדי סימן.



 



נחבר את המשוואות ונקבל:

x

y

x

y

3



 

3



 

8 27

0 35 

זהו פסוק שיקרי, ולכן אין פתרון למערכת (מערכת סותרת).

דוגמה 3:

3 y x        5 x y 10 6 34

17 0

פתור את מערכת המשוואות:

פתרון:

5 17 6 10 34 x y x y     

3

  

הצורה התקנית של המשוואות היא:



השוואת מקדמים: את משוואה I נכפול ב -2 :

6 10 x 

y

 

34

נחבר את שתי המשוואות ( (II , I :

0 0 

זהו פסוק אמת, ולכן כל ערך של x פותר את המערכת. נמצא את y עבור ערך נתון של x (x

יכול להיות כל ערך) ע"י חילוץ y מאחת המשוואות,

למשל משוואה I:

y x x

5 3 



17

3 17 5 

y



x

3



17

  

  

  , x y מהצורה:

לכל ערך ממשי

הפתר ונות למערכת הם כל הזוגות הסדורים

x

,

5

של x (מערכת תלויה).

אם מופיעים פרמטרים במערכת, יש להתייחס לערכים האפשריים השונים של הפרמטרים, על פיהם המערכת תלויה, סותרת או שיש לה פתרון יחיד.

30

דוגמה 4:

2      3 x y x y

5 3 a

  

פתור את מערכת המשוואות:

1

פתרון: נפתור בשיטת ההצבה: ממשוואה II נקבל: נציב במשוואה I ונקבל:

.

y

x  

1





2 3 1 5 3 x x a    

5 3 5 3 x a x a    

נציב את הפתרון בביטוי שקבלנו ל y-:

y x y a

   

1 1





באמצעות הפרמטרים של המערכת).

, 1 a a  . (בפתרון מבוטאים y ,x

הפתרון הוא

דוגמה 5:

3 2 2 3 3 2 ax my a m x y a m        

פתור את מערכת השוויונים:

פתרון: נפתור בשיטת השוואת מקדמים: את משוואה I נכפול ב -3 , ואת משוואה II נכפול ב m- (להשוואת מקדמי y:)

ax

9 my a

m

3

3  



6

  

2

mx my

am m

2

  

3 3 2

נחבר את המשוואות:

2

3 2 9 ax mx 

6 3 a m am m 2

   

 











3 2 a x x     3 3 2

3 2 a m m a m 

  a x x m a       3 2 3 3 2



m

31





. נבחין בין שני מקרים:

כדי למצוא את x עלינו לחלק בביטוי

2 a m 

3

מקרה א': אם 3 2 0 a m  





ונקבל:

נחלק בביטוי

2 a m 

3

3 x m  

נמצא את y ע"י הצבה במשוואה II :

  2 3 3 3 2 3 3 6 2 m y a m y a y a        



 



.

הפתרון במקרה זה הוא אם כן

, x y

3, m a   

2

מקרה ב': אם 3 2 0 a m  





, זהו פסוק אמת, ולכן כל ערך של x הוא פתרון

נקבל

3 0 x m    

0 0 



0

למערכת. נמצא את y עבור x כלשהו ע"י הצבה לאחת המשוואות ( II :)

2 3 3 2 3 3 2 2 2 2 3 3 x y a m y a m x x m y a          

הפתרונות במקרה זה הם כל הזוגות הסדורים   , x y

מהצורה:

3 m x

2 2 

  

  

לכל ערך ממשי של x.

x

a

,



32

משוואות ריבועיות

מהי מ שוואה ריבועית? מעלת המשוואה היא החזקה הגבוהה ביותר בה מופיע הנעלם במשוואה. משוואה לינארית היא משוואה מהמעלה הראשונה. משוואה ריבועית היא משוואה מהמעלה

השניה. הפוכה).

2

3

היא משוואה ריבועית בנעלם x (a -ו b הם פרמטרים).

המשוואה

1. 2.

x

2 ax b   

3

0

3

המשוואה 8 x  איננה משוואה ריבועית, אלא משוואה מהמעלה השלישית. בפרק זה נלמד לפתור משוואות ריבועיות, ונכיר את תכונות הפונקציה הריבועית כמו גם את תכונות שורשי המשוואה הריבועית .

הצורה התקנית של משוואה ריבועית

בכדי לפת ור משוואה ריבועית, נביא אותה תחילה לצורתה התקנית הנראית כך:

2

ax bx 

c  

0

a, b, c הם מספרים קבועים או ביטויים המכילים פרמטרים, אך אין הם מכילים את הנעלם x . הם נקראים מקדמי המשוואה הריבועית.

דוגמאות:

2

2             2 3 7 4 0 x x 3, 7, 4 (3 1) 4 7 3 0 a      b c m x mx m

2

3 1, a m b m c m    4 , 7 3

השלב הראשון בפתרון משוואה ריבועית הוא הבאת המשוואה לצורתה התקנית. כאמור, יכולים מקדמי המשוואה הריבועית להכיל פרמטרים, כל עוד אינם תלויים בנעלם. אנו מניחים בכל המשוואות הריבועיות כי 0 a  , שאילמלא כן היתה המשוואה משוואה לינארית.

תאור גרפי

הפונקציה הריבועית מתארת פרבולה במישור xy . לפרבולה זו תהיה נקודת מינימום או נקודת מקסימום בהתאם לסימנו של המקדם a בפונקציה, הוא מקדמו של 2 x . אם 0 a  לפרבולה תהיה נקודת מינימום (פרבולת מינימ ום הנקראת גם פרבולה ישרה) , ואם 0 a  לפרבולה תהיה נקודת מקסימום (פרבולת מקסימום הנקראת גם פרבולה 2 y ax bx c   

y

y

x

x

פרבולת מקסימום (הפוכה)

פרבולת מינימום (ישרה)

33

מציאת שורשי המשוואה הריבועית

2

פירושו מציאת שורשיה של המשוואה, שהן

פתרון המשוואה הריבועית

ax

bx c   

0

2

.

נקודות ההתאפסות של הפונקציה

y

ax bx c   

2

שקול למציאת אותם ערכים של x ,

כלומר, פתרון המשוואה הריבועית

ax

bx c   

0

- שווה ל 0 . או במילים אחרות, פתרון משוואה ריב ועית שקול למציאת

שעבורם ערכו של y

אותן הנקודות בהן חותך גרף הפונקציה הריבועית את ציר ה x- . מתוך ההצגה הגרפית ניתן לראות כי יתכנו שלושה מקרים שונים: א.

כאשר קיימות שתי נקודות חיתוך עם ציר x יש למשוואה שני פתרונות. כאשר קיימת נקודת חיתוך אחת (נקודת השקה) עם ציר x יש למשוו אה פתרון

ב.

אחד.

כאשר הפרבולה אינה חותכת כלל את ציר x למשוואה אין פתרון.

ג.

פתרון המשוואה הריבועית

2

a  ) היא:

ax bx c    (

הנוסחה לשורשי המשוואה הריבועית

0

0

2

4 2 b b ac a 

 

x



1,2

2

2

4 b b ac

4 b b ac

  

  

כאשר :

x

x



,



1

2

a

a

2

2

הנוסחה נקראת נוסחת השורשים . 1 2 , x x הם שני הפתרונות האפשריים של המשוואה. אלו הן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x- , הנקראות, כאמור, שורשי המשוואה. כפי שראינו, מספר השורשים (הפתרונות) למשוואה הריבועית נקבע על פי סימנו של הביטוי 2 4 b ac  . ביטוי זה מכונה הדיסקרמיננטה של המשוואה הריבועית, ומסומן על ידי:

2 4 b ac   

נסכם את מה שנאמר עד כה:

2

2

.

היא הדיסקרמיננטה של המשוואה

ax

bx c   

b

ac

0

 



4

מספר הפתרונות למשוואה נקבע על ידי סימן  : 1.

כאשר 0   יש למשוואה שני פתרונות שונים:

2

4 2 b b ac

a   

x



1,2

כאשר 0=  יש למשוואה פתרון אחד(זהו מ קרה פרטי של 1:)

2.

b



x

x  

1

2

a

2

כאשר 0   אין למשוואה פתרון.

3.

34

דוגמה 1: פתור את המשוואה

2 2 5 1 6 4 x x x     .

פתרון:

2 2 x

.

נעבור לצורה תיקנית:

x   

3 0

המקדמים הם: a=2, b=-1, c=-3 . הדיסקרמיננטה היא : 25 0  והיא חיובית ולכן, יש למשוואה שני שורשים והם:   1 4 2 3 2         

2

b

ac

 



4

  1 25 1 5   

b   

3

x



 

  

1 ,

1,2

a

2

2 2 

4

2

ניתן לבדוק את הפתרונות, על ידי הצבת ערכים אלו במקום x במשוואה:

    2 1 1 3 2 1 3 0         

2

2

3 3 9 3  

2



3       3 0

   

2 2 2 2

דוגמה 2: פתור את המשוואה

2

.

x

2 x   

3 0

פתרון:

1 , a b 

c

 

2 ,



3

  2 2

2

4 b ac            4 1 3 8 0

ולכן אין למשוואה פתרון.

דוגמה 3: פתור את המשוואה

2

.

x

x   

6 9 0

פתרון:

1 , a b

6 ,     c

9

  2

2

4 b ac          6 4 1 9 0

ולכן קיים למשוואה פתרון אחד, והוא:

  6

2 2 1 b a     

x





3

35